1.雙曲線的方程為=1(a>0,b>0),焦距為4,一個(gè)頂點(diǎn)是拋物線y2=4x的焦點(diǎn),則雙曲線的離心率e=( )
A.2 B. C. D.
2.已知F1,F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),滿足=0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部,則橢圓離心率的取值范圍是( )
A. (0,1) B. C. D.
3.設(shè)F為拋物線y2=4x的焦點(diǎn),A,B,C為該拋物線上三點(diǎn).若=0,則||+||+||=( )
A.9 B.6 C.4 D.3
4.已知拋物線y2=2px(p>0),過其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為( )
A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2
5.已知A,B,P是雙曲線=1上不同的三點(diǎn),且A,B連線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),若直線PA,PB的斜率乘積kPA·kPB=,則該雙曲線的離心率為( )
A.1 B.2 C. -1 D.-2
6.已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,經(jīng)過F且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A,AKl,垂足為K,則AKF的面積是( )
A.4 B.3 C.4 D.8
7.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為45°的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),若線段AB的長(zhǎng)為8,則p= .
8.(2014湖南,文14)平面上一機(jī)器人在行進(jìn)中始終保持與點(diǎn)F(1,0)的距離和到直線x=-1的距離相等.若機(jī)器人接觸不到過點(diǎn)P(-1,0)且斜率為k的直線,則k的取值范圍是 .
9.已知雙曲線的中心在原點(diǎn),且一個(gè)焦點(diǎn)為F(,0),直線y=x-1與其相交于M, N兩點(diǎn),線段MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-,求此雙曲線的方程.
10.(2014安徽,文21)設(shè)F1,F2分別是橢圓E:=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),過點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A,B兩點(diǎn),|AF1|=3|F1B|.
(1)若|AB|=4,ABF2的周長(zhǎng)為16,求|AF2|;
(2)若cosAF2B=,求橢圓E的離心率.
11.已知點(diǎn)F是雙曲線=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn),點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn),過點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),若ABE是直角三角形,則該雙曲線的離心率是( )
A. B.2 C.1+ D.2+
12.(2014湖北,文8)設(shè)a,b是關(guān)于t的方程t2cosθ+tsinθ=0的兩個(gè)不等實(shí)根,則過A(a,a2),B(b,b2)兩點(diǎn)的直線與雙曲線=1的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為( )
A.0 B.1 C.2 D.3
13.已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為,雙曲線x2-y2=1的漸近線與橢圓C有四個(gè)交點(diǎn),以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16,則橢圓C的方程為( )
A.=3 B.=1C.=-1D=-2
C.=1 D.=1
14.(2014江西,文20)如圖,已知拋物線C:x2=4y,過點(diǎn)M(0,2)任作一直線與C相交于A,B兩點(diǎn),過點(diǎn)B作y軸的平行線與直線AO相交于點(diǎn)D(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(1)證明:動(dòng)點(diǎn)D在定直線上;
(2)作C的任意一條切線l(不含x軸),與直線y=2相交于點(diǎn)N1,與(1)中的定直線相交于點(diǎn)N2,證明:|MN2|2-|MN1|2為定值,并求此定值.
15.已知點(diǎn)A(0,-2),橢圓E:=1(a>b>0)的離心率為,F是橢圓E的右焦點(diǎn),直線AF的斜率為,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求E的方程;
(2)設(shè)過點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P,Q兩點(diǎn),當(dāng)OPQ的面積時(shí),求l的方程.
參考答案
1.A 解析:拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為(1,0),則在雙曲線中a=1.又2c=4,c=2,e==2.
2.C 解析:設(shè)F1,F2為焦點(diǎn),由題意知,點(diǎn)M的軌跡是以F1F2為直徑的圓,
則c1或k<-1.
9.解:設(shè)雙曲線的方程為=1(a>0,b>0),
則a2+b2=()2=7.
由
消去y,得=1.
