一、選擇題
1. (2014•年山東東營,第4題3分)下列命題中是真命題的是( )
A. 如果a2=b2，那么a=b
B. 對角線互相垂直的四邊形是菱形
C. 旋轉前后的兩個圖形，對應點所連線段相等
D. 線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等
考點： 命題與定理.
分析： 利用菱形的判定、旋轉的性質及垂直平分線的性質對每個選項進行判斷后即可得到正確的選項.
解答： 解：A、錯誤，如3與﹣3;
B、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故錯誤，是假命題;
C、旋轉前后的兩個圖形，對應點所連線段不一定相等，故錯誤，是假命題;
D、正確，是真命題，
故選D.
點評： 本題考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是理解菱形的判定、旋轉的性質及垂直平分線的性質.
2.(2014•四川遂寧，第9題，4分)如圖，AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB于點E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，則AC長是( )
A. 3 B. 4 C. 6 D. 5
考點： 角平分線的性質.
分析： 過點D作DF⊥AC于F，根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE=DF，再根據S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可.
解答： 解：如圖，過點D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB，
∴DE=DF，
由圖可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，
∴×4×2+×AC×2=7，
解得AC=3.
故選A.
點評： 本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，熟記性質是解題的關鍵.
3.(2014•四川南充，第5題，3分)如圖，將正方形OABC放在平面直角坐標系中，O是原點，A的坐標為(1， )，則點C的坐標為( )
A.(﹣ ，1) B. (﹣1， ) C. ( ，1) D. (﹣ ，﹣1)
分析：過點A作AD⊥x軸于D，過點C作CE⊥x軸于E，根據同角的余角相等求出∠OAD=∠COE，再利用“角角邊”證明△AOD和△OCE全等，根據全等三角形對應邊相等可得OE=AD，CE=OD，然后根據點C在第二象限寫出坐標即可.
解：如圖，過點A作AD⊥x軸于D，過點C作CE⊥x軸于E，
∵四邊形OABC是正方形，∴OA=OC，∠AOC=90°，∴∠COE+∠AOD=90°，
又∵∠OAD+∠AOD=90°，∴∠OAD=∠COE，
在△AOD和△OCE中， ，∴△AOD≌△OCE(AAS)，
∴OE=AD= ，CE=OD=1，∵點C在第二象限，∴點C的坐標為(﹣ ，1).故選A.
點評： 本題考查了全等三角形的判定與性質，正方形的性質，坐標與圖形性質，作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵，也是本題的難點.
4. (2014•益陽，第7題，4分)如圖，平行四邊形ABCD中，E，F是對角線BD上的兩點，如果添加一個條件使△ABE≌△CDF，則添加的條件 是( )
(第1題圖)
A. AE=CF B. BE=FD C. BF=DE D. ∠1=∠2
考點： 平行四邊形的性質;全等三角形的判定.
分析： 利用平行四邊形的性質以及全等三角形的判定分別分得出即可.
解答： 解：A、當AE=CF無法得出△ABE≌△CDF，故此選項符合題意;
B、當BE=FD，
∵平行四邊形ABCD中，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，故此選項錯誤;
C、當BF=ED，
∴BE=DF，
∵平行四邊形ABCD中，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，故此選項錯誤;
D、當∠1=∠2，
∵平行四邊形ABCD中，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF(ASA)，故此選項錯誤;
故選：A.
點評： 此題主要考查了平行四邊形的性質以及全等三角形的判定等知識，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題關鍵.
5. (2014年江蘇南京，第6題，2分)如圖，在矩形AOBC中，點A的坐標是(﹣2，1)，點C的縱坐標是4，則B、C兩點的坐標分別是( )
(第2題圖)
A.( ，3)、(﹣ ，4) B. ( ，3)、(﹣ ，4)
C.( ， )、(﹣ ，4) D.( ， )、(﹣ ，4)
考點：矩形的性質、全等三角形的判定與性質以及相似三角形的判定與性質。
分析：首先過點A作AD⊥x軸于點D，過點B作BE⊥x軸于點E，過點C作CF∥y軸，過點A作AF∥x軸，交點為F，易得△CAF≌△BOE，△AOD∽△OBE，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得答案.
