一、選擇題（本大題15個小題，每小題4分，共60分）
1．（4分）在方程x2+x=y， x﹣2x2=3，（x﹣1）（x﹣2）=0，x2﹣ =4，x（x﹣1）=1中，一元二次方程的個數(shù)是（）
A． 1個 B． 2個 C． 3個 D． 4個
2．（4分）如圖，在▱ABCD中，增加一個條件四邊形ABCD就成為矩形，這個條件是（）
A． AB=CD B． ∠A+∠C=180° C． BD=2AB D． AC⊥BD
3．（4分）如圖，在周長為12的菱形ABCD中，∠BAC=60°，則對角線AC的長為（）
A． 3 B． 6 C． 9 D． 12
4．（4分）一元二次方程（x+6）2=16可轉(zhuǎn)化為兩個一元方程，其中一個一元方程是x+6=4，則另一個一元方程是（）
A． x﹣6=﹣4 B． x﹣6=4 C． x+6=4 D． x+6=﹣4
5．（4分）如圖，點E在正方形ABCD的邊BC的延長線上，且BE=BD，則∠E的度數(shù)為（）
A． 45° B． 60° C． 67.5° D． 75°
6．（4分）在數(shù)學(xué)活動課上，老師和同學(xué)們判斷一個四邊形窗框是否為菱形，下面是某合作小組的4位同學(xué)擬定的方案，其中正確的是（）
A． 測量對角線是否相互垂直 B． 測量兩組對邊是否分別相等
C． 測量四個角是否相等 D． 測四條邊是否相等
7．（4分）把方程﹣2x2+x+8=1化為二次項系數(shù)為正數(shù)的一般形式后，它的常數(shù)項是（）
A． 7 B． ﹣7 C． ﹣8 D． ﹣9
8．（4分）如圖，將△ABC沿BC方向平移得到△DCE，連接AD，下列條件能夠判定四邊形ACED為菱形的是（）
A． AB=BC B． AC=BC C． ∠B=60° D． ∠ACB=60°
9．（4分）用配方法解方程4x2﹣3x=4時應(yīng)在方程的兩邊同時加上（）
A． B． C． D．
10．（4分）如圖，在△ABC中，AC=BC，點D、E分別是邊AB、AC的中點，將△ADE繞點E旋轉(zhuǎn)180°得△CFE，則四邊形ADCF一定是（）
A． 矩形 B． 菱形 C． 正方形 D． 梯形
11．（4分）如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在CD、BC上，且BF=CE，連接BE、AF相交于點G，則下列結(jié)論不正確的是（）
A． BE=AF B． ∠DAF=∠BEC
C． ∠AFB+∠BEC=90° D． AG⊥BE
12．（4分）用配方法解關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m=0，配方后得到的方程為（）
A． （x﹣1）2=m﹣1 B． （x﹣1）2=m+1 C． （x﹣1）2=1﹣m D． （x﹣1）2=m2﹣1
13．（4分）m是方程x2+x﹣1=0的根，則式子m3+2m2+2014的值為（）
A． 2014 B． 2015 C． 2016 D． 2017
14．（4分）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E在對角線BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足為F，則EF的長為（）
A． 1 B． C． 4﹣2 D． 3 ﹣4
15．（4分）如圖，將矩形ABCD沿對角線BD折疊，使點C和點C′重合，BC′交AD于點E，若AB=4，AD=8，則DE的長為（）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
二、填空題（本大題5個小題，每小題4分，共20分）
16．（4分）根據(jù)如表確定一元二次方程x2+2x﹣9=0的一個解的范圍是．
x 0 1 2 3 4
x2+2x﹣9 ﹣9 ﹣6 ﹣1 6 15
17．（4分）點O是矩形ABCD的對角線AC的中點，點M是AD的中點，若AB=5，AD=12，則四邊形ABOM的周長為．
18．（4分）如圖，從正方形ABCD上截取寬為2cm的矩形BCEF，剩下矩形AFED的面積為48cm2，則正方形ABCD的邊長為cm ．
19．（4分）如圖，正方形ABCD的邊長為2，P為正方形ABCD內(nèi)一點，且△PBC為等腰三角形，則△CDP的面積為．
20．（4分）如圖，在菱形ABCD中，AB=4，∠C=120°，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，連接EF，則△AEF的面積為．
三、解答題（本大題8個小題，共70分）
21．（6分）用配方法解方程：3x2+8x+4=0．
22．（6分）如圖，在菱形ABCD中，AC、BD交于點O，DE⊥AB于E，若AC=8，BD=6，求DE的長．
23．（8分）在正方形ABCD中，AC為對角線，E為AC上一點，連接EB、ED．
（1）求證：△BEC≌△DEC；
（2）延長BE交AD于F，當(dāng)∠BED=120°時，求∠EFD的度數(shù)．
24．（8分）已知：如圖，在▱ABCD中，O為對角線BD的中點， 過點O的直線EF分別交AD，BC于E，F(xiàn)兩點，連結(jié)BE，DF．
（1）求證：△DOE≌△BOF；
（2）當(dāng)∠DOE等于多少度時，四邊形BFDE為菱形？請說明理由．
25．（10分）有兩個正方形，小正方形的邊長比大正方形的邊長的一半多1cm，大正方形的面積比小正方形的面積的2倍多
4cm2．
（1）若設(shè)大正方形的邊長為xcm，請列出方程，并將其化為一般形式．
（2）完成下表：
x 5 6 7 8 9 10
ax2+bx+c
（3）根據(jù)上表求出大正方形的邊長．
26．（10分）如圖，已知矩形ABCD的邊長AB=3cm，BC=6cm，某一時刻，動點M從點A出發(fā)沿AB方向以1cm∕s的速度向點B勻速運動；同時，動點N從點D沿DA方向以2cm∕s的速度向點A勻速運動．經(jīng)過多少時間，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的 ？
27．（10分）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD，點 E、F分別是AB、CD的中點，過點A作AG∥BD，交CB的延長線于點G．
（1）求證：四邊形DEBF是菱形；
（2）請判斷四邊形AGBD是什么特殊四邊形？并加以證明．
28．（12分）如圖，點G是正方形ABCD對角線CA的延長線上任意一點，以線段AG為邊作一個正方形AEFG，線段EB和GD相交于點H．
（1）求證：EB=GD；
（2）判斷EB與GD的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）若AB=2，AG= ，求EB的長．
遼寧省本溪市20xx屆九年級上學(xué)期第月考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題15個小題，每小題4分，共60分）
1．（4分）在方程x2+x=y， x﹣2x2=3，（x﹣1）（x﹣2）=0，x2﹣ =4，x（x﹣1）=1中，一元二次方程的個數(shù)是（）
A． 1個 B． 2個 C． 3個 D． 4個
考點： 一元二次方程的定義．
分析： 本題根據(jù)一元二次方程的定義解答．
一元二次方程必須滿足四個條件：
（1）未知數(shù)的 高次數(shù)是2；
（2）二次項系數(shù)不為0；
（3）是整式方程；
（4）含有一個未知數(shù)．由這四個條件對四個選項進行驗證，滿足這四個條件者為正確答案．
解答： 解：x2+x=y方程含有兩個未知數(shù)，故錯誤；
x﹣2x2=3，（x﹣1）（x﹣2）=0，x（x﹣1）=1符合一元二次方程的定義，正確；
x2﹣ =4，不是整式方程，故錯誤．
故選：C．
點評： 本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的高次數(shù)是2．
2．（4分）如圖，在▱ABCD中，增加一個條件四邊形ABCD就成為矩形，這個條件是（）
A． AB=CD B． ∠A+∠C=180° C． BD=2AB D． AC⊥BD
考點： 矩形的判定．
分析： 根據(jù)矩形的判定（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）．
解答： 解：根據(jù)矩形的判定（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）
可得∠A+∠B=180°，∠A+∠C=180°
故∠B=∠C=90°
增加的條件是∠A+∠C=180°．
故選B．
點評： 考查了矩形的判定，矩形的判定定理有：
（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形；
（2）有三個角是直角的四邊形是矩形；
（3）對角線互相平分且相等的四邊形是矩形．
3．（4分）如圖，在周長為12的菱形ABCD中，∠BAC=60°，則對角線AC的長為（）
A． 3 B． 6 C． 9 D． 12
考點： 菱形的性質(zhì)．
