例3
如圖1，已知梯形OABC，拋物線分別過點(diǎn)O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．
（1）直接寫出拋物線的對(duì)稱軸、解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線OA、CB以相同的速度同時(shí)向上平移，分別交拋物線于點(diǎn)O1、A1、C1、B1，得到如圖2的梯形O
（3）在圖1中，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，3)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著線段BC運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以與點(diǎn)P相同的速度沿著線段DM運(yùn)動(dòng)．P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)M時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，是否存在某一時(shí)刻t，使得直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對(duì)稱軸圍成的三角形相似？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
考點(diǎn)伸展 例4 如圖1，已知點(diǎn)A (-2，4) 和點(diǎn)B (1，0)都在拋物線 （1）求m、n； （2）向右平移上述拋物線，記平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，若四邊形A A′B′B為菱形，求平移后拋物線的表達(dá)式； （3）記平移后拋物線的對(duì)稱軸與直線AB′ 的交點(diǎn)為C，試在x軸上找一個(gè)點(diǎn)D，使得以點(diǎn)B′、C、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似． 因此平移后的拋物線的解析式為 ． (3) 由點(diǎn)A (-2，4) 和點(diǎn)B′ (6，0)，可得A B′＝ 如圖2，由AM//CN，可得，即．解得．所以．根據(jù)菱形的性質(zhì)，在△ABC與△B′CD中，∠BAC＝∠CB′D． ①如圖3，當(dāng) 時(shí)， ，解得 ．此時(shí)OD＝3，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，0）． ②如圖4，當(dāng) 時(shí)， ，解得 ．此時(shí)OD＝ ，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（ ，0）． 考點(diǎn)伸展 在本題情境下，我們還可以探求△B′CD與△AB B′相似，其實(shí)這是有公共底角的兩個(gè)等腰三角形，容易想象，存在兩種情況． 我們也可以討論△B′CD與△CB B′相似，這兩個(gè)三角形有一組公共角∠B，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例，分兩種情況計(jì)算．
動(dòng)感體驗(yàn)
請(qǐng)打開幾何畫板文件名“10義烏24”，拖動(dòng)點(diǎn)I上下運(yùn)動(dòng)，觀察圖形和圖像，可以體驗(yàn)到，x2－x1隨S的增大而減?。p擊按鈕“第（3）題”，拖動(dòng)點(diǎn)Q在DM上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，如果∠GAF＝∠GQE，那么△GAF與△GQE相似．
思路點(diǎn)撥
1．第（2）題用含S的代數(shù)式表示x2－x1，我們反其道而行之，用x1，x2表示S．再注意平移過程中梯形的高保持不變，即y2－y1＝3．通過代數(shù)變形就可以了．
2．第（3）題的障礙在于畫示意圖，在沒有計(jì)算結(jié)果的情況下，無法畫出準(zhǔn)確的位置關(guān)系，因此本題的策略是先假設(shè)，再說理計(jì)算，后驗(yàn)證．
3．第（3）題的示意圖，不變的關(guān)系是：直線AB與x軸的夾角不變，直線AB與拋物線的對(duì)稱軸的夾角不變．變化的直線PQ的斜率，因此假設(shè)直線PQ與AB的交點(diǎn)G在x軸的下方，或者假設(shè)交點(diǎn)G在x軸的上方．
滿分解答
（1）拋物線的對(duì)稱軸為直線 ，解析式為 ，頂點(diǎn)為M（1， ）．
（2） 梯形O1A1B1C1的面積 ，由此得到 ．由于 ，所以 ．整理，得 ．因此得到 ．
當(dāng)S=36時(shí)， 解得 此時(shí)點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（6，3）．
（3）設(shè)直線AB與PQ交于點(diǎn)G，直線AB與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，直線PQ與x軸交于點(diǎn)F，那么要探求相似的△GAF與△GQE，有一個(gè)公共角∠G．
在△GEQ中，∠GEQ是直線AB與拋物線對(duì)稱軸的夾角，為定值．
在△GAF中，∠GAF是直線AB與x軸的夾角，也為定值，而且∠GEQ≠∠GAF．
因此只存在∠GQE＝∠GAF的可能，△GQE∽△GAF．這時(shí)∠GAF＝∠GQE＝∠PQD．
第（3）題是否存在點(diǎn)G在x軸上方的情況？如圖4，假如存在，說理過程相同，求得的t的值也是相同的．事實(shí)上，圖3和圖4都是假設(shè)存在的示意圖，實(shí)際的圖形更接近圖3
動(dòng)感體驗(yàn)
請(qǐng)打開幾何畫板文件名“10寶山24”，拖動(dòng)點(diǎn)A′向右平移，可以體驗(yàn)到，平移5個(gè)單位后，四邊形A A′B′B為菱形．再拖動(dòng)點(diǎn)D在x軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，△B′CD與△ABC相似有兩種情況．
思路點(diǎn)撥
1．點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)在3個(gè)題目中處處用到，各具特色．第（1）題用在待定系數(shù)法中；第（2）題用來計(jì)算平移的距離；第（3）題用來求點(diǎn)B′ 的坐標(biāo)、AC和B′C的長(zhǎng)．
2．拋物線左右平移，變化的是對(duì)稱軸，開口和形狀都不變．
3．探求△ABC與△B′CD相似，根據(jù)菱形的性質(zhì)，∠BAC＝∠CB′D，因此按照夾角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，分兩種情況討論．
滿分解答
(1) 因?yàn)辄c(diǎn)A (-2，4) 和點(diǎn)B (1，0)都在拋物線 上，所以 解得 ， ．
(2)如圖2，由點(diǎn)A (-2，4) 和點(diǎn)B (1，0)，可得AB＝5．因?yàn)樗倪呅?I>A A′B′B為菱形，所以A A′＝B′B＝ AB＝5．因?yàn)?，所以原拋物線的對(duì)稱軸x＝－1向右平移5個(gè)單位后，對(duì)應(yīng)的直線為x＝4．
