題型一 定值、定點(diǎn)問(wèn)題
例1 已知橢圓C：+=1經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，)，離心率為，直線l經(jīng)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F交橢圓于A、B兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線l交y軸于點(diǎn)M，且=λ，=μ，當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，探求λ+μ的值是否為定值?若是，求出λ+μ的值;否則，請(qǐng)說(shuō)明理由.
破題切入點(diǎn) (1)待定系數(shù)法.
(2)通過(guò)直線的斜率為參數(shù)建立直線方程，代入橢圓方程消y后可得點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)的關(guān)系式，然后根據(jù)向量關(guān)系式=λ，=μ.把λ，μ用點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)表示出來(lái)，只要證明λ+μ的值與直線的斜率k無(wú)關(guān)即證明了其為定值，否則就不是定值.
解 (1)依題意得b=，e==，a2=b2+c2，
∴a=2，c=1，∴橢圓C的方程為+=1.
(2)因直線l與y軸相交于點(diǎn)M，故斜率存在，
又F坐標(biāo)為(1,0)，設(shè)直線l方程為
y=k(x-1)，求得l與y軸交于M(0，-k)，
設(shè)l交橢圓A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
消去y得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0，
∴x1+x2=，x1x2=，
又由=λ，∴(x1，y1+k)=λ(1-x1，-y1)，
∴λ=，同理μ=，
∴λ+μ=+=
所以當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，直線λ+μ的值為定值-.
題型二 定直線問(wèn)題
例2 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)定點(diǎn)C(0，p)作直線與拋物線x2=2py(p>0)相交于A，B兩點(diǎn).
(1)若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，求△ANB面積的最小值;
(2)是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值?若存在，求出l的方程;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
破題切入點(diǎn) 假設(shè)符合條件的直線存在，求出弦長(zhǎng)，利用變量的系數(shù)恒為零求解.
解 方法一 (1)依題意，點(diǎn)N的坐標(biāo)為N(0，-p)，
可設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直線AB的方程為y=kx+p，
與x2=2py聯(lián)立得
消去y得x2-2pkx-2p2=0.
由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=2pk，x1x2=-2p2.
于是S△ABN=S△BCN+S△ACN=·2p|x1-x2|
=p|x1-x2|=p
=p=2p2，
∴當(dāng)k=0時(shí)，(S△ABN)min=2p2.
(2)假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y=a，
AC的中點(diǎn)為O′，l與以AC為直徑的圓相交于點(diǎn)P，Q，PQ的中點(diǎn)為H，
則O′H⊥PQ，Q′點(diǎn)的坐標(biāo)為(，).
∵O′P=AC==，
O′H==|2a-y1-p|，
∴PH2=O′P2-O′H2
=(y+p2)-(2a-y1-p)2
=(a-)y1+a(p-a)，
∴PQ2=(2PH)2=4[(a-)y1+a(p-a)].
令a-=0，得a=，
此時(shí)PQ=p為定值，故滿足條件的直線l存在，
其方程為y=，即拋物線的通徑所在的直線.
方法二 (1)前同方法一，再由弦長(zhǎng)公式得
AB=|x1-x2|
=·
=·
=2p·，
又由點(diǎn)到直線的距離公式得d=.
從而S△ABN=·d·AB
=·2p··
=2p2.
∴當(dāng)k=0時(shí)，(S△ABN)min=2p2.
(2)假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y=a，
則以AC為直徑的圓的方程為
(x-0)(x-x1)-(y-p)(y-y1)=0，
將直線方程y=a代入得x2-x1x+(a-p)(a-y1)=0，
則Δ=x-4(a-p)(a-y1)
=4[(a-)y1+a(p-a)].
設(shè)直線l與以AC為直徑的圓的交點(diǎn)為P(x3，y3)，Q(x4，y4)，
則有PQ=|x3-x4|=
=2.
令a-=0，得a=，
此時(shí)PQ=p為定值，故滿足條件的直線l存在，
其方程為y=，即拋物線的通徑所在的直線.