分析： 根據(jù)菱形的四條邊都相等求出邊長，再判斷出△ABC是等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等解答．
解答： 解：∵菱形的周長為 12，
∴菱形的邊長AB=BC=12÷4= 3，
∵∠BAC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AC=AB=3．
故選A．
點評： 本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．（4分）一元二次方程（x+6）2=16可轉(zhuǎn)化為兩個一元方程，其中一個一元方程是x+6=4，則另一個一元方程是（）
A． x﹣6=﹣4 B． x﹣6=4 C． x+6=4 D． x+6=﹣4
考點： 解一元二次方程-直接開平方法．
分析： 方程兩邊直接開平方可達到降次的目的，進而可直接得到答案．
解答： 解：（x+6）2=16，
兩邊直接開平方得：x+6=±4，
則：x+6=4，x+6=﹣4，
故選：D．
點評： 本題主要考查了直接開平方法解一元二次方程，關(guān)鍵是將方程右側(cè)看做一個非負已知數(shù)，根據(jù)法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負，分開求得方程解”來求解．
5．（4分）如圖，點E在正方形ABCD的邊BC的延長線上，且BE=BD，則∠E的度數(shù)為（）
A． 45° B． 60° C． 67.5° D． 75°
考點： 正方形的性質(zhì)．
分析： 根據(jù)正方形的對角線平分一組對角線求出∠CBD=45°，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等列式計算即可得解．
解答： 解：在正方形ABCD中，∠CBD=45°，
∵BE=BD，
∴∠E= （180°﹣45°）=67.5°．
故選C．
點評： 本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．
6．（4分）在數(shù)學(xué)活動課上，老師和同學(xué)們判斷一個四邊形窗框是否為菱形，下面是某合作小組的4位同學(xué)擬定的方案，其中正確的是（）
A． 測量對角線是否相互垂直 B． 測量兩組對邊是否分別相等
C． 測量四個角是否相等 D． 測四條邊是否相等
考點： 菱形的判定．
專題： 應(yīng)用題．
分析： 根據(jù)菱形的判定定理分別進行解答即可得出答案．菱形的判定定理有：（1）鄰邊相等的平行四邊形是菱形；（2）四條邊都相等的四邊形是菱形；（3）對角線互相垂直的平行四邊形的四邊形是菱形．
解答： 解：A、對角線是否垂直不能判定形狀；
B、所有的平行四邊形的對邊均相等，故錯誤；
C、四個角均相等的四邊形是矩形，不能判定形狀；
D、其中四邊形的四條邊都相等，能判定菱形．
故選D．
點評： 此題考查了菱形的判定，用到的知識點是菱形的判定定理，難度不大．
7．（4分）把方程﹣2x2+x+8=1化為二次項系數(shù)為正數(shù)的一般形式后，它的常數(shù)項是（）
A． 7 B． ﹣7 C． ﹣8 D． ﹣9
考點： 一元二次方程的一般形式．
分析： 把方程移項得到﹣2x2+x+7=0，再方程兩邊同時除以﹣1得2x2﹣x﹣7=0，再找常數(shù)項即可．
解答： 解：﹣2x2+x+8=1
移項，得﹣2x2+x+7=0，
方程兩邊同時除以﹣1得2x2﹣x﹣7=0，
常數(shù)項是﹣7，
故選：B．
點評： 一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中ax2叫二次項，bx叫項，c是常數(shù)項．其中a，b，c分別叫二次項系數(shù)，項系數(shù)，常數(shù)項．
8．（4分）如圖，將△ABC沿BC方向平移得到△DCE，連接AD，下列條件能夠判定四邊形ACED為菱形的是（）
A． AB=BC B． AC=BC C． ∠B=60° D． ∠ACB=60°
考點： 菱形的判定；平移的性質(zhì)．
分析： 首先根據(jù)平移的性質(zhì)得出AB CD，得出四邊形ABCD為平行四邊形，進而利用菱形的判定得出答案．
解答： 解：∵將△ABC沿BC方向平移得到△DCE，
∴AB CD，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
當(dāng)AC=BC時，
平行四邊形ACED是菱形．
故選：B．
點評： 此題主要考查了平移的性質(zhì)和平行四邊形的判定和菱形的判定，得出AB CD是解題關(guān)鍵．
9．（4分）用配方法解方程4x2﹣3x=4時應(yīng)在方程的兩邊同時加上（）
A． B． C． D．
考點： 解一元二次方程-配方法．
分析： 先方程兩邊都除以4，再方程兩邊都加上項系數(shù)一半的平方，即可得出答案．
解答： 解：4x2﹣3x=4，
x2﹣ x=1，
x2﹣ x+（ ）2=1+（ ）2，
即方程兩邊都加上 ，
故選D．
點評： 本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能正確配方，題目比較好，難度適中．
10．（4分）如圖，在△ABC中，AC=BC，點D、E分別是邊AB、AC的中點，將△ADE繞點E旋轉(zhuǎn)180°得△CFE，則四邊形ADCF一定是（）
A． 矩形 B． 菱形 C． 正方形 D． 梯形
考點： 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；矩形的判定．
分析： 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE=CE，DE=EF，再根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形ADCF是平行四邊形，然后利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出∠ADC=90°，再利用有一個角是直角的平行四邊形是矩形解答．
解答： 解：∵△ADE繞點E旋轉(zhuǎn)180°得△CFE，
∴AE=CE，DE=EF，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∵AC=BC，點D是邊AB的中點，
∴∠ADC=90°，
∴四邊形ADCF矩形．
故選：A．
點評： 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的判定，主要利用了對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，有一個角是直角的平行四邊形是矩形的判定方法，熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小是解題的關(guān)鍵．
11．（4分）如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在CD、BC上，且BF=CE，連接BE、AF相交于點G，則下列結(jié)論不正確的是（）
A． BE=AF B． ∠DAF=∠BEC
C． ∠AFB+∠BEC=90° D． AG⊥BE
考點： 正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．
專題： 證明題；壓軸題．
分析： 分析圖形，根據(jù)正方形及三角形性質(zhì)找到各角邊的關(guān)系就很容易求解．
解答： 解：∵ABCD是正方形
∴∠ABF=∠C=90°，AB=BC
∵BF=CE
∴△ABF≌△BCE
∴AF=BE（第一個正確）
∠BAF=∠CBE，∠BFA=∠BEC（第三個錯誤）
∵∠BAF+∠DAF=90°，∠BAF+∠BFA=90°
∴∠DAF=∠BEC（第二個正確）
∵∠BAF=∠CBE，∠BAF+∠AFB=90°
∴∠CBE+∠AFB=90°
∴AG⊥BE（第四個正確）
所以不正確的是C，故選C．
點評： 此題主要考查了學(xué)生對正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定的掌握情況．
12．（4分）用配方法解關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m=0，配方后得到的方程為（）
A． （x﹣1）2=m﹣1 B． （x﹣1）2=m+1 C． （x﹣1）2=1﹣m D． （x﹣1）2=m2﹣1
考點： 解一元二次方程-配方法．
分析： 把常數(shù)項﹣m移項后，應(yīng)該在左右兩邊同時加上項系數(shù)﹣2的一半的平方．
解答： 解：把方程x2﹣2x﹣m=0的常數(shù)項移到等號的右邊，得到x2﹣2x=m，
方程兩邊同時加上項系數(shù)一半的平方，得到x2﹣2x+1=m+1，
配方得（x﹣1）2=m+1．
故選：B．
點評： 本題考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步驟：
