一、非標準
1.以平面直角坐標系的原點為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,兩種坐標系中取相同的長度單位,已知直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),圓C的極坐標方程是ρ=4cosθ,求直線l被圓C截得的弦長.
2.在平面直角坐標系xOy中,若l:(t為參數(shù))過橢圓C:(φ為參數(shù))的右頂點,求常數(shù)a的值.
3.在極坐標系中,求圓ρ=4sinθ的圓心到直線θ=(ρR)的距離.
4.在極坐標系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,求曲線ρ=2sinθ與ρcosθ=-1的交點的極坐標.
5.(2014江蘇,21)在平面直角坐標系xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),直線l與拋物線y2=4x相交于A,B兩點,求線段AB的長.
6.(2014課標全國,文23)已知曲線C:=1,直線l:(t為參數(shù)).
(1)寫出曲線C的參數(shù)方程,直線l的普通方程;
(2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線,交l于點A,求|PA|的大值與小值.
7.在平面直角坐標系中,傾斜角為的直線l與曲線C:(α為參數(shù))交于A,B兩點,且|AB|=2.以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,求直線l的極坐標方程.
8.在直角坐標平面內(nèi),以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系.曲線C的極坐標方程是ρ=4cosθ,直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),M,N分別為曲線C,直線l上的動點,求|MN|的小值.
9.在以O為極點的極坐標系中,圓ρ=4sinθ和直線ρsinθ=a相交于A,B兩點,若AOB是等邊三角形,求a的值.
10.(2014課標全國,文23)在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,半圓C的極坐標方程為ρ=2cosθ,θ.
(1)求C的參數(shù)方程;
(2)設點D在C上,C在D處的切線與直線l:y=x+2垂直,根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程,確定D的坐標.
一、非標準
1.解:令f(x)=|2x-1|+|x+2|=可求得f(x)的小值為,故原不等式恒成立轉(zhuǎn)化為a2+a+2≤恒成立,即a2+≤0,
即(a+1)≤0,
解得a.
2.解:|x|+|x-1|≥|x-(x-1)|=1,當且僅當0≤x≤1時取等號,
|y|+|y-1|≥|y-(y-1)|=1,當且僅當0≤y≤1時取等號,
|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≥2.①
又|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,②
∴只有當0≤x≤1,0≤y≤1時,兩式同時成立.
0≤x+y≤2.
3.解:由|1+a|-|1-a|≤2,
得|x|+|x-1|≥2.
當x<0時,-x+1-x≥2,x≤-.
當0≤x≤1時,x+1-x≥2,無解.
當x>1時,x+x-1≥2,x≥.
綜上,x≤-或x≥.
4.解:函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)圖象的上方,即|x-2|>-|x+3|+m對任意實數(shù)x恒成立,
即|x-2|+|x+3|>m恒成立.
因為對任意實數(shù)x恒有|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5,所以m<5,即m的取值范圍是(-∞,5).
5.解法一:由于(x+y+z)
≥
=36.
所以≥36,小值為36.
當且僅當x2=y2=z2,
即x=,y=,z=時,等號成立.
解法二:
=(x+y+z)+(x+y+z)+(x+y+z)
=14+≥14+4+6+12=36.小值為36.
當且僅當y=2x,z=3x,即x=,y=,z=時,等號成立.
6.證明:因為x>0,y>0,
所以1+x+y2≥3>0,
1+x2+y≥3>0,
故(1+x+y2)(1+x2+y)
≥3·3=9xy.
7.解法一:(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx≤3(x2+y2+z2),
∴a2+4b2+9c2
≥(a+2b+3c)2==12.
∴a2+4b2+9c2的小值為12.
解法二:由柯西不等式,
得(a2+4b2+9c2)·(12+12+12)
≥(a·1+2b·1+3c·1)2=36,
故a2+4b2+9c2≥12,
從而a2+4b2+9c2的小值為12.
8.解:利用絕對值不等式的性質(zhì)求解.
|x-a|+|x-1|≥|(x-a)-(x-1)|=|a-1|,
要使|x-a|+|x-1|≤3有解,
可使|a-1|≤3,-3≤a-1≤3,
∴-2≤a≤4.
9.解:(1)構造函數(shù)g(x)=|x-1|+|x-2|-5,則g(x)=
令g(x)>0,則x<-1或x>4,
原不等式的解集為(-∞,-1)(4,+∞).
(2)∵f(x)+a=|x+a|+|x-2|+a≥|a+2|+a,
又關于x的不等式f(x)+a<2014的解集是非空集合,
|a+2|+a<2014,解得a<1006.
10.解:(1)由f(x)≤3,得|x-a|≤3,
解得a-3≤x≤a+3.
又已知不等式f(x)≤3的解集為{x|-1≤x≤5},
所以解得a=2.
(2)當a=2時,f(x)=|x-2|,
設g(x)=f(x)+f(x+5),
于是g(x)=|x-2|+|x+3|
=
所以當x<-3時,g(x)>5;
當-3≤x≤2時,g(x)=5;
當x>2時,g(x)>5.
綜上可得,g(x)的小值為5.
從而若f(x)+f(x+5)≥m,
即g(x)≥m對一切實數(shù)x恒成立,則m的取值范圍為(-∞,5].