2016中考數(shù)學壓軸題:函數(shù)相似三角形問題(一)
例1
直線 分別交x軸、y軸于A、B兩點，△AOB繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△COD，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A、C、D三點．
(1) 寫出點A、B、C、D的坐標；
(2) 求經(jīng)過A、C、D三點的拋物線表達式，并求拋物線頂點G的坐標；
(3) 在直線BG上是否存在點Q，使得以點A、B、Q為頂點的三角形與△COD相似？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“11閘北25”， 拖動點Q在直線BG上運動， 可以體驗到，
△ABQ的兩條直角邊的比為1∶3共有四種情況，點B上、下各有兩種．
思路點撥
1．圖形在旋轉(zhuǎn)過程中，對應線段相等，對應角相等，對應線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．
2．用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，用配方法求頂點坐標．
3．第（3）題判斷∠ABQ＝90°是解題的前提．
4．△ABQ與△COD相似，按照直角邊的比分兩種情況，每種情況又按照點Q與點B的位置關(guān)系分上下兩種情形，點Q共有4個．
滿分解答
（1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D(－1，0)．
（2）因為拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A(3，0)、C(0，3)、D(－1，0) 三點，所以 解得
所以拋物線的解析式為y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，頂點G的坐標為(1，4)．
（3）如圖2，直線BG的解析式為y＝3x＋1，直線CD的解析式為y＝3x＋3，因此CD//BG．
因為圖形在旋轉(zhuǎn)過程中，對應線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，所以AB⊥CD．因此AB⊥BG，即∠ABQ＝90°．
因為點Q在直線BG上，設點Q的坐標為(x，3x＋1)，那么 ．
Rt△COD的兩條直角邊的比為1∶3，如果Rt△ABQ與Rt△COD相似，存在兩種情況：
①當 時， ．解得 ．所以 ， ．
②當 時， ．解得 ．所以 ， ．
圖2 圖3
考點伸展
第（3）題在解答過程中運用了兩個高難度動作：一是用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)說明AB⊥BG；二是 ．
我們換個思路解答第（3）題：
如圖3，作GH⊥y軸，QN⊥y軸，垂足分別為H、N．
通過證明△AOB≌△BHG，根據(jù)全等三角形的對應角相等，可以證明∠ABG＝90°．
在Rt△BGH中， ， ．
①當 時， ．
在Rt△BQN中， ， ．
當Q在B上方時， ；當Q在B下方時， ．
②當 時， ．同理得到 ， ．
例2
Rt△ABC在直角坐標系內(nèi)的位置如圖1所示，反比例函數(shù) 在第一象限內(nèi)的圖像與BC邊交于點D（4，m），與AB邊交于點E（2，n），△BDE的面積為2．
（1）求m與n的數(shù)量關(guān)系；
（2）當tan∠A＝ 時，求反比例函數(shù)的解析式和直線AB的表達式；
（3）設直線AB與y軸交于點F，點P在射線FD上，在（2）的條件下，如果△AEO與△EFP 相似，求點P的坐標．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“11楊浦24”，拖動點A在x軸上運動，可以體驗到，直線AB保持斜率不變，n始終等于m的2倍，雙擊按鈕“面積BDE＝2”，可以看到，點E正好在BD的垂直平分線上，FD//x軸．拖動點P在射線FD上運動，可以體驗到，△AEO與△EFP 相似存在兩種情況．
思路點撥
1．探求m與n的數(shù)量關(guān)系，用m表示點B、D、E的坐標，是解題的突破口．
2．第（2）題留給第（3）題的隱含條件是FD//x軸．
3．如果△AEO與△EFP 相似，因為夾角相等，根據(jù)對應邊成比例，分兩種情況．
滿分解答
（1）如圖1，因為點D（4，m）、E（2，n）在反比例函數(shù) 的圖像上，所以 整理，得n＝2m．
（2）如圖2，過點E作EH⊥BC，垂足為H．在Rt△BEH中，tan∠BEH＝tan∠A＝ ，EH＝2，所以BH＝1．因此D(4，m)，E(2，2m)，B(4，2m＋1)．
已知△BDE的面積為2，所以 ．解得m＝1．因此D(4，1)，E(2，2)，B(4，3)．
因為點D（4，1）在反比例函數(shù) 的圖像上，所以k＝4．因此反比例函數(shù)的解析式為 ．
設直線AB的解析式為y＝kx＋b，代入B(4，3)、E(2，2)，得 解得 ， ．
因此直線AB的函數(shù)解析式為 ．
圖2 圖3 圖4
（3）如圖3，因為直線 與y軸交于點F（0，1），點D的坐標為（4，1），所以FD// x軸，∠EFP＝∠EAO．因此△AEO與△EFP 相似存在兩種情況：
①如圖3，當 時， ．解得FP＝1．此時點P的坐標為（1，1）．
②如圖4，當 時， ．解得FP＝5．此時點P的坐標為（5，1）．
考點伸展
本題的題設部分有條件“Rt△ABC在直角坐標系內(nèi)的位置如圖1所示”，如果沒有這個條件限制，保持其他條件不變，那么還有如圖5的情況：
第（1）題的結(jié)論m與n的數(shù)量關(guān)系不變．第（2）題反比例函數(shù)的解析式為 ，直線AB為 ．第（3）題FD不再與x軸平行，△AEO與△EFP 也不可能相似．
圖5