（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；
（2）把二次項的系數(shù)化為1；
（3）等式兩邊同時加上項系數(shù)一半的平方．
選擇用配方法解一元二次方程時，好使方程的二次項的系數(shù)為1，項的系數(shù)是2的倍數(shù)．
13．（4分）m是方程x2+x﹣1=0的根，則式子m3+2m2+2014的值為（）
A． 2014 B． 2015 C． 2016 D． 2017
考點： 一元二次方程的解．
分析： 把m代入x2+x﹣1=0得到m2+m﹣1=0，即m2+m=1，把m2+m=1代入式子：m3+2m2+2014，再將式子變形為m（m2+m）+m2+2014的 形式，即可求出式子的值．
解答： 解：∵m是方程x2+x﹣1=0的根，
∴m2+m﹣1=0，即m2+m=1，
∴m3+2m2+2014=m（m2+m）+m2+2014=m+m2+2014=1+2014=2015．
故選B．
點評： 考查了一元二次方程的解，代數(shù)式中的字母表示的數(shù)沒有明確告知，而是隱含在題設(shè)中，首先應(yīng)從題設(shè)中獲取代數(shù)式m2+m的值，然后利用“整體代入法”求代數(shù)式的值．
14．（4分）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E在對角線BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足為F，則EF的長為（）
A． 1 B． C． 4﹣2 D． 3 ﹣ 4
考點： 正方形的性質(zhì)．
專題： 壓軸題．
分析： 根據(jù)正方形的對角線平分一組對角可得∠ABD=∠ADB=45°，再求出∠D AE的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求∠AED，從而得到∠DAE=∠AED，再根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)得到AD=DE，然后求出正方形的對角線BD，再求出BE，后根據(jù)等腰直角三角形的直角邊等于斜邊的 倍計算即可得解．
解答： 解：在正方形ABCD中，∠ABD=∠ADB=45°，
∵∠BAE=22.5°，
∴∠DAE=90°﹣∠BAE=90°﹣22.5°=67.5°，
在△ADE中，∠AED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，
∴∠DAE=∠AED，
∴AD=DE=4，
∵正方形的邊長為4，
∴BD=4 ，
∴BE=BD﹣DE=4 ﹣4，
∵EF⊥AB，∠ABD=45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EF= BE= ×（4 ﹣4）=4﹣2 ．
故選：C．
點評： 本題考查了正方形的性質(zhì)，主要利用了正方形的對角線平分一組對角，等角對等邊的性質(zhì)，正方形的對角線與邊長的關(guān)系，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)角的度數(shù)的相等求出相等的角，再求出DE=AD是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．
15．（4分）如圖，將矩形ABCD沿對角線BD折疊，使點C和點C′重合，BC′交AD于點E，若AB=4，AD=8，則DE的長為（）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
考點： 翻折變換（折疊問題）．
分析： 首先根據(jù)題意得到BE=DE，然后根據(jù)勾股定理得到關(guān)于線段AB、AE、BE的方程，解方程即可解決問題．
解答： 解：
設(shè)ED=x，則AE=8﹣x；
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDB=∠DBC；
由題意得：∠EBD=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴EB=ED=x；
由勾股定理得：
BE2=AB2+AE2，
即x2=42+（8﹣x）2，
解得：x=5，
故選D．
點評： 該命題主要考查了幾何變換中的翻折變換及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是根據(jù)翻折變換的性質(zhì)，結(jié)合全等三角形的判定及其性質(zhì)、勾股定理等幾何知識，靈活進行判斷、分析、推理或解答．
二、填空題（本大題5個小題，每小題4分，共20分）
16．（4分）根據(jù)如表確定一元二次方程x2+2x﹣9=0的一個解的范圍是2＜x＜3．
x 0 1 2 3 4
x2+2x﹣9 ﹣9 ﹣6 ﹣1 6 15
考點： 估算一元二次方程的近似解．
分析： 觀察表格可知，隨x的值逐漸增大，x2+2x﹣9的值在2～3之間由負到正，故可判斷x2+2x﹣9=0時，對應(yīng)的x的值在2＜x＜3之間．
解答： 解：根據(jù)表格可知，x2+2x﹣9=0時，對應(yīng)的x的值在2＜x＜3之間，
故答案為2＜x＜3．
點評： 本題考查了二次函數(shù)圖象與一元二次方程的解之間的關(guān)系．關(guān)鍵是觀察表格，確定函數(shù)值由負到正時，對應(yīng)的自變量取值范圍．
17．（4分）點O是矩形ABCD的對角線AC的中點，點M是AD的中點，若AB=5，AD=12，則四邊形ABOM的周長為20．
考點： 矩形的性質(zhì)．
專題： 計算題．
分析： 根據(jù)矩形的性質(zhì)得出DC=AB=5，∠D=∠ABC=90°，根據(jù)勾股定理求出AC，求出AM、OM、BO，即可求出答案．
解答： 解：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴DC=AB=5，∠D=∠ABC=90°，
由勾股定理得：AC= =13，
∵點O是矩形ABCD的對角線AC的中點，點M是AD的中點，
∴OM= CD= ，BO= AC= ，AM= AD=6，
∴四邊形ABOM的周長為：AB+BO+OM+AM=5+ + +6=20，
故答案為：20．
點評： 本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線，三角形的中位線的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出四邊形ABOM的各個邊的長度．
18．（4分）如圖，從正方形ABCD上截取寬為2cm的矩形BCEF，剩下矩形AFED的面積為48cm2，則正方形ABCD的邊長為8cm．
考點： 一元二次方程的應(yīng)用．
專題： 幾何圖形問題．
分析： 首先設(shè)出正方形的邊長，然后表示出矩形的寬，利用矩形的面積公式進行計算即可．
解答： 解：設(shè)正方形的邊長為xcm，則AF的長為（x﹣2），
根據(jù)題意得：x（x﹣2）=48，
解得：x=8或x=﹣6（舍去），
故答案為：8．
點評： 本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，能夠根據(jù)設(shè)出 的正方形的邊長表示出矩形的寬是解答本題的關(guān)鍵．
19．（4分）如圖，正方形ABCD的邊長為2，P為正方形ABCD內(nèi)一點，且△PBC為等腰三角形，則△CDP的面積為1．
考點： 正方形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．
分析： 首先利用等腰三角形的性質(zhì)得出PE=1，進而利用三角形面積求法得出即可．
解答： 解：過點P作PE⊥DC于點E，
∵△PBC為等腰三角形，
∴P在線段BC的垂直平分線上，
∴PE= BC=1，
∴△CDP的面積為： ×2×1=1．
故答案為：1．
點評： 此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，得出PE的長是解題關(guān)鍵．
20．（4分）如圖，在菱形ABCD中，AB=4，∠C=120°，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，連接EF，則△AEF的面積為3 ．
考點： 菱形的性質(zhì)．
分析： 首先利用菱形的性質(zhì)及等邊三角形的判定可得判斷出△AEF是等邊三角形，再根據(jù)三角函數(shù)計算出AE=EF的值，再過A作AM⊥EF，再進一步利用三角函數(shù)計算出AM的值，即可算出三角形的面積．
解答： 解：∵四邊形ABCD是菱形，∠C=120°，
∴AB∥CD，BC=CD，
∴∠B=∠D=180°﹣120°=60°，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴AB•AE=AD•AF，∠BAE=∠DAF=30°，
∴AE=AF，
∵∠B=60°，
∴∠BAD=120°，
∴∠EAF=120°﹣30°﹣30°=60°，