整理,得(b2-a2)x2+2a2x-a2-a2b2=0.(*)
由直線y=x-1與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)知a≠b,
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
則x1和x2為方程(*)的根,
于是x1+x2=.
由已知得=-,
則=-,即5a2=2b2.
由得
故所求雙曲線方程為=1.
10.解:(1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4,
得|AF1|=3,|F1B|=1.
因?yàn)锳BF2的周長(zhǎng)為16,
所以由橢圓定義可得4a=16,
|AF1|+|AF2|=2a=8.
故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5.
(2)設(shè)|F1B|=k,則k>0,
且|AF1|=3k,|AB|=4k.
由橢圓定義可得|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k.
在ABF2中,由余弦定理可得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|·|BF2|cosAF2B,
即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-(2a-3k)·(2a-k),
化簡(jiǎn)可得(a+k)(a-3k)=0,
而a+k>0,故a=3k.
于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k.
因此|BF2|2=|F2A|2+|AB|2,可得F1AF2A,
故AF1F2為等腰直角三角形.
從而c=a,所以橢圓E的離心率e=.
11.B 解析:將x=-c代入雙曲線方程得A.
由ABE是直角三角形,得=a+c,
即a2+ac=b2=c2-a2,
整理得c2-ac-2a2=0.
∴e2-e-2=0,
解得e=2(e=-1舍去).
12.A 解析:可解方程t2cosθ+tsinθ=0,
得兩根0,-.
不妨設(shè)a=0,b=-,
則A(0,0),B,
可求得直線方程y=-x,
因?yàn)殡p曲線漸近線方程為y=±x,
故過A,B的直線即為雙曲線的一條漸近線,直線與雙曲線無交點(diǎn),故選A.
13.D 解析:因?yàn)闄E圓的離心率為,
所以e=,c2=a2,a2=a2-b2.
所以b2=a2,即a2=4b2.
因?yàn)殡p曲線的漸近線為y=±x,代入橢圓得=1
即=1,
所以x2=b2,x=±b,y2=b2,y=±b.
則在第一象限的交點(diǎn)坐標(biāo)為.
所以四邊形的面積為4×b×b=b2=16.解得b2=5,
故橢圓方程為=1.
14.(1)證明:依題意可設(shè)AB方程為y=kx+2,代入x2=4y,得x2=4(kx+2),即x2-4kx-8=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則有x1x2=-8,
直線AO的方程為y=x;BD的方程為x=x2.
解得交點(diǎn)D的坐標(biāo)為
注意到x1x2=-8及=4y1,
則有y==-2.
因此D點(diǎn)在定直線y=-2上(x≠0).
(2)解:依題設(shè),切線l的斜率存在且不等于0,設(shè)切線l的方程為y=ax+b(a≠0),
代入x2=4y得x2=4(ax+b),
即x2-4ax-4b=0,
由Δ=0得(4a)2+16b=0,化簡(jiǎn)整理得b=-a2.
故切線l的方程可寫為y=ax-a2.
分別令y=2,y=-2得N1,N2的坐標(biāo)為N1,N2.
則|MN2|2-|MN1|2=+42-=8,
即|MN2|2-|MN1|2為定值8.
15.解:(1)設(shè)F(c,0),由條件知,,得c=.
又,所以a=2,b2=a2-c2=1.
故E的方程為+y2=1
(2)當(dāng)lx軸時(shí)不合題意,故設(shè)l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).
將y=kx-2代入+y2=1,
得(1+4k2)x2-16kx+12=0.
當(dāng)Δ=16(4k2-3)>0,即k2>時(shí),x1,2=.
從而|PQ|=|x1-x2|
=.
又點(diǎn)O到直線PQ的距離d=,
所以O(shè)PQ的面積SOPQ=d·|PQ|=.
設(shè)=t,則t>0,
SOPQ=.
因?yàn)閠+≥4,當(dāng)且僅當(dāng)t=2,即k=±時(shí)等號(hào)成立,且滿足Δ>0.