解答：過點A作AD⊥x軸于點D，過點B作BE⊥x軸于點E，過點C作CF∥y軸，過點A作AF∥x軸，交點為F，
∵四邊形AOBC是矩形，∴AC∥OB，AC=OB，∴∠CAF=∠BOE，
在△ACF和△OBE中， ，∴△CAF≌△BOE(AAS)，
∴BE=CF=4﹣1=3，∵∠AOD+∠BOE=∠BOE+∠OBE=90°，
∴∠AOD=∠OBE，∵∠ADO=∠OEB=90°，∴△AOD∽△OBE，∴ ，即 ，
∴OE= ，即點B( ，3)，∴AF=OE= ，
∴點C的橫坐標為：﹣(2﹣ )=﹣ ，∴點D(﹣ ，4).故選B.
點評：此題考查了矩形的性質、全等三角形的判定與性質以及相似三角形的判定與性質.此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用.
6.(2014•揚州，第8題，3分)如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，點M、N分別在AB、AD邊上，若AM：MB=AN：ND=1：2，則tan∠MCN=( )
(第3題圖)
A. B. C. D. ﹣2
考點： 全等三角形的判定與性質;三角形的面積;角平分線的性質;含30度角的直角三角形;勾股定理
專題： 計算題.
分析： 連接AC，通過三角形全等，求得∠BAC=30°，從而求得BC的長，然后根據勾股定理求得CM的長，
連接MN，過M點作ME⊥ON于E，則△MNA是等邊三角形求得MN=2，設NF=x，表示出CF，根據勾股定理即可求得MF，然后求得tan∠MCN.
解答： 解：∵AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2，
∴AM=AN=2，BM=DN=4，
連接MN，連接AC，
∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°
在Rt△ABC與Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(LH)
∴∠BAC=∠DAC= ∠BAD=30°，MC=NC，
∴BC= AC，
∴AC2=BC2+AB2，即(2BC)2=BC2+AB2，
3BC2=AB2，
∴BC=2 ，
在Rt△BMC中，CM= = =2 .
∵AN=AM，∠MAN=60°，
∴△MAN是等邊三角形，
∴MN=AM=AN=2，
過M點作ME⊥ON于E，設NE=x，則CE=2 ﹣x，
∴MN2﹣NE2=MC2﹣EC2，即4﹣x2=(2 )2﹣(2 ﹣x)2，
解得：x= ，
∴EC=2 ﹣ = ，
∴ME= = ，
∴tan∠MCN= =
故選A.
點評： 此題考查了全等三角形的判定與性質，勾股定理以及解直角三角函數，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵.
7.(2014年山東泰安，第16題3分)將兩個斜邊長相等的三角形紙片如圖①放置，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°.把△DCE繞點C順時針旋轉15°得到△D1CE1，如圖②，連接D1B，則∠E1D1B的度數為( )
A.10° B. 20° C. 7.5° D. 15°
分析： 根據直角三角形兩銳角互余求出∠DCE=60°，旋轉的性質可得∠BCE1=15°，然后求出∠BCD1=45°，從而得到∠BCD1=∠A，利用“邊角邊”證明△ABC和△D1CB全等，根據全等三角形對應角相等可得∠BD1C=∠ABC=45°，再根據∠E1D1B=∠BD1C﹣∠CD1E1計算即可得解.
解：∵∠CED=90°，∠D=30°，∴∠DCE=60°，
∵△DCE繞點C順時針旋轉15°，∴∠BCE1=15°，
∴∠BCD1=60°﹣15°=45°，∴∠BCD1=∠A，
在△ABC和△D1CB中， ，∴△ABC≌△D1CB(SAS)，
∴∠BD1C=∠ABC=45°，∴∠E1D1B=∠BD1C﹣∠CD1E1=45°﹣30°=15°.故選D.
點評：本題考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，熟記性質并求出△ABC和△D1CB全等是解題的關鍵.
8.(2014年四川資陽，第6題3分)下列命題中，真命題是( )
A. 一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形
B. 對角線互相垂直的平行四邊形是矩形
C. 對角線垂直的梯形是等腰梯形
D. 對角線相等的菱形是正方形
考點： 命題與定理.
分析： 利用特殊四邊形的判定定理對每個選項逐一判斷后即可確定正確的選項.
解答： 解：A、有可能是等腰梯形，故錯誤;
B、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故錯誤;
C、對角線相等的梯形是等腰梯形，故錯誤;
D、正確，
故選D.
點評： 本題考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解特殊四邊形的判定定理，難度不大.