∴△AEF是等邊三角形，
∴AE=EF，∠AEF=60°，
∵AB=4，
∴AE=2 ，
∴EF=AE=2 ，
過A作AM⊥EF，
∴AM=AE•sin60°=3，
∴△AEF的面積是： EF•AM= ×2 ×3=3 ．
故答案為：3 ．
點評： 此題考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及三角函數(shù)的運用．關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)，證明△AEF是等邊三角形．
三、解答題（本大題8個小題，共70分）
21．（6分）用配方法解方程：3x2+8x+4=0．
考點： 解一元二次方程-配方法．
分析： 首先把方程的二次項系數(shù)化為1，移項，然后在方程的左右兩邊同時加上項系數(shù)一半的平方，左邊就是完全平方式，右邊就是常數(shù)，然后利用平方根的定義即可求解．
解答： 解：由3x2+8x+4=0，得
移項，得
3x2+8x=﹣4，
化系數(shù)為1，得
x2+ x=﹣ ，
配方，得
x2+ x+（ ）2=﹣ +（ ）2，即（x﹣ ）2= ，
開方，得
x﹣ =± ，
解得 x1=2，x2= ．
點評： 本題考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步驟：
（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；
（2）把二次項的系數(shù)化為1；
（3）等式兩邊同時加上項系數(shù)一半的平方．
選擇用配方法解一元二次方程時，好使方程的二次項的系數(shù)為1，項的系數(shù)是2的倍數(shù)．
22．（6分）如圖，在菱形ABCD中，AC、BD交于點O，DE⊥AB于E，若AC=8，BD=6，求DE的長．
考點： 菱形的性質(zhì)．
分析： 根據(jù)菱形性質(zhì)求出AC⊥BD，AO=OC，BO=DO，求出AO和BO，根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)菱形面積的求法求出即可．
解答： 解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=OC，BO=DO，
∵AC=8，BD=6，
∴∠AOB=90°，AO=4，BO=3，由勾股定理得：AB= =5，
由菱形面積公式得： AC×BD=AB×DE，
∴ ×8×6=5×DE，
∴DE=4.8．
點評： 本題考查了勾股定理，菱形的性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是得出關(guān)于DE的方程．
23．（8分）在正方形ABCD中，AC為對角線，E為AC上一點，連接EB、ED．
（1）求證：△BEC≌△DEC；
（2）延長BE交AD于F，當(dāng)∠BED=120°時，求∠EFD的度數(shù)．
考點： 正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．
專題： 計算題；證明題．
分析： （1）在證明△BEC≌△DEC時，根據(jù)題意知，運用SAS公理就行；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)知對應(yīng)角相等，即∠BEC=∠DEC= ∠BED，又由對頂角相等、三角形的一個內(nèi)角的補角是另外兩個內(nèi)角的和求得∠EFD=∠BEC+∠CAD．
解答： （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠ECB=∠ECD=45°．
∴在△BEC與△DEC中，
∴△BEC≌△DEC（SAS）．
（2）解：∵△BEC≌△DEC，
∴∠BEC=∠DEC= ∠BED．
∵∠BED=120°，∴∠BEC=60°=∠AEF．
∴∠EFD=60°+45°=105°．
點評： 解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、以及對頂角相等等知識．
24．（8分）已知：如圖，在▱ABCD中，O為對角線BD的中點，過點O的直線EF分別交AD，BC于E，F(xiàn)兩點，連結(jié)BE，DF．
（1）求證：△DOE≌△BOF；
（2）當(dāng)∠DOE等于多少度時，四邊形BFDE為菱形？請說明理由．
考點： 平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定．
專題： 幾何綜合題．
分析： （1）利用平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定方法得出△DOE≌△BOF（ASA）；
（2）首先利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形EBFD是平行四邊形，進而利用垂直平分線的性質(zhì)得出BE=ED，即可得出答案．
解答： （1）證明：∵在▱ABCD中，O為對角線BD的中點，
∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，
在△EOD和△FOB中
，
∴△DOE≌△BOF（ASA）；
（2）解：當(dāng)∠DOE=90°時，四邊形BFDE為菱形，
理由：∵△DOE≌△BOF，
∴OE=OF，
又∵OB=OD
∴四邊形E BFD是平行四邊形，
∵∠EOD=90°，
∴EF⊥BD，
∴四邊形BFDE為菱形．
點評： 此題主要考查了平行四邊 形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)和菱形的判定等知識，得出BE=DE是解題關(guān)鍵．
25．（10分）有兩個正方形，小正方形的邊長比大正方形的邊長的一半多1cm，大正方形的面積比小正方形的面積的2倍多
4cm2．
（1）若設(shè)大正方形的邊長為xcm，請列出方程，并將其化為一般形式．
（2）完成下表：
x 5 6 7 8 9 10
ax2+bx+c ﹣7 0 9 20 33 48
（3）根據(jù)上表求出大正方形的邊長．
考點： 一元二次方程的應(yīng)用．
專題： 幾何圖形問題．
分析： （1）可設(shè)大正方形的邊長為xcm，從而可以表示出小正方形的邊長，然后根據(jù)題意就可建立關(guān)于x的方程，再將其化為一般形式即可．
（2）只需將x所對應(yīng)的值代入x2﹣4x﹣12即可解決問題．
（3）由表可知大正方形的邊長就是使得代數(shù)式x2﹣4x﹣12的值等于0的x的值．
解答： 解：（1）設(shè)大正方形的邊長為xcm，則小正方形的邊長為（ x+1）cm．
根據(jù)題意，得x2=2（ x+1）2+4，
整理得：x2﹣4x﹣12=0．
（2）當(dāng)x=5時，x2﹣4x﹣12=﹣7；
當(dāng)x=6時，x2﹣4x﹣12=0；
當(dāng)x=7時，x2﹣4x﹣12=9；當(dāng)x=8時，x2﹣4x﹣12=20；
當(dāng)x=9時，x2﹣4x﹣12=33；當(dāng)x=10時，x2﹣4x﹣12=48．
故答案分別為：﹣7、0、9、20、33、48．
（3）由表格可知：當(dāng)x=6時，x2﹣4x﹣12=0．
故由上表能知道大正方形的邊長，該邊長是6cm．
點評： 本題主要是考查一元二次方程的應(yīng)用，將問題設(shè)計成問題串的形式，指引了思維的方向，有利于問題的解決．
26．（10分）如圖，已知矩形ABCD的邊長AB=3cm，BC=6cm，某一時刻，動點M從點A出發(fā)沿AB方向以1cm∕s的速度向點B勻速運動；同時，動點N從點D沿DA方向以2cm∕s的速度向點A勻速運動．經(jīng)過多少時間，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的 ？
考點： 一元二次方程的應(yīng)用；矩形的性質(zhì)．
專題： 幾何圖形問題．
分析： 易得AM，AN的長，利用△AMN的面積等于矩形ABCD面積的 列出等式求解即可．
解答： 解：設(shè)經(jīng)過t秒，S△AMN等于S矩形ABCD的 ，
AM=t，AN=6﹣2t，
，
，
t2﹣3t+2=0，
t1=2，t2=1．
答：經(jīng)過1秒或2秒時，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的 ．
點評： 考查一元二次方程的應(yīng)用；得到三角形的面積與矩形面積的關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵．
27．（10分）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD，點 E、F分別是AB、CD的中點，過點A作AG∥BD，交CB的延長線于點G．
（1）求證：四邊形DEBF是菱形；
（2）請判斷四邊形AGBD是什么特殊四邊形？并加以證明．
