9.8圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題
★知識(shí)梳理★
1.直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)C的位置關(guān)系：
將直線(xiàn) 的方程代入曲線(xiàn)C的方程，消去y或者消去x，得到一個(gè)關(guān)于x（或y）的方程ax2＋bx＋c＝0.
(1)交點(diǎn)個(gè)數(shù)：
①當(dāng) a＝0或a≠0，⊿＝0 時(shí),曲線(xiàn)和直線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)；②當(dāng) a≠0,⊿>0時(shí),曲線(xiàn)和直線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)；③ 當(dāng)⊿<0 時(shí),曲線(xiàn)和直線(xiàn)沒(méi)有交點(diǎn)。
(2) 弦長(zhǎng)公式：
2.對(duì)稱(chēng)問(wèn)題：
曲線(xiàn)上存在兩點(diǎn)關(guān)于已知直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的條件：①曲線(xiàn)上兩點(diǎn)所在的直線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直（得出斜率）②曲線(xiàn)上兩點(diǎn)所在的直線(xiàn)與曲線(xiàn)有兩個(gè)公共點(diǎn)（⊿>0）③曲線(xiàn)上兩點(diǎn)的中點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)上。
3.求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程：
①軌跡類(lèi)型已確定的,一般用待定系數(shù)法；②動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的條件在題目中有明確的表述且軌跡類(lèi)型未知的,一般用直接法；③一動(dòng)點(diǎn)隨另一動(dòng)點(diǎn)的變化而變化，一般用代入轉(zhuǎn)移法。
★重難點(diǎn)突破★
重點(diǎn)：掌握直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系的判斷方法及弦長(zhǎng)公式；掌握弦中點(diǎn)軌跡的求法； 理解和掌握求曲線(xiàn)方程的方法與步驟，能利用方程求圓錐曲線(xiàn)的有關(guān)范圍與值
難點(diǎn)：軌跡方程的求法及圓錐曲線(xiàn)的有關(guān)范圍與值問(wèn)題
重難點(diǎn)：綜合運(yùn)用方程、函數(shù)、不等式、軌跡等方面的知識(shí)解決相關(guān)問(wèn)題
1.體會(huì)“設(shè)而不求”在解題中的簡(jiǎn)化運(yùn)算功能
①求弦長(zhǎng)時(shí)用韋達(dá)定理設(shè)而不求;②弦中點(diǎn)問(wèn)題用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求.
2.體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法（以方程思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想為主）在解題中運(yùn)用
問(wèn)題1：已知點(diǎn) 為橢圓 的左焦點(diǎn)，點(diǎn) ，動(dòng)點(diǎn) 在橢圓上，則 的小值為 .
點(diǎn)撥：設(shè) 為橢圓的右焦點(diǎn)，利用定義將 轉(zhuǎn)化為 ，結(jié)合圖形， ，當(dāng) 共線(xiàn)時(shí)小，小值為
★熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析★
考點(diǎn)1直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系
題型1：交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題
[例1 ] 設(shè)拋物線(xiàn)y2＝8x的準(zhǔn)線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)Q，若過(guò)點(diǎn)Q的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)有公共點(diǎn)，則直線(xiàn)l的斜率的取值范圍是（ ?。?BR> A．[－ ， ] B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4]
【解題思路】解決直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題的通法為判別式法
[解析] 易知拋物線(xiàn) 的準(zhǔn)線(xiàn) 與x軸的交點(diǎn)為Q (－2 , 0)，
于是，可設(shè)過(guò)點(diǎn)Q (－2 , 0)的直線(xiàn) 的方程為 ，
聯(lián)立
其判別式為 ，可解得 ，應(yīng)選C.
【指引】（1）解決直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的交點(diǎn)問(wèn)題的方法：一是判別式法；二是幾何法
（2）直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)有交點(diǎn)，不等價(jià)于直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相切，還有一種情況是平行于對(duì)稱(chēng)軸（拋物線(xiàn)）或平行于漸近線(xiàn)（雙曲線(xiàn)）
（3）聯(lián)立方程組、消元后得到一元二次方程，不但要對(duì) 進(jìn)行討論，還要對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)是否為0進(jìn)行討論
【新題導(dǎo)練】
1. （09摸底）已知將圓 上的每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)壓縮到原來(lái)的 ,對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)不變,得到曲線(xiàn)C；設(shè) ，平行于OM的直線(xiàn) 在y軸上的截距為m(m≠0),直線(xiàn) 與曲線(xiàn)C交于A(yíng)、B兩個(gè)不同點(diǎn).
(1)求曲線(xiàn) 的方程；(2)求m的取值范圍.
[解析]（1）設(shè)圓上的動(dòng)點(diǎn)為 壓縮后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 ，則 ，
代入圓的方程得曲線(xiàn)C的方程：
（2）∵直線(xiàn) 平行于OM，且在y軸上的截距為m,又 ,
∴直線(xiàn) 的方程為 . 由 , 得
∵直線(xiàn) 與橢圓交于A(yíng)、B兩個(gè)不同點(diǎn)，∴
解得 .∴m的取值范圍是 .
題型2：與弦中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題
[例2]（08韶關(guān)調(diào)研）已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是 ， .直線(xiàn) 相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積為－2. (Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程;
(Ⅱ)若過(guò)點(diǎn) 的直線(xiàn) 交動(dòng)點(diǎn)M的軌跡于C、D兩點(diǎn), 且N為線(xiàn)段CD的中點(diǎn)，求直線(xiàn) 的方程.
【解題思路】弦中點(diǎn)問(wèn)題用“點(diǎn)差法”或聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理求解
[解析] (Ⅰ)設(shè) ，
因?yàn)?,所以 化簡(jiǎn)得:
(Ⅱ) 設(shè)
當(dāng)直線(xiàn) ⊥x軸時(shí), 的方程為 ,則 ,它的中點(diǎn)不是N,不合題意
設(shè)直線(xiàn) 的方程為 將 代入 得
…………(1) …………(2)
(1)－(2)整理得:
直線(xiàn) 的方程為 即所求直線(xiàn) 的方程為
解法二: 當(dāng)直線(xiàn) ⊥x軸時(shí),直線(xiàn) 的方程為 ,則 ,
其中點(diǎn)不是N,不合題意.故設(shè)直線(xiàn) 的方程為 ,
將其代入 化簡(jiǎn)得
由韋達(dá)定理得 ,
又由已知N為線(xiàn)段CD的中點(diǎn),得 ,解得 ,
將 代入(1)式中可知滿(mǎn)足條件.