1. (2014•年山東東營,第4題3分)下列命題中是真命題的是( )
A. 如果a2=b2，那么a=b
B. 對角線互相垂直的四邊形是菱形
C. 旋轉前后的兩個圖形，對應點所連線段相等
D. 線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等
考點： 命題與定理.
分析： 利用菱形的判定、旋轉的性質及垂直平分線的性質對每個選項進行判斷后即可得到正確的選項.
解答： 解：A、錯誤，如3與﹣3;
B、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故錯誤，是假命題;
C、旋轉前后的兩個圖形，對應點所連線段不一定相等，故錯誤，是假命題;
D、正確，是真命題，
故選D.
點評： 本題考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是理解菱形的判定、旋轉的性質及垂直平分線的性質.
2.(2014•四川遂寧，第9題，4分)如圖，AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB于點E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，則AC長是( )
A. 3 B. 4 C. 6 D. 5
考點： 角平分線的性質.
分析： 過點D作DF⊥AC于F，根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE=DF，再根據S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可.
解答： 解：如圖，過點D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB，
∴DE=DF，
由圖可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，
∴×4×2+×AC×2=7，
解得AC=3.
故選A.
點評： 本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，熟記性質是解題的關鍵.
3.(2014•四川南充，第5題，3分)如圖，將正方形OABC放在平面直角坐標系中，O是原點，A的坐標為(1， )，則點C的坐標為( )
A.(﹣ ，1) B. (﹣1， ) C. ( ，1) D. (﹣ ，﹣1)
分析：過點A作AD⊥x軸于D，過點C作CE⊥x軸于E，根據同角的余角相等求出∠OAD=∠COE，再利用“角角邊”證明△AOD和△OCE全等，根據全等三角形對應邊相等可得OE=AD，CE=OD，然后根據點C在第二象限寫出坐標即可.
解：如圖，過點A作AD⊥x軸于D，過點C作CE⊥x軸于E，
∵四邊形OABC是正方形，∴OA=OC，∠AOC=90°，∴∠COE+∠AOD=90°，
又∵∠OAD+∠AOD=90°，∴∠OAD=∠COE，
在△AOD和△OCE中， ，∴△AOD≌△OCE(AAS)，
∴OE=AD= ，CE=OD=1，∵點C在第二象限，∴點C的坐標為(﹣ ，1).故選A.
點評： 本題考查了全等三角形的判定與性質，正方形的性質，坐標與圖形性質，作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵，也是本題的難點.
4. (2014•益陽，第7題，4分)如圖，平行四邊形ABCD中，E，F是對角線BD上的兩點，如果添加一個條件使△ABE≌△CDF，則添加的條件 是( )
(第1題圖)
A. AE=CF B. BE=FD C. BF=DE D. ∠1=∠2
考點： 平行四邊形的性質;全等三角形的判定.
分析： 利用平行四邊形的性質以及全等三角形的判定分別分得出即可.
解答： 解：A、當AE=CF無法得出△ABE≌△CDF，故此選項符合題意;
B、當BE=FD，
∵平行四邊形ABCD中，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，故此選項錯誤;
C、當BF=ED，
∴BE=DF，
∵平行四邊形ABCD中，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，故此選項錯誤;
D、當∠1=∠2，
∵平行四邊形ABCD中，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF(ASA)，故此選項錯誤;
故選：A.
點評： 此題主要考查了平行四邊形的性質以及全等三角形的判定等知識，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題關鍵.
5. (2014年江蘇南京，第6題，2分)如圖，在矩形AOBC中，點A的坐標是(﹣2，1)，點C的縱坐標是4，則B、C兩點的坐標分別是( )
(第2題圖)
A.( ，3)、(﹣ ，4) B. ( ，3)、(﹣ ，4)
C.( ， )、(﹣ ，4) D.( ， )、(﹣ ，4)
考點：矩形的性質、全等三角形的判定與性質以及相似三角形的判定與性質。
分析：首先過點A作AD⊥x軸于點D，過點B作BE⊥x軸于點E，過點C作CF∥y軸，過點A作AF∥x軸，交點為F，易得△CAF≌△BOE，△AOD∽△OBE，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得答案.