考點： 矩形的判定；等邊三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理；平行四邊形的性質(zhì)；菱形的判定．
專題： 幾何綜合題．
分析： （1）利用平行四邊形的性質(zhì)證得△AED是等邊三角形，從而證得DE=BE，問題得證；
（2）利用平行四邊形的性質(zhì)證得∠ADB=90°，利用有一個角是直角的平行四邊形是矩形判定矩形．
解答： （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AB∥CD且AB=CD，AD∥BC且AD=BC
E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，
∴BE= AB，DF= CD，
∴BE=DF，
∴四邊形DEBF是平行四邊形
在△ABD中，E是AB的中點，
∴AE=BE= AB=AD，
而∠DAB=60°
∴△AED是等邊三角形，即DE=AE=AD，
故DE=BE
∴平行四邊形DEBF是菱形．
（2）解：四邊形AGBD是矩形，理由如下：
∵AD∥BC且AG∥DB
∴四邊形AGBD是平行四邊形
由（1）的證明知AD=DE=AE=BE，
∴∠ADE=∠DEA=60°，
∠EDB=∠DBE=30°
故∠ADB=90°
∴平行四邊形AGBD是矩 形．
點評： 本題考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、三角形中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是弄 清菱形及矩形的判定方法．
28．（12分）如圖，點G是正方形ABCD對角線CA的延長線上任意一點，以線段AG為邊作一個正方形AEFG，線段EB和GD相交于點H．
（1）求證：EB=GD；
（2）判斷EB與GD的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）若AB=2，AG= ，求EB的長．
考點： 正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．
專題： 幾何綜合題；壓軸題．
分析： （1）在△GAD和△EAB中，∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD，得到∠GAD=∠EAB從而△GAD≌△EAB，即EB=GD；
（2）EB⊥GD，由（1）得∠ADG=∠ABE則在△BDH中，∠DHB=90°所以EB⊥GD；
（3）設(shè)BD與AC交于點O，由AB=AD=2在Rt△ABD中求得DB，所以得到結(jié)果．
解答： （1）證明：在△GAD和△EAB中，∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90 °+∠EAD
∴∠GAD=∠EAB，
∵四邊形EFGA和四邊形ABCD是正方形，
∴AG=AE，AB=AD，
在△GAD和△EAB中 ，
∴△GAD≌△EAB（SAS），
∴EB=GD；
（2）解：EB⊥GD．
理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，
∴∠AMB+∠ABM=90°，
又∵△AEB≌△AGD，
∴∠GDA=∠EBA，
∵∠HMD=∠AMB（對頂角相等），
∴∠HDM+∠DMH=∠AMB+∠ABM=90°，
∴∠DHM=180°﹣（∠HDM+∠DMH）=180°﹣90°=90°，
∴EB⊥GD．
（3）解：連接AC、BD，BD與AC交于點O，
∵AB=AD=2，在Rt△ABD中，DB= ，
在Rt△AOB中，OA=OB，AB=2，由勾股定理得：2AO2=22，
OA= ，
即OG=OA+AG= + =2 ，
∴EB=GD= ．
點評： 本題考查了正方形的性質(zhì)，考查了利用其性質(zhì)證得三角形全等，并利用證得的條件求得邊長．
1．（4分）在方程x2+x=y， x﹣2x2=3，（x﹣1）（x﹣2）=0，x2﹣ =4，x（x﹣1）=1中，一元二次方程的個數(shù)是（）
A． 1個 B． 2個 C． 3個 D． 4個
2．（4分）如圖，在▱ABCD中，增加一個條件四邊形ABCD就成為矩形，這個條件是（）
A． AB=CD B． ∠A+∠C=180° C． BD=2AB D． AC⊥BD
3．（4分）如圖，在周長為12的菱形ABCD中，∠BAC=60°，則對角線AC的長為（）
A． 3 B． 6 C． 9 D． 12
4．（4分）一元二次方程（x+6）2=16可轉(zhuǎn)化為兩個一元方程，其中一個一元方程是x+6=4，則另一個一元方程是（）
A． x﹣6=﹣4 B． x﹣6=4 C． x+6=4 D． x+6=﹣4
5．（4分）如圖，點E在正方形ABCD的邊BC的延長線上，且BE=BD，則∠E的度數(shù)為（）
A． 45° B． 60° C． 67.5° D． 75°
6．（4分）在數(shù)學(xué)活動課上，老師和同學(xué)們判斷一個四邊形窗框是否為菱形，下面是某合作小組的4位同學(xué)擬定的方案，其中正確的是（）
A． 測量對角線是否相互垂直 B． 測量兩組對邊是否分別相等
C． 測量四個角是否相等 D． 測四條邊是否相等
7．（4分）把方程﹣2x2+x+8=1化為二次項系數(shù)為正數(shù)的一般形式后，它的常數(shù)項是（）
A． 7 B． ﹣7 C． ﹣8 D． ﹣9
8．（4分）如圖，將△ABC沿BC方向平移得到△DCE，連接AD，下列條件能夠判定四邊形ACED為菱形的是（）
A． AB=BC B． AC=BC C． ∠B=60° D． ∠ACB=60°
9．（4分）用配方法解方程4x2﹣3x=4時應(yīng)在方程的兩邊同時加上（）
A． B． C． D．
10．（4分）如圖，在△ABC中，AC=BC，點D、E分別是邊AB、AC的中點，將△ADE繞點E旋轉(zhuǎn)180°得△CFE，則四邊形ADCF一定是（）
A． 矩形 B． 菱形 C． 正方形 D． 梯形
11．（4分）如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在CD、BC上，且BF=CE，連接BE、AF相交于點G，則下列結(jié)論不正確的是（）
A． BE=AF B． ∠DAF=∠BEC
C． ∠AFB+∠BEC=90° D． AG⊥BE
12．（4分）用配方法解關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m=0，配方后得到的方程為（）
A． （x﹣1）2=m﹣1 B． （x﹣1）2=m+1 C． （x﹣1）2=1﹣m D． （x﹣1）2=m2﹣1
13．（4分）m是方程x2+x﹣1=0的根，則式子m3+2m2+2014的值為（）
A． 2014 B． 2015 C． 2016 D． 2017
14．（4分）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E在對角線BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足為F，則EF的長為（）
A． 1 B． C． 4﹣2 D． 3 ﹣4
15．（4分）如圖，將矩形ABCD沿對角線BD折疊，使點C和點C′重合，BC′交AD于點E，若AB=4，AD=8，則DE的長為（）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
二、填空題（本大題5個小題，每小題4分，共20分）
16．（4分）根據(jù)如表確定一元二次方程x2+2x﹣9=0的一個解的范圍是．
x 0 1 2 3 4
x2+2x﹣9 ﹣9 ﹣6 ﹣1 6 15
17．（4分）點O是矩形ABCD的對角線AC的中點，點M是AD的中點，若AB=5，AD=12，則四邊形ABOM的周長為．
18．（4分）如圖，從正方形ABCD上截取寬為2cm的矩形BCEF，剩下矩形AFED的面積為48cm2，則正方形ABCD的邊長為cm ．
19．（4分）如圖，正方形ABCD的邊長為2，P為正方形ABCD內(nèi)一點，且△PBC為等腰三角形，則△CDP的面積為．
20．（4分）如圖，在菱形ABCD中，AB=4，∠C=120°，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，連接EF，則△AEF的面積為．
三、解答題（本大題8個小題，共70分）
21．（6分）用配方法解方程：3x2+8x+4=0．
22．（6分）如圖，在菱形ABCD中，AC、BD交于點O，DE⊥AB于E，若AC=8，BD=6，求DE的長．
23．（8分）在正方形ABCD中，AC為對角線，E為AC上一點，連接EB、ED．
（1）求證：△BEC≌△DEC；
（2）延長BE交AD于F，當(dāng)∠BED=120°時，求∠EFD的度數(shù)．
24．（8分）已知：如圖，在▱ABCD中，O為對角線BD的中點， 過點O的直線EF分別交AD，BC于E，F(xiàn)兩點，連結(jié)BE，DF．
（1）求證：△DOE≌△BOF；
（2）當(dāng)∠DOE等于多少度時，四邊形BFDE為菱形？請說明理由．