此時(shí)直線(xiàn) 的方程為 ,即所求直線(xiàn) 的方程為
【指引】通過(guò)將C、D的坐標(biāo)代入曲線(xiàn)方程，再將兩式相減的過(guò)程，稱(chēng)為代點(diǎn)相減．這里，代點(diǎn)相減后，適當(dāng)變形，出現(xiàn)弦PQ的斜率和中點(diǎn)坐標(biāo)，是實(shí)現(xiàn)設(shè)而不求（即點(diǎn)差法）的關(guān)鍵．兩種解法都要用到“設(shè)而不求”，它對(duì)簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用明顯，用“點(diǎn)差法”解決弦中點(diǎn)問(wèn)題更簡(jiǎn)潔
【新題導(dǎo)練】
2.橢圓 的弦被點(diǎn) 所平分，求此弦所在直線(xiàn)的方程。
[解析]設(shè)弦所在直線(xiàn)與橢圓交于 兩點(diǎn)，則
， ，兩式相減得： ，
化簡(jiǎn)得 ，
把 代入得
故所求的直線(xiàn)方程為 ，即
3.已知直線(xiàn)y＝－x＋1與橢圓 相交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，且線(xiàn)段AB的中點(diǎn)在直線(xiàn)L：x－2y＝0上，求此橢圓的離心率
[解析] 設(shè) ，AB的中點(diǎn)為 ,
代入橢圓方程得 ， ,兩式相減,得 .
AB的中點(diǎn)為 在直線(xiàn) 上， ，
，而
題型3：與弦長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題
[例3](山東泰州市聯(lián)考)已知直線(xiàn) 被拋物線(xiàn) 截得的弦長(zhǎng) 為20， 為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求實(shí)數(shù) 的值；
（2）問(wèn)點(diǎn) 位于拋物線(xiàn)弧 上何處時(shí)，△ 面積大？
【解題思路】用“韋達(dá)定理”求弦長(zhǎng)；考慮△ 面積的大值取得的條件
[解析]（1）將 代入 得 ，
由△ 可知 ，弦長(zhǎng)AB ，解得 ；
（2）當(dāng) 時(shí)，直線(xiàn)為 ，要使得內(nèi)接△ABC面積大，
則只須使得 ，即 ，即 位于（4，4）點(diǎn)處．
【指引】用“韋達(dá)定理”不要忘記用判別式確定范圍
【新題導(dǎo)練】
4. (山東省濟(jì)南市高三統(tǒng)一考試)
已知橢圓 與直線(xiàn) 相交于兩點(diǎn) ．
（1）當(dāng)橢圓的半焦距 ，且 成等差數(shù)列時(shí)，求橢圓的方程；
（2）在（1）的條件下，求弦 的長(zhǎng)度 ；
[解析]（1）由已知得： ，∴
所以橢圓方程為：
（2） ，由 ，得
∴ ∴
（文）已知點(diǎn) 和 ，動(dòng)點(diǎn)C到A、B兩點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為2，點(diǎn)C的軌跡與直線(xiàn) 交于D、E兩點(diǎn)，求線(xiàn)段DE的長(zhǎng)．
（文）解：根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義，可知C的軌跡方程為 ．設(shè) ， ，
聯(lián)立 得 ．則 ．
所以 ．
故線(xiàn)段DE的長(zhǎng)為 ．
考點(diǎn)2：對(duì)稱(chēng)問(wèn)題
題型：對(duì)稱(chēng)的幾何性質(zhì)及對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的求法（以點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)為主線(xiàn)，軌跡法為基本方法）
【新題導(dǎo)練】
[例4 ] 若直線(xiàn)l過(guò)圓x2＋y2＋4x－2y＝0的圓心M交橢圓 ＝1于A(yíng)、B兩點(diǎn)，若A、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng)，求直線(xiàn)l的方程．
[解析] ，設(shè) ，則
又 ， ，兩式相減得： ，
化簡(jiǎn)得 ，
把 代入得
故所求的直線(xiàn)方程為 ，即
所以直線(xiàn)l的方程為 ：8x－9y＋25＝0.
5.已知拋物線(xiàn)y2＝2px上有一內(nèi)接正△AOB，O為坐標(biāo)原點(diǎn).
求證：點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)；
[解析]設(shè) ， ， ，
，即 ，
， ， ，故點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)
6.在拋物線(xiàn)y2＝4x上恒有兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)y＝kx＋3對(duì)稱(chēng)，求k的取值范圍.
[解析] （1）當(dāng) 時(shí)，曲線(xiàn)上不存在關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)．
（2）當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè)拋物線(xiàn)y2＝4x上關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn) ，AB的中點(diǎn)為 ，則直線(xiàn) 直線(xiàn)的斜率為直線(xiàn) ，可設(shè)
代入y2＝4x得
，
在直線(xiàn)y＝kx＋3上， ，
代入 得即 ,又 恒成立，所以－1＜k＜0．
綜合（1）（2），k的取值范圍是（－1，0）
考點(diǎn)3 圓錐曲線(xiàn)中的范圍、值問(wèn)題
題型：求某些變量的范圍或值
[例5]已知橢圓 與直線(xiàn) 相交于兩點(diǎn) ．當(dāng)橢圓的離心率 滿(mǎn)足 ，且 （ 為坐標(biāo)原點(diǎn)）時(shí)，求橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍．
【解題思路】通過(guò)“韋達(dá)定理”溝通a與e的關(guān)系
[解析]由 ，得
由 ，得 此時(shí)
由 ，得 ，∴
即 ，故 由 ，得
∴ 由 得 ，∴
所以橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍為
【指引】求范圍和值的方法：
幾何方法：充分利用圖形的幾何特征及意義，考慮幾何性質(zhì)解決問(wèn)題
代數(shù)方法：建立目標(biāo)函數(shù)，再求目標(biāo)函數(shù)的值．
【新題導(dǎo)練】
7. 已知P是橢圓C： 的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) 關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是B，若|PB|的小值為 ，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍。
[解析]由 ，設(shè)
，
， ，解得 或
又 或
8. 定長(zhǎng)為3的線(xiàn)段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線(xiàn) 上移動(dòng)，記線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到y(tǒng)軸的短距離，并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．
[解析] 設(shè) ， ，
因AB與x軸不平行，故可設(shè)AB的方程為 ，
將它代入 得
由 得 即
，
將 代入得
當(dāng)且僅當(dāng) 即 時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，
所以，點(diǎn)M 為 或 時(shí)，到y(tǒng)軸的短距離小，小值為 ．
9.直線(xiàn)m：y＝kx＋1和雙曲線(xiàn)x2－y2＝1的左支交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，直線(xiàn) 過(guò)點(diǎn)P（－2，0）和線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M，求 在y軸上的截距b的取值范圍．
[解析] 由 消去y得：
解得
設(shè)M（x0，y0）則
三點(diǎn)共線(xiàn)
令 上為減函數(shù).