解答：過點A作AD⊥x軸于點D，過點B作BE⊥x軸于點E，過點C作CF∥y軸，過點A作AF∥x軸，交點為F，
∵四邊形AOBC是矩形，∴AC∥OB，AC=OB，∴∠CAF=∠BOE，
在△ACF和△OBE中， ，∴△CAF≌△BOE(AAS)，
∴BE=CF=4﹣1=3，∵∠AOD+∠BOE=∠BOE+∠OBE=90°，
∴∠AOD=∠OBE，∵∠ADO=∠OEB=90°，∴△AOD∽△OBE，∴ ，即 ，
∴OE= ，即點B( ，3)，∴AF=OE= ，
∴點C的橫坐標為：﹣(2﹣ )=﹣ ，∴點D(﹣ ，4).故選B.
點評：此題考查了矩形的性質、全等三角形的判定與性質以及相似三角形的判定與性質.此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用.
6.(2014•揚州，第8題，3分)如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，點M、N分別在AB、AD邊上，若AM：MB=AN：ND=1：2，則tan∠MCN=( )
(第3題圖)
A. B. C. D. ﹣2
考點： 全等三角形的判定與性質;三角形的面積;角平分線的性質;含30度角的直角三角形;勾股定理
專題： 計算題.
分析： 連接AC，通過三角形全等，求得∠BAC=30°，從而求得BC的長，然后根據勾股定理求得CM的長，
連接MN，過M點作ME⊥ON于E，則△MNA是等邊三角形求得MN=2，設NF=x，表示出CF，根據勾股定理即可求得MF，然后求得tan∠MCN.
解答： 解：∵AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2，
∴AM=AN=2，BM=DN=4，
連接MN，連接AC，
∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°
在Rt△ABC與Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(LH)
∴∠BAC=∠DAC= ∠BAD=30°，MC=NC，
∴BC= AC，
∴AC2=BC2+AB2，即(2BC)2=BC2+AB2，
3BC2=AB2，
∴BC=2 ，
在Rt△BMC中，CM= = =2 .
∵AN=AM，∠MAN=60°，
∴△MAN是等邊三角形，
∴MN=AM=AN=2，
過M點作ME⊥ON于E，設NE=x，則CE=2 ﹣x，
∴MN2﹣NE2=MC2﹣EC2，即4﹣x2=(2 )2﹣(2 ﹣x)2，
解得：x= ，
∴EC=2 ﹣ = ，
∴ME= = ，
∴tan∠MCN= =
故選A.
點評： 此題考查了全等三角形的判定與性質，勾股定理以及解直角三角函數，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵.
7.(2014年山東泰安，第16題3分)將兩個斜邊長相等的三角形紙片如圖①放置，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°.把△DCE繞點C順時針旋轉15°得到△D1CE1，如圖②，連接D1B，則∠E1D1B的度數為( )
A.10° B. 20° C. 7.5° D. 15°
分析： 根據直角三角形兩銳角互余求出∠DCE=60°，旋轉的性質可得∠BCE1=15°，然后求出∠BCD1=45°，從而得到∠BCD1=∠A，利用“邊角邊”證明△ABC和△D1CB全等，根據全等三角形對應角相等可得∠BD1C=∠ABC=45°，再根據∠E1D1B=∠BD1C﹣∠CD1E1計算即可得解.
解：∵∠CED=90°，∠D=30°，∴∠DCE=60°，
∵△DCE繞點C順時針旋轉15°，∴∠BCE1=15°，
∴∠BCD1=60°﹣15°=45°，∴∠BCD1=∠A，
在△ABC和△D1CB中， ，∴△ABC≌△D1CB(SAS)，
∴∠BD1C=∠ABC=45°，∴∠E1D1B=∠BD1C﹣∠CD1E1=45°﹣30°=15°.故選D.
點評：本題考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，熟記性質并求出△ABC和△D1CB全等是解題的關鍵.
8.(2014年四川資陽，第6題3分)下列命題中，真命題是( )
A. 一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形
B. 對角線互相垂直的平行四邊形是矩形
C. 對角線垂直的梯形是等腰梯形
D. 對角線相等的菱形是正方形
考點： 命題與定理.
分析： 利用特殊四邊形的判定定理對每個選項逐一判斷后即可確定正確的選項.
解答： 解：A、有可能是等腰梯形，故錯誤;
B、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故錯誤;
C、對角線相等的梯形是等腰梯形，故錯誤;
D、正確，
故選D.
點評： 本題考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解特殊四邊形的判定定理，難度不大.