25．（10分）有兩個正方形，小正方形的邊長比大正方形的邊長的一半多1cm，大正方形的面積比小正方形的面積的2倍多
4cm2．
（1）若設(shè)大正方形的邊長為xcm，請列出方程，并將其化為一般形式．
（2）完成下表：
x 5 6 7 8 9 10
ax2+bx+c
（3）根據(jù)上表求出大正方形的邊長．
26．（10分）如圖，已知矩形ABCD的邊長AB=3cm，BC=6cm，某一時刻，動點M從點A出發(fā)沿AB方向以1cm∕s的速度向點B勻速運動；同時，動點N從點D沿DA方向以2cm∕s的速度向點A勻速運動．經(jīng)過多少時間，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的 ？
27．（10分）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD，點 E、F分別是AB、CD的中點，過點A作AG∥BD，交CB的延長線于點G．
（1）求證：四邊形DEBF是菱形；
（2）請判斷四邊形AGBD是什么特殊四邊形？并加以證明．
28．（12分）如圖，點G是正方形ABCD對角線CA的延長線上任意一點，以線段AG為邊作一個正方形AEFG，線段EB和GD相交于點H．
（1）求證：EB=GD；
（2）判斷EB與GD的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）若AB=2，AG= ，求EB的長．
遼寧省本溪市20xx屆九年級上學(xué)期第月考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題15個小題，每小題4分，共60分）
1．（4分）在方程x2+x=y， x﹣2x2=3，（x﹣1）（x﹣2）=0，x2﹣ =4，x（x﹣1）=1中，一元二次方程的個數(shù)是（）
A． 1個 B． 2個 C． 3個 D． 4個
考點： 一元二次方程的定義．
分析： 本題根據(jù)一元二次方程的定義解答．
一元二次方程必須滿足四個條件：
（1）未知數(shù)的 高次數(shù)是2；
（2）二次項系數(shù)不為0；
（3）是整式方程；
（4）含有一個未知數(shù)．由這四個條件對四個選項進行驗證，滿足這四個條件者為正確答案．
解答： 解：x2+x=y方程含有兩個未知數(shù)，故錯誤；
x﹣2x2=3，（x﹣1）（x﹣2）=0，x（x﹣1）=1符合一元二次方程的定義，正確；
x2﹣ =4，不是整式方程，故錯誤．
故選：C．
點評： 本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的高次數(shù)是2．
2．（4分）如圖，在▱ABCD中，增加一個條件四邊形ABCD就成為矩形，這個條件是（）
A． AB=CD B． ∠A+∠C=180° C． BD=2AB D． AC⊥BD
考點： 矩形的判定．
分析： 根據(jù)矩形的判定（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）．
解答： 解：根據(jù)矩形的判定（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）
可得∠A+∠B=180°，∠A+∠C=180°
故∠B=∠C=90°
增加的條件是∠A+∠C=180°．
故選B．
點評： 考查了矩形的判定，矩形的判定定理有：
（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形；
（2）有三個角是直角的四邊形是矩形；
（3）對角線互相平分且相等的四邊形是矩形．
3．（4分）如圖，在周長為12的菱形ABCD中，∠BAC=60°，則對角線AC的長為（）
A． 3 B． 6 C． 9 D． 12
考點： 菱形的性質(zhì)．
分析： 根據(jù)菱形的四條邊都相等求出邊長，再判斷出△ABC是等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等解答．
解答： 解：∵菱形的周長為 12，
∴菱形的邊長AB=BC=12÷4= 3，
∵∠BAC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AC=AB=3．
故選A．
點評： 本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．（4分）一元二次方程（x+6）2=16可轉(zhuǎn)化為兩個一元方程，其中一個一元方程是x+6=4，則另一個一元方程是（）
A． x﹣6=﹣4 B． x﹣6=4 C． x+6=4 D． x+6=﹣4
考點： 解一元二次方程-直接開平方法．
分析： 方程兩邊直接開平方可達到降次的目的，進而可直接得到答案．
解答： 解：（x+6）2=16，
兩邊直接開平方得：x+6=±4，
則：x+6=4，x+6=﹣4，
故選：D．
點評： 本題主要考查了直接開平方法解一元二次方程，關(guān)鍵是將方程右側(cè)看做一個非負已知數(shù)，根據(jù)法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負，分開求得方程解”來求解．
5．（4分）如圖，點E在正方形ABCD的邊BC的延長線上，且BE=BD，則∠E的度數(shù)為（）
A． 45° B． 60° C． 67.5° D． 75°
考點： 正方形的性質(zhì)．
分析： 根據(jù)正方形的對角線平分一組對角線求出∠CBD=45°，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等列式計算即可得解．
解答： 解：在正方形ABCD中，∠CBD=45°，
∵BE=BD，
∴∠E= （180°﹣45°）=67.5°．
故選C．
點評： 本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．
6．（4分）在數(shù)學(xué)活動課上，老師和同學(xué)們判斷一個四邊形窗框是否為菱形，下面是某合作小組的4位同學(xué)擬定的方案，其中正確的是（）
A． 測量對角線是否相互垂直 B． 測量兩組對邊是否分別相等
C． 測量四個角是否相等 D． 測四條邊是否相等
考點： 菱形的判定．
專題： 應(yīng)用題．
分析： 根據(jù)菱形的判定定理分別進行解答即可得出答案．菱形的判定定理有：（1）鄰邊相等的平行四邊形是菱形；（2）四條邊都相等的四邊形是菱形；（3）對角線互相垂直的平行四邊形的四邊形是菱形．
解答： 解：A、對角線是否垂直不能判定形狀；
B、所有的平行四邊形的對邊均相等，故錯誤；
C、四個角均相等的四邊形是矩形，不能判定形狀；
D、其中四邊形的四條邊都相等，能判定菱形．
故選D．
點評： 此題考查了菱形的判定，用到的知識點是菱形的判定定理，難度不大．
7．（4分）把方程﹣2x2+x+8=1化為二次項系數(shù)為正數(shù)的一般形式后，它的常數(shù)項是（）
A． 7 B． ﹣7 C． ﹣8 D． ﹣9
考點： 一元二次方程的一般形式．
分析： 把方程移項得到﹣2x2+x+7=0，再方程兩邊同時除以﹣1得2x2﹣x﹣7=0，再找常數(shù)項即可．
解答： 解：﹣2x2+x+8=1
移項，得﹣2x2+x+7=0，
方程兩邊同時除以﹣1得2x2﹣x﹣7=0，
常數(shù)項是﹣7，
故選：B．
點評： 一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中ax2叫二次項，bx叫項，c是常數(shù)項．其中a，b，c分別叫二次項系數(shù)，項系數(shù)，常數(shù)項．
8．（4分）如圖，將△ABC沿BC方向平移得到△DCE，連接AD，下列條件能夠判定四邊形ACED為菱形的是（）
A． AB=BC B． AC=BC C． ∠B=60° D． ∠ACB=60°
考點： 菱形的判定；平移的性質(zhì)．
分析： 首先根據(jù)平移的性質(zhì)得出AB CD，得出四邊形ABCD為平行四邊形，進而利用菱形的判定得出答案．
解答： 解：∵將△ABC沿BC方向平移得到△DCE，
∴AB CD，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
當(dāng)AC=BC時，
平行四邊形ACED是菱形．
故選：B．
點評： 此題主要考查了平移的性質(zhì)和平行四邊形的判定和菱形的判定，得出AB CD是解題關(guān)鍵．
9．（4分）用配方法解方程4x2﹣3x=4時應(yīng)在方程的兩邊同時加上（）
A． B． C． D．
考點： 解一元二次方程-配方法．
分析： 先方程兩邊都除以4，再方程兩邊都加上項系數(shù)一半的平方，即可得出答案．
解答： 解：4x2﹣3x=4，
x2﹣ x=1，
x2﹣ x+（ ）2=1+（ ）2，
即方程兩邊都加上 ，
故選D．
點評： 本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能正確配方，題目比較好，難度適中．
10．（4分）如圖，在△ABC中，AC=BC，點D、E分別是邊AB、AC的中點，將△ADE繞點E旋轉(zhuǎn)180°得△CFE，則四邊形ADCF一定是（）