10.已知橢圓 ，A（4，0），B（2，2）是橢圓內(nèi)的兩點(diǎn)，P是橢圓上任一點(diǎn)，求：（1）求 的小值；
（2）求|PA|＋|PB|的小值和大值．
[解析]（1）小值為
（2）大值為10＋|BC|＝ ；小值為10－|BC|＝ ．
考點(diǎn)4 定點(diǎn)，定值的問(wèn)題
題型：論證曲線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)及圖形（點(diǎn)）在變化過(guò)程中存在不變量
[例6] 已知P、Q是橢圓C： 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 是橢圓上一定點(diǎn)， 是其左焦點(diǎn)，且|PF|、|MF|、|QF|成等差數(shù)列。
求證：線(xiàn)段PQ的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)A；
【解題思路】利用“|PF|、|MF|、|QF|成等差數(shù)列”找出兩動(dòng)點(diǎn)間的坐標(biāo)關(guān)系
證明：設(shè) 知
同理
①當(dāng) ，
從而有 設(shè)PQ的中點(diǎn)為 ，
得線(xiàn)段PQ的中垂線(xiàn)方程為
②當(dāng)
線(xiàn)段PQ的中垂線(xiàn)是x軸，也過(guò)點(diǎn)
【指引】定點(diǎn)與定值問(wèn)題的處理一般有兩種方法：
（1）從特殊入手，求出定點(diǎn)和定值，再證明這個(gè)點(diǎn)（值）與變量無(wú)關(guān);
（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算過(guò)程中消去變量，從而得到定點(diǎn)（定值）．
【新題導(dǎo)練】
11.已知拋物線(xiàn)C的方程為y＝x2－2m2x－(2m2＋1) (m∈R)，則拋物線(xiàn)C恒過(guò)定點(diǎn)
[解析](－1,0) [令x＝－1得y＝0]
12.試證明雙曲線(xiàn) － ＝1（a＞0，b＞0）上任意一點(diǎn)到它的兩條漸近線(xiàn)的距離之積為常數(shù).
[解析] 雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)為 ，
它到兩漸近線(xiàn)的距離之積
考點(diǎn)6 曲線(xiàn)與方程
題型：用幾種基本方法求軌跡方程
[例7]已知拋物線(xiàn)C： y2＝4x，若橢圓左焦點(diǎn)及相應(yīng)的準(zhǔn)線(xiàn)與拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)F及準(zhǔn)線(xiàn)l分別重合，試求橢圓短軸端點(diǎn)B與焦點(diǎn)F連線(xiàn)中點(diǎn)P的軌跡方程；
【解題思路】探求動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的幾何關(guān)系，在轉(zhuǎn)化為方程
［解析］由拋物線(xiàn)y2＝4x,得焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線(xiàn) x＝－1
(1)設(shè)P(x,y)，則B(2x－1,2y), 橢圓中心O′,則|FO′|∶|BF|＝e,
又設(shè)點(diǎn)B到l的距離為d,則|BF|∶d＝e,∴|FO′|∶|BF|＝|BF|∶d,
即(2x－2)2＋(2y)2＝2x(2x－2),化簡(jiǎn)得P點(diǎn)軌跡方程為y2＝x－1(x＞1)
[指引] 求曲線(xiàn)方程的方法主要有：直接法、定義法、代入法、參數(shù)法，本題用到直接法，但題目條件需要轉(zhuǎn)化
【新題導(dǎo)練】
13.點(diǎn)P為雙曲線(xiàn) 上一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為線(xiàn)段OP中點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡方程是 .
[解析] [相關(guān)點(diǎn)法]
14.過(guò)雙曲線(xiàn)C: 的右焦點(diǎn)F作直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C交于P、Q兩點(diǎn)， ,求點(diǎn)M的軌跡方程．
[解析]右焦點(diǎn)（2，0），設(shè)
得 ， ，直線(xiàn)l的斜率
又 , ,兩式相減得 ,
把 ， ， 代入上式得
15.已知?jiǎng)狱c(diǎn) 與雙曲線(xiàn) 的兩個(gè)焦點(diǎn) 、 的距離之和為定值，且 的小值為 ．求動(dòng)點(diǎn) 的軌跡方程；
[解析]（1）由條件知，動(dòng)點(diǎn) 的軌跡為橢圓，其中半焦距為 ，
點(diǎn)P在y軸上時(shí) 大，由余弦定理得 ，動(dòng)點(diǎn) 的軌跡方程 ．
16. (廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué))已知圓C: .
(1)直線(xiàn) 過(guò)點(diǎn)P(1,2)，且與圓C交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，若 ，求直線(xiàn) 的方程；
(2)過(guò)圓C上一動(dòng)點(diǎn)M作平行于y軸的直線(xiàn)m，設(shè)m與x軸的交點(diǎn)為N，若向量 ，求動(dòng)點(diǎn) 的軌跡方程.