題型三 定圓問(wèn)題
例3 已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率為，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1和F2，橢圓G上一點(diǎn)到F1和F2的距離之和為12，圓Ck：x2+y2+2kx-4y-21=0(k∈R)的圓心為點(diǎn)Ak.
(1)求橢圓G的方程;
(2)求△AkF1F2的面積;
(3)問(wèn)是否存在圓Ck包圍橢圓G?請(qǐng)說(shuō)明理由.
破題切入點(diǎn) (1)根據(jù)定義，待定系數(shù)法求方程.
(2)直接求.
(3)關(guān)鍵看長(zhǎng)軸兩端點(diǎn).
解 (1)設(shè)橢圓G的方程為+=1(a>b>0)，半焦距為c，則解得
所以b2=a2-c2=36-27=9.
所以所求橢圓G的方程為+=1.
(2)點(diǎn)Ak的坐標(biāo)為(-k,2)，
S△AkF1F2=×|F1F2|×2=×6×2=6.
(3)若k≥0，由62+02+12k-0-21=15+12k>0，可知點(diǎn)(6,0)在圓Ck外;
若k<0，由(-6)2+02-12k-0-21=15-12k>0，可知點(diǎn)(-6,0)在圓Ck外.
所以不論k為何值，圓Ck都不能包圍橢圓G.
即不存在圓Ck包圍橢圓G.
總結(jié)提高 (1)定值問(wèn)題就是在運(yùn)動(dòng)變化中尋找不變量的問(wèn)題，基本思想是使用參數(shù)表示要解決的問(wèn)題，證明要解決的問(wèn)題與參數(shù)無(wú)關(guān).在這類試題中選擇消元的方向是非常關(guān)鍵的.
(2)由直線方程確定定點(diǎn)，若得到了直線方程的點(diǎn)斜式：y-y0=k(x-x0)，則直線定點(diǎn)(x0，y0);若得到了直線方程的斜截式：y=kx+m，則直線定點(diǎn)(0，m).
(3)定直線問(wèn)題一般都為特殊直線x=x0或y=y0型.
例1 已知橢圓C：+=1經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，)，離心率為，直線l經(jīng)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F交橢圓于A、B兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線l交y軸于點(diǎn)M，且=λ，=μ，當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，探求λ+μ的值是否為定值?若是，求出λ+μ的值;否則，請(qǐng)說(shuō)明理由.
破題切入點(diǎn) (1)待定系數(shù)法.
(2)通過(guò)直線的斜率為參數(shù)建立直線方程，代入橢圓方程消y后可得點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)的關(guān)系式，然后根據(jù)向量關(guān)系式=λ，=μ.把λ，μ用點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)表示出來(lái)，只要證明λ+μ的值與直線的斜率k無(wú)關(guān)即證明了其為定值，否則就不是定值.
解 (1)依題意得b=，e==，a2=b2+c2，
∴a=2，c=1，∴橢圓C的方程為+=1.
(2)因直線l與y軸相交于點(diǎn)M，故斜率存在，
又F坐標(biāo)為(1,0)，設(shè)直線l方程為
y=k(x-1)，求得l與y軸交于M(0，-k)，
設(shè)l交橢圓A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
消去y得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0，
∴x1+x2=，x1x2=，
又由=λ，∴(x1，y1+k)=λ(1-x1，-y1)，
∴λ=，同理μ=，
∴λ+μ=+=
所以當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，直線λ+μ的值為定值-.
題型二 定直線問(wèn)題
例2 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)定點(diǎn)C(0，p)作直線與拋物線x2=2py(p>0)相交于A，B兩點(diǎn).
(1)若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，求△ANB面積的最小值;
(2)是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值?若存在，求出l的方程;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
破題切入點(diǎn) 假設(shè)符合條件的直線存在，求出弦長(zhǎng)，利用變量的系數(shù)恒為零求解.
解 方法一 (1)依題意，點(diǎn)N的坐標(biāo)為N(0，-p)，
可設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直線AB的方程為y=kx+p，
與x2=2py聯(lián)立得
消去y得x2-2pkx-2p2=0.