A． 矩形 B． 菱形 C． 正方形 D． 梯形
考點： 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；矩形的判定．
分析： 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE=CE，DE=EF，再根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形ADCF是平行四邊形，然后利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出∠ADC=90°，再利用有一個角是直角的平行四邊形是矩形解答．
解答： 解：∵△ADE繞點E旋轉(zhuǎn)180°得△CFE，
∴AE=CE，DE=EF，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∵AC=BC，點D是邊AB的中點，
∴∠ADC=90°，
∴四邊形ADCF矩形．
故選：A．
點評： 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的判定，主要利用了對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，有一個角是直角的平行四邊形是矩形的判定方法，熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小是解題的關(guān)鍵．
11．（4分）如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在CD、BC上，且BF=CE，連接BE、AF相交于點G，則下列結(jié)論不正確的是（）
A． BE=AF B． ∠DAF=∠BEC
C． ∠AFB+∠BEC=90° D． AG⊥BE
考點： 正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．
專題： 證明題；壓軸題．
分析： 分析圖形，根據(jù)正方形及三角形性質(zhì)找到各角邊的關(guān)系就很容易求解．
解答： 解：∵ABCD是正方形
∴∠ABF=∠C=90°，AB=BC
∵BF=CE
∴△ABF≌△BCE
∴AF=BE（第一個正確）
∠BAF=∠CBE，∠BFA=∠BEC（第三個錯誤）
∵∠BAF+∠DAF=90°，∠BAF+∠BFA=90°
∴∠DAF=∠BEC（第二個正確）
∵∠BAF=∠CBE，∠BAF+∠AFB=90°
∴∠CBE+∠AFB=90°
∴AG⊥BE（第四個正確）
所以不正確的是C，故選C．
點評： 此題主要考查了學(xué)生對正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定的掌握情況．
12．（4分）用配方法解關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m=0，配方后得到的方程為（）
A． （x﹣1）2=m﹣1 B． （x﹣1）2=m+1 C． （x﹣1）2=1﹣m D． （x﹣1）2=m2﹣1
考點： 解一元二次方程-配方法．
分析： 把常數(shù)項﹣m移項后，應(yīng)該在左右兩邊同時加上項系數(shù)﹣2的一半的平方．
解答： 解：把方程x2﹣2x﹣m=0的常數(shù)項移到等號的右邊，得到x2﹣2x=m，
方程兩邊同時加上項系數(shù)一半的平方，得到x2﹣2x+1=m+1，
配方得（x﹣1）2=m+1．
故選：B．
點評： 本題考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步驟：
（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；
（2）把二次項的系數(shù)化為1；
（3）等式兩邊同時加上項系數(shù)一半的平方．
選擇用配方法解一元二次方程時，好使方程的二次項的系數(shù)為1，項的系數(shù)是2的倍數(shù)．
13．（4分）m是方程x2+x﹣1=0的根，則式子m3+2m2+2014的值為（）
A． 2014 B． 2015 C． 2016 D． 2017
考點： 一元二次方程的解．
分析： 把m代入x2+x﹣1=0得到m2+m﹣1=0，即m2+m=1，把m2+m=1代入式子：m3+2m2+2014，再將式子變形為m（m2+m）+m2+2014的 形式，即可求出式子的值．
解答： 解：∵m是方程x2+x﹣1=0的根，
∴m2+m﹣1=0，即m2+m=1，
∴m3+2m2+2014=m（m2+m）+m2+2014=m+m2+2014=1+2014=2015．
故選B．
點評： 考查了一元二次方程的解，代數(shù)式中的字母表示的數(shù)沒有明確告知，而是隱含在題設(shè)中，首先應(yīng)從題設(shè)中獲取代數(shù)式m2+m的值，然后利用“整體代入法”求代數(shù)式的值．
14．（4分）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E在對角線BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足為F，則EF的長為（）
A． 1 B． C． 4﹣2 D． 3 ﹣ 4
考點： 正方形的性質(zhì)．
專題： 壓軸題．
分析： 根據(jù)正方形的對角線平分一組對角可得∠ABD=∠ADB=45°，再求出∠D AE的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求∠AED，從而得到∠DAE=∠AED，再根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)得到AD=DE，然后求出正方形的對角線BD，再求出BE，后根據(jù)等腰直角三角形的直角邊等于斜邊的 倍計算即可得解．
解答： 解：在正方形ABCD中，∠ABD=∠ADB=45°，
∵∠BAE=22.5°，
∴∠DAE=90°﹣∠BAE=90°﹣22.5°=67.5°，
在△ADE中，∠AED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，
∴∠DAE=∠AED，
∴AD=DE=4，
∵正方形的邊長為4，
∴BD=4 ，
∴BE=BD﹣DE=4 ﹣4，
∵EF⊥AB，∠ABD=45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EF= BE= ×（4 ﹣4）=4﹣2 ．
故選：C．
點評： 本題考查了正方形的性質(zhì)，主要利用了正方形的對角線平分一組對角，等角對等邊的性質(zhì)，正方形的對角線與邊長的關(guān)系，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)角的度數(shù)的相等求出相等的角，再求出DE=AD是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．
15．（4分）如圖，將矩形ABCD沿對角線BD折疊，使點C和點C′重合，BC′交AD于點E，若AB=4，AD=8，則DE的長為（）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
考點： 翻折變換（折疊問題）．
分析： 首先根據(jù)題意得到BE=DE，然后根據(jù)勾股定理得到關(guān)于線段AB、AE、BE的方程，解方程即可解決問題．
解答： 解：
設(shè)ED=x，則AE=8﹣x；
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDB=∠DBC；
由題意得：∠EBD=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴EB=ED=x；
由勾股定理得：
BE2=AB2+AE2，
即x2=42+（8﹣x）2，
解得：x=5，
故選D．
點評： 該命題主要考查了幾何變換中的翻折變換及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是根據(jù)翻折變換的性質(zhì)，結(jié)合全等三角形的判定及其性質(zhì)、勾股定理等幾何知識，靈活進行判斷、分析、推理或解答．
二、填空題（本大題5個小題，每小題4分，共20分）
16．（4分）根據(jù)如表確定一元二次方程x2+2x﹣9=0的一個解的范圍是2＜x＜3．
x 0 1 2 3 4
x2+2x﹣9 ﹣9 ﹣6 ﹣1 6 15
考點： 估算一元二次方程的近似解．
分析： 觀察表格可知，隨x的值逐漸增大，x2+2x﹣9的值在2～3之間由負到正，故可判斷x2+2x﹣9=0時，對應(yīng)的x的值在2＜x＜3之間．
解答： 解：根據(jù)表格可知，x2+2x﹣9=0時，對應(yīng)的x的值在2＜x＜3之間，
故答案為2＜x＜3．