(3) 若點(diǎn)R(1,0)，在（2）的條件下，求 的小值.
解析（1）①當(dāng)直線(xiàn) 垂直于 軸時(shí)，則此時(shí)直線(xiàn)方程為 ， 與圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為 和 ，其距離為 ，滿(mǎn)足題意 ……1分
②若直線(xiàn) 不垂直于 軸，設(shè)其方程為 ，即 …2分
設(shè)圓心到此直線(xiàn)的距離為 ，則 ，得
∴ ， ，………4分 故所求直線(xiàn)方程為3x－4y＋5＝0
綜上所述，所求直線(xiàn)為3x－4y＋5＝0或x＝1 ……………5分
(2)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)則N點(diǎn)坐標(biāo)是(x0, 0)
∵ ，∴ 即 ， ………7分
又∵ ，∴ …………9分
直線(xiàn)m //y軸，所以， ,∴ 點(diǎn)的軌跡方程是 ( )……10分
（3）設(shè)Q坐標(biāo)為(x,y)， ， ，……11分
又 ( )可得：
.………13分
…………14分
★課后訓(xùn)練★
基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練
1. 已知 是三角形的一個(gè)內(nèi)角，且 ，則方程 表示
（A）焦點(diǎn)在x軸上的橢圓 （B）焦點(diǎn)在y軸上的橢圓
（C）焦點(diǎn)在x 軸上的雙曲線(xiàn) （D）焦點(diǎn)在y 軸上的雙曲線(xiàn)
1.[解析] B. 由 知 ，
2. 已知點(diǎn)M（3，4）在一橢圓上，則以點(diǎn)M為頂點(diǎn)的橢圓的內(nèi)接矩形的面積是（ ）
（A）12 （B）24 （C）48 （D）與橢圓有關(guān)
2. [解析] C [由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知];
3. 已知點(diǎn)F（ ，直線(xiàn) ，點(diǎn)B是l上的動(dòng)點(diǎn).若過(guò)B垂直于y軸的直線(xiàn)與線(xiàn)段BF的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的軌跡是 （ ）
A．雙曲線(xiàn) B．橢圓 C．圓 D．拋物線(xiàn)
3.[解析]D. [MB＝MF]
4. 過(guò)雙曲線(xiàn) 的右焦點(diǎn)作直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于A(yíng)、B兩點(diǎn)，且 ，則這樣的直線(xiàn)有___________條.
4.[解析] 3； 垂直于實(shí)軸的弦長(zhǎng)為4,實(shí)軸長(zhǎng)為2.
5. 是橢圓 的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) 在橢圓上運(yùn)動(dòng)，則 的大值是 ．
5.[解析] ≤ ;
6. 若雙曲線(xiàn) 與圓 有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為 .
6. [解析] [ ]
綜合提高訓(xùn)練
7. 已知拋物線(xiàn) 的弦AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（4，2）且OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），弦AB所在直線(xiàn)的方程為
7.[解析] 12x —23y—2＝0 記住結(jié)論：
8.已知橢圓 ，直線(xiàn)l到原點(diǎn)的距離為 求證：直線(xiàn)l與橢圓必有兩上交點(diǎn).
8.[解析] 證明：當(dāng)直線(xiàn)l垂直x軸時(shí)，由題意知：
不妨取 代入曲線(xiàn)E的方程得：
即G（ ， ），H（ ，－ ）有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
當(dāng)直線(xiàn)l不垂直x軸時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為：
由題意知：
由
∴直線(xiàn)l與橢圓E交于兩點(diǎn), 綜上，直線(xiàn)l必與橢圓E交于兩點(diǎn)
9. 求過(guò)橢圓 內(nèi)一點(diǎn)A（1，1）的弦PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程．
9.［解析］解：設(shè)動(dòng)弦PQ的方程為 ，設(shè)P（ ），Q（ ），M（ ），則： ① ②
①－②得：
當(dāng) 時(shí)，
由題意知 ，即 ③
③式與 聯(lián)立消去k，得 ④
當(dāng) 時(shí)，k不存在，此時(shí)， ，也滿(mǎn)足④．
故弦PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程為：
10 .已知拋物線(xiàn) ．過(guò)動(dòng)點(diǎn)M（ ，0）且斜率為1的直線(xiàn) 與該拋物線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)A、B．若 ,求a的取值范圍．
10 .[解析]直線(xiàn) 的方程為 ，將 ，
得: ．
設(shè)直線(xiàn) 與拋物線(xiàn)的兩個(gè)不同交點(diǎn)的坐標(biāo)為 、 ，
則 又 ，
∴ ．
∵ ，∴ ．
解得 ．
11. 過(guò)拋物線(xiàn) 的焦點(diǎn)作一條斜率為k(k≠0)的弦，此弦滿(mǎn)足：①弦長(zhǎng)不超過(guò)8；②弦所在的直線(xiàn)與橢圓3x2 ＋ 2y2 ＝ 2相交，求k的取值范圍．
11. 解析：拋物線(xiàn) 的焦點(diǎn)為(1，0)，設(shè)弦所在直線(xiàn)方程為
由 得 2分
∴ 故
由 ，解得k≥1
由 得 8分
由 ，解得k2 < 3 因此1≤k2 < 3
∴k的取值范圍是[ ，－1]∪[1， ]
12. 在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知兩點(diǎn)A（－2，0）及B（2，0），動(dòng)點(diǎn)Q到點(diǎn)A的距離為6，線(xiàn)段BQ的垂直平分線(xiàn)交AQ于點(diǎn)P。
（Ⅰ）證明|PA|＋|PB|為常數(shù)，并寫(xiě)出點(diǎn)P的軌跡T的方程；
12. 解：）連結(jié)PB∵線(xiàn)段BQ的垂直平分線(xiàn)與AQ交于點(diǎn)P，∴|PB|＝|PQ|，又|AQ|＝6，
∴|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PQ|＝|AQ|＝6（常數(shù)）。
又|PA|＋|PB|>|AB|，從而P點(diǎn)的軌跡T是中心在原點(diǎn)，以A、B為兩個(gè)焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓，其中，2a＝6，2c＝4，∴橢圓方程為
★知識(shí)梳理★
1.直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)C的位置關(guān)系：
將直線(xiàn) 的方程代入曲線(xiàn)C的方程，消去y或者消去x，得到一個(gè)關(guān)于x（或y）的方程ax2＋bx＋c＝0.