由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=2pk，x1x2=-2p2.
于是S△ABN=S△BCN+S△ACN=·2p|x1-x2|
=p|x1-x2|=p
=p=2p2，
∴當(dāng)k=0時(shí)，(S△ABN)min=2p2.
(2)假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y=a，
AC的中點(diǎn)為O′，l與以AC為直徑的圓相交于點(diǎn)P，Q，PQ的中點(diǎn)為H，
則O′H⊥PQ，Q′點(diǎn)的坐標(biāo)為(，).
∵O′P=AC==，
O′H==|2a-y1-p|，
∴PH2=O′P2-O′H2
=(y+p2)-(2a-y1-p)2
=(a-)y1+a(p-a)，
∴PQ2=(2PH)2=4[(a-)y1+a(p-a)].
令a-=0，得a=，
此時(shí)PQ=p為定值，故滿足條件的直線l存在，
其方程為y=，即拋物線的通徑所在的直線.
方法二 (1)前同方法一，再由弦長(zhǎng)公式得
AB=|x1-x2|
=·
=·
=2p·，
又由點(diǎn)到直線的距離公式得d=.
從而S△ABN=·d·AB
=·2p··
=2p2.
∴當(dāng)k=0時(shí)，(S△ABN)min=2p2.
(2)假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y=a，
則以AC為直徑的圓的方程為
(x-0)(x-x1)-(y-p)(y-y1)=0，
將直線方程y=a代入得x2-x1x+(a-p)(a-y1)=0，
則Δ=x-4(a-p)(a-y1)
=4[(a-)y1+a(p-a)].
設(shè)直線l與以AC為直徑的圓的交點(diǎn)為P(x3，y3)，Q(x4，y4)，
則有PQ=|x3-x4|=
=2.
令a-=0，得a=，
此時(shí)PQ=p為定值，故滿足條件的直線l存在，
其方程為y=，即拋物線的通徑所在的直線.
題型三 定圓問(wèn)題
例3 已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率為，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1和F2，橢圓G上一點(diǎn)到F1和F2的距離之和為12，圓Ck：x2+y2+2kx-4y-21=0(k∈R)的圓心為點(diǎn)Ak.
(1)求橢圓G的方程;
(2)求△AkF1F2的面積;
(3)問(wèn)是否存在圓Ck包圍橢圓G?請(qǐng)說(shuō)明理由.
破題切入點(diǎn) (1)根據(jù)定義，待定系數(shù)法求方程.
(2)直接求.
(3)關(guān)鍵看長(zhǎng)軸兩端點(diǎn).
解 (1)設(shè)橢圓G的方程為+=1(a>b>0)，半焦距為c，則解得
所以b2=a2-c2=36-27=9.
所以所求橢圓G的方程為+=1.
(2)點(diǎn)Ak的坐標(biāo)為(-k,2)，
S△AkF1F2=×|F1F2|×2=×6×2=6.
(3)若k≥0，由62+02+12k-0-21=15+12k>0，可知點(diǎn)(6,0)在圓Ck外;
若k<0，由(-6)2+02-12k-0-21=15-12k>0，可知點(diǎn)(-6,0)在圓Ck外.
所以不論k為何值，圓Ck都不能包圍橢圓G.
即不存在圓Ck包圍橢圓G.
總結(jié)提高 (1)定值問(wèn)題就是在運(yùn)動(dòng)變化中尋找不變量的問(wèn)題，基本思想是使用參數(shù)表示要解決的問(wèn)題，證明要解決的問(wèn)題與參數(shù)無(wú)關(guān).在這類試題中選擇消元的方向是非常關(guān)鍵的.
(2)由直線方程確定定點(diǎn)，若得到了直線方程的點(diǎn)斜式：y-y0=k(x-x0)，則直線定點(diǎn)(x0，y0);若得到了直線方程的斜截式：y=kx+m，則直線定點(diǎn)(0，m).
(3)定直線問(wèn)題一般都為特殊直線x=x0或y=y0型.