所以,當(dāng)OPQ的面積時(shí),l的方程為y=x-2或y=-x-2.
A.2 B. C. D.
2.已知F1,F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),滿足=0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部,則橢圓離心率的取值范圍是( )
A. (0,1) B. C. D.
3.設(shè)F為拋物線y2=4x的焦點(diǎn),A,B,C為該拋物線上三點(diǎn).若=0,則||+||+||=( )
A.9 B.6 C.4 D.3
4.已知拋物線y2=2px(p>0),過其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為( )
A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2
5.已知A,B,P是雙曲線=1上不同的三點(diǎn),且A,B連線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),若直線PA,PB的斜率乘積kPA·kPB=,則該雙曲線的離心率為( )
A.1 B.2 C. -1 D.-2
6.已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,經(jīng)過F且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A,AKl,垂足為K,則AKF的面積是( )
A.4 B.3 C.4 D.8
7.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為45°的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),若線段AB的長(zhǎng)為8,則p= .
8.(2014湖南,文14)平面上一機(jī)器人在行進(jìn)中始終保持與點(diǎn)F(1,0)的距離和到直線x=-1的距離相等.若機(jī)器人接觸不到過點(diǎn)P(-1,0)且斜率為k的直線,則k的取值范圍是 .
9.已知雙曲線的中心在原點(diǎn),且一個(gè)焦點(diǎn)為F(,0),直線y=x-1與其相交于M, N兩點(diǎn),線段MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-,求此雙曲線的方程.
10.(2014安徽,文21)設(shè)F1,F2分別是橢圓E:=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),過點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A,B兩點(diǎn),|AF1|=3|F1B|.
(1)若|AB|=4,ABF2的周長(zhǎng)為16,求|AF2|;
(2)若cosAF2B=,求橢圓E的離心率.
11.已知點(diǎn)F是雙曲線=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn),點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn),過點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),若ABE是直角三角形,則該雙曲線的離心率是( )
A. B.2 C.1+ D.2+
12.(2014湖北,文8)設(shè)a,b是關(guān)于t的方程t2cosθ+tsinθ=0的兩個(gè)不等實(shí)根,則過A(a,a2),B(b,b2)兩點(diǎn)的直線與雙曲線=1的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為( )
A.0 B.1 C.2 D.3
13.已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為,雙曲線x2-y2=1的漸近線與橢圓C有四個(gè)交點(diǎn),以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16,則橢圓C的方程為( )
A.=3 B.=1C.=-1D=-2
C.=1 D.=1
14.(2014江西,文20)如圖,已知拋物線C:x2=4y,過點(diǎn)M(0,2)任作一直線與C相交于A,B兩點(diǎn),過點(diǎn)B作y軸的平行線與直線AO相交于點(diǎn)D(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(1)證明:動(dòng)點(diǎn)D在定直線上;
(2)作C的任意一條切線l(不含x軸),與直線y=2相交于點(diǎn)N1,與(1)中的定直線相交于點(diǎn)N2,證明:|MN2|2-|MN1|2為定值,并求此定值.
15.已知點(diǎn)A(0,-2),橢圓E:=1(a>b>0)的離心率為,F是橢圓E的右焦點(diǎn),直線AF的斜率為,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求E的方程;
(2)設(shè)過點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P,Q兩點(diǎn),當(dāng)OPQ的面積時(shí),求l的方程.
參考答案
1.A 解析:拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為(1,0),則在雙曲線中a=1.又2c=4,c=2,e==2.
2.C 解析:設(shè)F1,F2為焦點(diǎn),由題意知,點(diǎn)M的軌跡是以F1F2為直徑的圓,
則c1或k<-1.
9.解:設(shè)雙曲線的方程為=1(a>0,b>0),
則a2+b2=()2=7.
由
消去y,得=1.
整理,得(b2-a2)x2+2a2x-a2-a2b2=0.(*)
由直線y=x-1與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)知a≠b,
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
則x1和x2為方程(*)的根,
于是x1+x2=.