(1)交點(diǎn)個(gè)數(shù)：
①當(dāng) a＝0或a≠0，⊿＝0 時(shí),曲線(xiàn)和直線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)；②當(dāng) a≠0,⊿>0時(shí),曲線(xiàn)和直線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)；③ 當(dāng)⊿<0 時(shí),曲線(xiàn)和直線(xiàn)沒(méi)有交點(diǎn)。
(2) 弦長(zhǎng)公式：
2.對(duì)稱(chēng)問(wèn)題：
曲線(xiàn)上存在兩點(diǎn)關(guān)于已知直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的條件：①曲線(xiàn)上兩點(diǎn)所在的直線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直（得出斜率）②曲線(xiàn)上兩點(diǎn)所在的直線(xiàn)與曲線(xiàn)有兩個(gè)公共點(diǎn)（⊿>0）③曲線(xiàn)上兩點(diǎn)的中點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)上。
3.求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程：
①軌跡類(lèi)型已確定的,一般用待定系數(shù)法；②動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的條件在題目中有明確的表述且軌跡類(lèi)型未知的,一般用直接法；③一動(dòng)點(diǎn)隨另一動(dòng)點(diǎn)的變化而變化，一般用代入轉(zhuǎn)移法。
★重難點(diǎn)突破★
重點(diǎn)：掌握直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系的判斷方法及弦長(zhǎng)公式；掌握弦中點(diǎn)軌跡的求法； 理解和掌握求曲線(xiàn)方程的方法與步驟，能利用方程求圓錐曲線(xiàn)的有關(guān)范圍與值
難點(diǎn)：軌跡方程的求法及圓錐曲線(xiàn)的有關(guān)范圍與值問(wèn)題
重難點(diǎn)：綜合運(yùn)用方程、函數(shù)、不等式、軌跡等方面的知識(shí)解決相關(guān)問(wèn)題
1.體會(huì)“設(shè)而不求”在解題中的簡(jiǎn)化運(yùn)算功能
①求弦長(zhǎng)時(shí)用韋達(dá)定理設(shè)而不求;②弦中點(diǎn)問(wèn)題用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求.
2.體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法（以方程思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想為主）在解題中運(yùn)用
問(wèn)題1：已知點(diǎn) 為橢圓 的左焦點(diǎn)，點(diǎn) ，動(dòng)點(diǎn) 在橢圓上，則 的小值為 .
點(diǎn)撥：設(shè) 為橢圓的右焦點(diǎn)，利用定義將 轉(zhuǎn)化為 ，結(jié)合圖形， ，當(dāng) 共線(xiàn)時(shí)小，小值為
★熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析★
考點(diǎn)1直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系
題型1：交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題
[例1 ] 設(shè)拋物線(xiàn)y2＝8x的準(zhǔn)線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)Q，若過(guò)點(diǎn)Q的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)有公共點(diǎn)，則直線(xiàn)l的斜率的取值范圍是（ ?。?BR> A．[－ ， ] B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4]
【解題思路】解決直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題的通法為判別式法
[解析] 易知拋物線(xiàn) 的準(zhǔn)線(xiàn) 與x軸的交點(diǎn)為Q (－2 , 0)，
于是，可設(shè)過(guò)點(diǎn)Q (－2 , 0)的直線(xiàn) 的方程為 ，
聯(lián)立
其判別式為 ，可解得 ，應(yīng)選C.
【指引】（1）解決直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的交點(diǎn)問(wèn)題的方法：一是判別式法；二是幾何法
（2）直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)有交點(diǎn)，不等價(jià)于直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相切，還有一種情況是平行于對(duì)稱(chēng)軸（拋物線(xiàn)）或平行于漸近線(xiàn)（雙曲線(xiàn)）
（3）聯(lián)立方程組、消元后得到一元二次方程，不但要對(duì) 進(jìn)行討論，還要對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)是否為0進(jìn)行討論
【新題導(dǎo)練】
1. （09摸底）已知將圓 上的每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)壓縮到原來(lái)的 ,對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)不變,得到曲線(xiàn)C；設(shè) ，平行于OM的直線(xiàn) 在y軸上的截距為m(m≠0),直線(xiàn) 與曲線(xiàn)C交于A(yíng)、B兩個(gè)不同點(diǎn).
(1)求曲線(xiàn) 的方程；(2)求m的取值范圍.
[解析]（1）設(shè)圓上的動(dòng)點(diǎn)為 壓縮后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 ，則 ，
代入圓的方程得曲線(xiàn)C的方程：
（2）∵直線(xiàn) 平行于OM，且在y軸上的截距為m,又 ,
∴直線(xiàn) 的方程為 . 由 , 得
∵直線(xiàn) 與橢圓交于A(yíng)、B兩個(gè)不同點(diǎn)，∴
解得 .∴m的取值范圍是 .
題型2：與弦中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題
[例2]（08韶關(guān)調(diào)研）已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是 ， .直線(xiàn) 相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積為－2. (Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程;
(Ⅱ)若過(guò)點(diǎn) 的直線(xiàn) 交動(dòng)點(diǎn)M的軌跡于C、D兩點(diǎn), 且N為線(xiàn)段CD的中點(diǎn)，求直線(xiàn) 的方程.
【解題思路】弦中點(diǎn)問(wèn)題用“點(diǎn)差法”或聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理求解
[解析] (Ⅰ)設(shè) ，
因?yàn)?,所以 化簡(jiǎn)得:
(Ⅱ) 設(shè)
當(dāng)直線(xiàn) ⊥x軸時(shí), 的方程為 ,則 ,它的中點(diǎn)不是N,不合題意
設(shè)直線(xiàn) 的方程為 將 代入 得
…………(1) …………(2)
(1)－(2)整理得:
直線(xiàn) 的方程為 即所求直線(xiàn) 的方程為
解法二: 當(dāng)直線(xiàn) ⊥x軸時(shí),直線(xiàn) 的方程為 ,則 ,
其中點(diǎn)不是N,不合題意.故設(shè)直線(xiàn) 的方程為 ,
將其代入 化簡(jiǎn)得
由韋達(dá)定理得 ,
又由已知N為線(xiàn)段CD的中點(diǎn),得 ,解得 ,
將 代入(1)式中可知滿(mǎn)足條件.
此時(shí)直線(xiàn) 的方程為 ,即所求直線(xiàn) 的方程為
【指引】通過(guò)將C、D的坐標(biāo)代入曲線(xiàn)方程，再將兩式相減的過(guò)程，稱(chēng)為代點(diǎn)相減．這里，代點(diǎn)相減后，適當(dāng)變形，出現(xiàn)弦PQ的斜率和中點(diǎn)坐標(biāo)，是實(shí)現(xiàn)設(shè)而不求（即點(diǎn)差法）的關(guān)鍵．兩種解法都要用到“設(shè)而不求”，它對(duì)簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用明顯，用“點(diǎn)差法”解決弦中點(diǎn)問(wèn)題更簡(jiǎn)潔
【新題導(dǎo)練】
2.橢圓 的弦被點(diǎn) 所平分，求此弦所在直線(xiàn)的方程。
[解析]設(shè)弦所在直線(xiàn)與橢圓交于 兩點(diǎn)，則
， ，兩式相減得： ，
化簡(jiǎn)得 ，
把 代入得
故所求的直線(xiàn)方程為 ，即
3.已知直線(xiàn)y＝－x＋1與橢圓 相交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，且線(xiàn)段AB的中點(diǎn)在直線(xiàn)L：x－2y＝0上，求此橢圓的離心率
[解析] 設(shè) ，AB的中點(diǎn)為 ,
代入橢圓方程得 ， ,兩式相減,得 .
AB的中點(diǎn)為 在直線(xiàn) 上， ，
，而
題型3：與弦長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題
[例3](山東泰州市聯(lián)考)已知直線(xiàn) 被拋物線(xiàn) 截得的弦長(zhǎng) 為20， 為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求實(shí)數(shù) 的值；
（2）問(wèn)點(diǎn) 位于拋物線(xiàn)弧 上何處時(shí)，△ 面積大？
【解題思路】用“韋達(dá)定理”求弦長(zhǎng)；考慮△ 面積的大值取得的條件
[解析]（1）將 代入 得 ，
由△ 可知 ，弦長(zhǎng)AB ，解得 ；
（2）當(dāng) 時(shí)，直線(xiàn)為 ，要使得內(nèi)接△ABC面積大，
則只須使得 ，即 ，即 位于（4，4）點(diǎn)處．
【指引】用“韋達(dá)定理”不要忘記用判別式確定范圍
【新題導(dǎo)練】
4. (山東省濟(jì)南市高三統(tǒng)一考試)
已知橢圓 與直線(xiàn) 相交于兩點(diǎn) ．
（1）當(dāng)橢圓的半焦距 ，且 成等差數(shù)列時(shí)，求橢圓的方程；
（2）在（1）的條件下，求弦 的長(zhǎng)度 ；
[解析]（1）由已知得： ，∴
所以橢圓方程為：
（2） ，由 ，得
∴ ∴
（文）已知點(diǎn) 和 ，動(dòng)點(diǎn)C到A、B兩點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為2，點(diǎn)C的軌跡與直線(xiàn) 交于D、E兩點(diǎn)，求線(xiàn)段DE的長(zhǎng)．
（文）解：根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義，可知C的軌跡方程為 ．設(shè) ， ，
聯(lián)立 得 ．則 ．
所以 ．
故線(xiàn)段DE的長(zhǎng)為 ．
考點(diǎn)2：對(duì)稱(chēng)問(wèn)題
題型：對(duì)稱(chēng)的幾何性質(zhì)及對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的求法（以點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)為主線(xiàn)，軌跡法為基本方法）
【新題導(dǎo)練】
[例4 ] 若直線(xiàn)l過(guò)圓x2＋y2＋4x－2y＝0的圓心M交橢圓 ＝1于A(yíng)、B兩點(diǎn)，若A、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng)，求直線(xiàn)l的方程．
[解析] ，設(shè) ，則
又 ， ，兩式相減得： ，
化簡(jiǎn)得 ，
把 代入得
故所求的直線(xiàn)方程為 ，即
所以直線(xiàn)l的方程為 ：8x－9y＋25＝0.
5.已知拋物線(xiàn)y2＝2px上有一內(nèi)接正△AOB，O為坐標(biāo)原點(diǎn).
求證：點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)；
[解析]設(shè) ， ， ，
，即 ，
， ， ，故點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)
6.在拋物線(xiàn)y2＝4x上恒有兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)y＝kx＋3對(duì)稱(chēng)，求k的取值范圍.
[解析] （1）當(dāng) 時(shí)，曲線(xiàn)上不存在關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)．
（2）當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè)拋物線(xiàn)y2＝4x上關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn) ，AB的中點(diǎn)為 ，則直線(xiàn) 直線(xiàn)的斜率為直線(xiàn) ，可設(shè)
代入y2＝4x得
，
在直線(xiàn)y＝kx＋3上， ，
代入 得即 ,又 恒成立，所以－1＜k＜0．
綜合（1）（2），k的取值范圍是（－1，0）
考點(diǎn)3 圓錐曲線(xiàn)中的范圍、值問(wèn)題
題型：求某些變量的范圍或值
[例5]已知橢圓 與直線(xiàn) 相交于兩點(diǎn) ．當(dāng)橢圓的離心率 滿(mǎn)足 ，且 （ 為坐標(biāo)原點(diǎn)）時(shí)，求橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍．
【解題思路】通過(guò)“韋達(dá)定理”溝通a與e的關(guān)系
[解析]由 ，得
由 ，得 此時(shí)
由 ，得 ，∴
即 ，故 由 ，得
∴ 由 得 ，∴
所以橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍為
【指引】求范圍和值的方法：
幾何方法：充分利用圖形的幾何特征及意義，考慮幾何性質(zhì)解決問(wèn)題
代數(shù)方法：建立目標(biāo)函數(shù)，再求目標(biāo)函數(shù)的值．
【新題導(dǎo)練】
7. 已知P是橢圓C： 的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) 關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是B，若|PB|的小值為 ，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍。
[解析]由 ，設(shè)
，
， ，解得 或
又 或
8. 定長(zhǎng)為3的線(xiàn)段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線(xiàn) 上移動(dòng)，記線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到y(tǒng)軸的短距離，并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．
[解析] 設(shè) ， ，
因AB與x軸不平行，故可設(shè)AB的方程為 ，
將它代入 得
由 得 即
，
將 代入得
當(dāng)且僅當(dāng) 即 時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，
所以，點(diǎn)M 為 或 時(shí)，到y(tǒng)軸的短距離小，小值為 ．
9.直線(xiàn)m：y＝kx＋1和雙曲線(xiàn)x2－y2＝1的左支交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，直線(xiàn) 過(guò)點(diǎn)P（－2，0）和線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M，求 在y軸上的截距b的取值范圍．
[解析] 由 消去y得：
解得
設(shè)M（x0，y0）則
三點(diǎn)共線(xiàn)
令 上為減函數(shù).