由已知得=-,
則=-,即5a2=2b2.
由得
故所求雙曲線方程為=1.
10.解:(1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4,
得|AF1|=3,|F1B|=1.
因?yàn)锳BF2的周長(zhǎng)為16,
所以由橢圓定義可得4a=16,
|AF1|+|AF2|=2a=8.
故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5.
(2)設(shè)|F1B|=k,則k>0,
且|AF1|=3k,|AB|=4k.
由橢圓定義可得|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k.
在ABF2中,由余弦定理可得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|·|BF2|cosAF2B,
即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-(2a-3k)·(2a-k),
化簡(jiǎn)可得(a+k)(a-3k)=0,
而a+k>0,故a=3k.
于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k.
因此|BF2|2=|F2A|2+|AB|2,可得F1AF2A,
故AF1F2為等腰直角三角形.
從而c=a,所以橢圓E的離心率e=.
11.B 解析:將x=-c代入雙曲線方程得A.
由ABE是直角三角形,得=a+c,
即a2+ac=b2=c2-a2,
整理得c2-ac-2a2=0.
∴e2-e-2=0,
解得e=2(e=-1舍去).
12.A 解析:可解方程t2cosθ+tsinθ=0,
得兩根0,-.
不妨設(shè)a=0,b=-,
則A(0,0),B,
可求得直線方程y=-x,
因?yàn)殡p曲線漸近線方程為y=±x,
故過A,B的直線即為雙曲線的一條漸近線,直線與雙曲線無交點(diǎn),故選A.
13.D 解析:因?yàn)闄E圓的離心率為,
所以e=,c2=a2,a2=a2-b2.
所以b2=a2,即a2=4b2.
因?yàn)殡p曲線的漸近線為y=±x,代入橢圓得=1
即=1,
所以x2=b2,x=±b,y2=b2,y=±b.
則在第一象限的交點(diǎn)坐標(biāo)為.
所以四邊形的面積為4×b×b=b2=16.解得b2=5,
故橢圓方程為=1.
14.(1)證明:依題意可設(shè)AB方程為y=kx+2,代入x2=4y,得x2=4(kx+2),即x2-4kx-8=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則有x1x2=-8,
直線AO的方程為y=x;BD的方程為x=x2.
解得交點(diǎn)D的坐標(biāo)為
注意到x1x2=-8及=4y1,
則有y==-2.
因此D點(diǎn)在定直線y=-2上(x≠0).
(2)解:依題設(shè),切線l的斜率存在且不等于0,設(shè)切線l的方程為y=ax+b(a≠0),
代入x2=4y得x2=4(ax+b),
即x2-4ax-4b=0,
由Δ=0得(4a)2+16b=0,化簡(jiǎn)整理得b=-a2.
故切線l的方程可寫為y=ax-a2.
分別令y=2,y=-2得N1,N2的坐標(biāo)為N1,N2.
則|MN2|2-|MN1|2=+42-=8,
即|MN2|2-|MN1|2為定值8.
15.解:(1)設(shè)F(c,0),由條件知,,得c=.
又,所以a=2,b2=a2-c2=1.
故E的方程為+y2=1
(2)當(dāng)lx軸時(shí)不合題意,故設(shè)l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).
將y=kx-2代入+y2=1,
得(1+4k2)x2-16kx+12=0.
當(dāng)Δ=16(4k2-3)>0,即k2>時(shí),x1,2=.
從而|PQ|=|x1-x2|
=.
又點(diǎn)O到直線PQ的距離d=,
所以O(shè)PQ的面積SOPQ=d·|PQ|=.
設(shè)=t,則t>0,
SOPQ=.
因?yàn)閠+≥4,當(dāng)且僅當(dāng)t=2,即k=±時(shí)等號(hào)成立,且滿足Δ>0.
所以,當(dāng)OPQ的面積時(shí),l的方程為y=x-2或y=-x-2.