10.已知橢圓 ，A（4，0），B（2，2）是橢圓內(nèi)的兩點(diǎn)，P是橢圓上任一點(diǎn)，求：（1）求 的小值；
（2）求|PA|＋|PB|的小值和大值．
[解析]（1）小值為
（2）大值為10＋|BC|＝ ；小值為10－|BC|＝ ．
考點(diǎn)4 定點(diǎn)，定值的問(wèn)題
題型：論證曲線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)及圖形（點(diǎn)）在變化過(guò)程中存在不變量
[例6] 已知P、Q是橢圓C： 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 是橢圓上一定點(diǎn)， 是其左焦點(diǎn)，且|PF|、|MF|、|QF|成等差數(shù)列。
求證：線(xiàn)段PQ的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)A；
【解題思路】利用“|PF|、|MF|、|QF|成等差數(shù)列”找出兩動(dòng)點(diǎn)間的坐標(biāo)關(guān)系
證明：設(shè) 知
同理
①當(dāng) ，
從而有 設(shè)PQ的中點(diǎn)為 ，
得線(xiàn)段PQ的中垂線(xiàn)方程為
②當(dāng)
線(xiàn)段PQ的中垂線(xiàn)是x軸，也過(guò)點(diǎn)
【指引】定點(diǎn)與定值問(wèn)題的處理一般有兩種方法：
（1）從特殊入手，求出定點(diǎn)和定值，再證明這個(gè)點(diǎn)（值）與變量無(wú)關(guān);
（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算過(guò)程中消去變量，從而得到定點(diǎn)（定值）．
【新題導(dǎo)練】
11.已知拋物線(xiàn)C的方程為y＝x2－2m2x－(2m2＋1) (m∈R)，則拋物線(xiàn)C恒過(guò)定點(diǎn)
[解析](－1,0) [令x＝－1得y＝0]
12.試證明雙曲線(xiàn) － ＝1（a＞0，b＞0）上任意一點(diǎn)到它的兩條漸近線(xiàn)的距離之積為常數(shù).
[解析] 雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)為 ，
它到兩漸近線(xiàn)的距離之積
考點(diǎn)6 曲線(xiàn)與方程
題型：用幾種基本方法求軌跡方程
[例7]已知拋物線(xiàn)C： y2＝4x，若橢圓左焦點(diǎn)及相應(yīng)的準(zhǔn)線(xiàn)與拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)F及準(zhǔn)線(xiàn)l分別重合，試求橢圓短軸端點(diǎn)B與焦點(diǎn)F連線(xiàn)中點(diǎn)P的軌跡方程；
【解題思路】探求動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的幾何關(guān)系，在轉(zhuǎn)化為方程
［解析］由拋物線(xiàn)y2＝4x,得焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線(xiàn) x＝－1
(1)設(shè)P(x,y)，則B(2x－1,2y), 橢圓中心O′,則|FO′|∶|BF|＝e,
又設(shè)點(diǎn)B到l的距離為d,則|BF|∶d＝e,∴|FO′|∶|BF|＝|BF|∶d,
即(2x－2)2＋(2y)2＝2x(2x－2),化簡(jiǎn)得P點(diǎn)軌跡方程為y2＝x－1(x＞1)
[指引] 求曲線(xiàn)方程的方法主要有：直接法、定義法、代入法、參數(shù)法，本題用到直接法，但題目條件需要轉(zhuǎn)化
【新題導(dǎo)練】
13.點(diǎn)P為雙曲線(xiàn) 上一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為線(xiàn)段OP中點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡方程是 .
[解析] [相關(guān)點(diǎn)法]
14.過(guò)雙曲線(xiàn)C: 的右焦點(diǎn)F作直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C交于P、Q兩點(diǎn)， ,求點(diǎn)M的軌跡方程．
[解析]右焦點(diǎn)（2，0），設(shè)
得 ， ，直線(xiàn)l的斜率
又 , ,兩式相減得 ,
把 ， ， 代入上式得
15.已知?jiǎng)狱c(diǎn) 與雙曲線(xiàn) 的兩個(gè)焦點(diǎn) 、 的距離之和為定值，且 的小值為 ．求動(dòng)點(diǎn) 的軌跡方程；
[解析]（1）由條件知，動(dòng)點(diǎn) 的軌跡為橢圓，其中半焦距為 ，
點(diǎn)P在y軸上時(shí) 大，由余弦定理得 ，動(dòng)點(diǎn) 的軌跡方程 ．
16. (廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué))已知圓C: .
(1)直線(xiàn) 過(guò)點(diǎn)P(1,2)，且與圓C交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，若 ，求直線(xiàn) 的方程；
(2)過(guò)圓C上一動(dòng)點(diǎn)M作平行于y軸的直線(xiàn)m，設(shè)m與x軸的交點(diǎn)為N，若向量 ，求動(dòng)點(diǎn) 的軌跡方程.
(3) 若點(diǎn)R(1,0)，在（2）的條件下，求 的小值.
解析（1）①當(dāng)直線(xiàn) 垂直于 軸時(shí)，則此時(shí)直線(xiàn)方程為 ， 與圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為 和 ，其距離為 ，滿(mǎn)足題意 ……1分
②若直線(xiàn) 不垂直于 軸，設(shè)其方程為 ，即 …2分
設(shè)圓心到此直線(xiàn)的距離為 ，則 ，得
∴ ， ，………4分 故所求直線(xiàn)方程為3x－4y＋5＝0
綜上所述，所求直線(xiàn)為3x－4y＋5＝0或x＝1 ……………5分
(2)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)則N點(diǎn)坐標(biāo)是(x0, 0)
∵ ，∴ 即 ， ………7分
又∵ ，∴ …………9分
直線(xiàn)m //y軸，所以， ,∴ 點(diǎn)的軌跡方程是 ( )……10分
（3）設(shè)Q坐標(biāo)為(x,y)， ， ，……11分
又 ( )可得：
.………13分
…………14分
★課后訓(xùn)練★
基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練
1. 已知 是三角形的一個(gè)內(nèi)角，且 ，則方程 表示
（A）焦點(diǎn)在x軸上的橢圓 （B）焦點(diǎn)在y軸上的橢圓
（C）焦點(diǎn)在x 軸上的雙曲線(xiàn) （D）焦點(diǎn)在y 軸上的雙曲線(xiàn)
1.[解析] B. 由 知 ，
2. 已知點(diǎn)M（3，4）在一橢圓上，則以點(diǎn)M為頂點(diǎn)的橢圓的內(nèi)接矩形的面積是（ ）
（A）12 （B）24 （C）48 （D）與橢圓有關(guān)
2. [解析] C [由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知];
3. 已知點(diǎn)F（ ，直線(xiàn) ，點(diǎn)B是l上的動(dòng)點(diǎn).若過(guò)B垂直于y軸的直線(xiàn)與線(xiàn)段BF的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的軌跡是 （ ）
A．雙曲線(xiàn) B．橢圓 C．圓 D．拋物線(xiàn)
3.[解析]D. [MB＝MF]
4. 過(guò)雙曲線(xiàn) 的右焦點(diǎn)作直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于A(yíng)、B兩點(diǎn)，且 ，則這樣的直線(xiàn)有___________條.
4.[解析] 3； 垂直于實(shí)軸的弦長(zhǎng)為4,實(shí)軸長(zhǎng)為2.
5. 是橢圓 的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) 在橢圓上運(yùn)動(dòng)，則 的大值是 ．
5.[解析] ≤ ;
6. 若雙曲線(xiàn) 與圓 有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為 .
6. [解析] [ ]
綜合提高訓(xùn)練
7. 已知拋物線(xiàn) 的弦AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（4，2）且OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），弦AB所在直線(xiàn)的方程為
7.[解析] 12x —23y—2＝0 記住結(jié)論：
8.已知橢圓 ，直線(xiàn)l到原點(diǎn)的距離為 求證：直線(xiàn)l與橢圓必有兩上交點(diǎn).
8.[解析] 證明：當(dāng)直線(xiàn)l垂直x軸時(shí)，由題意知：
不妨取 代入曲線(xiàn)E的方程得：
即G（ ， ），H（ ，－ ）有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
當(dāng)直線(xiàn)l不垂直x軸時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為：
由題意知：
由
∴直線(xiàn)l與橢圓E交于兩點(diǎn), 綜上，直線(xiàn)l必與橢圓E交于兩點(diǎn)
9. 求過(guò)橢圓 內(nèi)一點(diǎn)A（1，1）的弦PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程．
9.［解析］解：設(shè)動(dòng)弦PQ的方程為 ，設(shè)P（ ），Q（ ），M（ ），則： ① ②
①－②得：
當(dāng) 時(shí)，
由題意知 ，即 ③
③式與 聯(lián)立消去k，得 ④
當(dāng) 時(shí)，k不存在，此時(shí)， ，也滿(mǎn)足④．
故弦PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程為：
10 .已知拋物線(xiàn) ．過(guò)動(dòng)點(diǎn)M（ ，0）且斜率為1的直線(xiàn) 與該拋物線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)A、B．若 ,求a的取值范圍．
10 .[解析]直線(xiàn) 的方程為 ，將 ，
得: ．
設(shè)直線(xiàn) 與拋物線(xiàn)的兩個(gè)不同交點(diǎn)的坐標(biāo)為 、 ，
則 又 ，
∴ ．
∵ ，∴ ．
解得 ．
11. 過(guò)拋物線(xiàn) 的焦點(diǎn)作一條斜率為k(k≠0)的弦，此弦滿(mǎn)足：①弦長(zhǎng)不超過(guò)8；②弦所在的直線(xiàn)與橢圓3x2 ＋ 2y2 ＝ 2相交，求k的取值范圍．
11. 解析：拋物線(xiàn) 的焦點(diǎn)為(1，0)，設(shè)弦所在直線(xiàn)方程為
由 得 2分
∴ 故
由 ，解得k≥1
由 得 8分
由 ，解得k2 < 3 因此1≤k2 < 3
∴k的取值范圍是[ ，－1]∪[1， ]
12. 在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知兩點(diǎn)A（－2，0）及B（2，0），動(dòng)點(diǎn)Q到點(diǎn)A的距離為6，線(xiàn)段BQ的垂直平分線(xiàn)交AQ于點(diǎn)P。
（Ⅰ）證明|PA|＋|PB|為常數(shù)，并寫(xiě)出點(diǎn)P的軌跡T的方程；
12. 解：）連結(jié)PB∵線(xiàn)段BQ的垂直平分線(xiàn)與AQ交于點(diǎn)P，∴|PB|＝|PQ|，又|AQ|＝6，
∴|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PQ|＝|AQ|＝6（常數(shù)）。
又|PA|＋|PB|>|AB|，從而P點(diǎn)的軌跡T是中心在原點(diǎn)，以A、B為兩個(gè)焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓，其中，2a＝6，2c＝4，∴橢圓方程為