點評： 本題考查了二次函數(shù)圖象與一元二次方程的解之間的關(guān)系．關(guān)鍵是觀察表格，確定函數(shù)值由負到正時，對應(yīng)的自變量取值范圍．
17．（4分）點O是矩形ABCD的對角線AC的中點，點M是AD的中點，若AB=5，AD=12，則四邊形ABOM的周長為20．
考點： 矩形的性質(zhì)．
專題： 計算題．
分析： 根據(jù)矩形的性質(zhì)得出DC=AB=5，∠D=∠ABC=90°，根據(jù)勾股定理求出AC，求出AM、OM、BO，即可求出答案．
解答： 解：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴DC=AB=5，∠D=∠ABC=90°，
由勾股定理得：AC= =13，
∵點O是矩形ABCD的對角線AC的中點，點M是AD的中點，
∴OM= CD= ，BO= AC= ，AM= AD=6，
∴四邊形ABOM的周長為：AB+BO+OM+AM=5+ + +6=20，
故答案為：20．
點評： 本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線，三角形的中位線的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出四邊形ABOM的各個邊的長度．
18．（4分）如圖，從正方形ABCD上截取寬為2cm的矩形BCEF，剩下矩形AFED的面積為48cm2，則正方形ABCD的邊長為8cm．
考點： 一元二次方程的應(yīng)用．
專題： 幾何圖形問題．
分析： 首先設(shè)出正方形的邊長，然后表示出矩形的寬，利用矩形的面積公式進行計算即可．
解答： 解：設(shè)正方形的邊長為xcm，則AF的長為（x﹣2），
根據(jù)題意得：x（x﹣2）=48，
解得：x=8或x=﹣6（舍去），
故答案為：8．
點評： 本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，能夠根據(jù)設(shè)出 的正方形的邊長表示出矩形的寬是解答本題的關(guān)鍵．
19．（4分）如圖，正方形ABCD的邊長為2，P為正方形ABCD內(nèi)一點，且△PBC為等腰三角形，則△CDP的面積為1．
考點： 正方形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．
分析： 首先利用等腰三角形的性質(zhì)得出PE=1，進而利用三角形面積求法得出即可．
解答： 解：過點P作PE⊥DC于點E，
∵△PBC為等腰三角形，
∴P在線段BC的垂直平分線上，
∴PE= BC=1，
∴△CDP的面積為： ×2×1=1．
故答案為：1．
點評： 此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，得出PE的長是解題關(guān)鍵．
20．（4分）如圖，在菱形ABCD中，AB=4，∠C=120°，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，連接EF，則△AEF的面積為3 ．
考點： 菱形的性質(zhì)．
分析： 首先利用菱形的性質(zhì)及等邊三角形的判定可得判斷出△AEF是等邊三角形，再根據(jù)三角函數(shù)計算出AE=EF的值，再過A作AM⊥EF，再進一步利用三角函數(shù)計算出AM的值，即可算出三角形的面積．
解答： 解：∵四邊形ABCD是菱形，∠C=120°，
∴AB∥CD，BC=CD，
∴∠B=∠D=180°﹣120°=60°，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴AB•AE=AD•AF，∠BAE=∠DAF=30°，
∴AE=AF，
∵∠B=60°，
∴∠BAD=120°，
∴∠EAF=120°﹣30°﹣30°=60°，
∴△AEF是等邊三角形，
∴AE=EF，∠AEF=60°，
∵AB=4，
∴AE=2 ，
∴EF=AE=2 ，
過A作AM⊥EF，
∴AM=AE•sin60°=3，
∴△AEF的面積是： EF•AM= ×2 ×3=3 ．
故答案為：3 ．
點評： 此題考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及三角函數(shù)的運用．關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)，證明△AEF是等邊三角形．
三、解答題（本大題8個小題，共70分）
21．（6分）用配方法解方程：3x2+8x+4=0．
考點： 解一元二次方程-配方法．
分析： 首先把方程的二次項系數(shù)化為1，移項，然后在方程的左右兩邊同時加上項系數(shù)一半的平方，左邊就是完全平方式，右邊就是常數(shù)，然后利用平方根的定義即可求解．
解答： 解：由3x2+8x+4=0，得
移項，得
3x2+8x=﹣4，
化系數(shù)為1，得
x2+ x=﹣ ，
配方，得
x2+ x+（ ）2=﹣ +（ ）2，即（x﹣ ）2= ，
開方，得
x﹣ =± ，
解得 x1=2，x2= ．
點評： 本題考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步驟：
（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；
（2）把二次項的系數(shù)化為1；
（3）等式兩邊同時加上項系數(shù)一半的平方．
選擇用配方法解一元二次方程時，好使方程的二次項的系數(shù)為1，項的系數(shù)是2的倍數(shù)．
22．（6分）如圖，在菱形ABCD中，AC、BD交于點O，DE⊥AB于E，若AC=8，BD=6，求DE的長．
考點： 菱形的性質(zhì)．
分析： 根據(jù)菱形性質(zhì)求出AC⊥BD，AO=OC，BO=DO，求出AO和BO，根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)菱形面積的求法求出即可．
解答： 解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=OC，BO=DO，
∵AC=8，BD=6，
∴∠AOB=90°，AO=4，BO=3，由勾股定理得：AB= =5，
由菱形面積公式得： AC×BD=AB×DE，
∴ ×8×6=5×DE，
∴DE=4.8．
點評： 本題考查了勾股定理，菱形的性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是得出關(guān)于DE的方程．
23．（8分）在正方形ABCD中，AC為對角線，E為AC上一點，連接EB、ED．
（1）求證：△BEC≌△DEC；
（2）延長BE交AD于F，當(dāng)∠BED=120°時，求∠EFD的度數(shù)．
考點： 正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．
專題： 計算題；證明題．
分析： （1）在證明△BEC≌△DEC時，根據(jù)題意知，運用SAS公理就行；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)知對應(yīng)角相等，即∠BEC=∠DEC= ∠BED，又由對頂角相等、三角形的一個內(nèi)角的補角是另外兩個內(nèi)角的和求得∠EFD=∠BEC+∠CAD．
解答： （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠ECB=∠ECD=45°．
∴在△BEC與△DEC中，
∴△BEC≌△DEC（SAS）．
（2）解：∵△BEC≌△DEC，
∴∠BEC=∠DEC= ∠BED．
∵∠BED=120°，∴∠BEC=60°=∠AEF．
∴∠EFD=60°+45°=105°．
點評： 解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、以及對頂角相等等知識．
24．（8分）已知：如圖，在▱ABCD中，O為對角線BD的中點，過點O的直線EF分別交AD，BC于E，F(xiàn)兩點，連結(jié)BE，DF．
（1）求證：△DOE≌△BOF；
（2）當(dāng)∠DOE等于多少度時，四邊形BFDE為菱形？請說明理由．
考點： 平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定．
專題： 幾何綜合題．
分析： （1）利用平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定方法得出△DOE≌△BOF（ASA）；
（2）首先利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形EBFD是平行四邊形，進而利用垂直平分線的性質(zhì)得出BE=ED，即可得出答案．
解答： （1）證明：∵在▱ABCD中，O為對角線BD的中點，
∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，
在△EOD和△FOB中
，
∴△DOE≌△BOF（ASA）；
（2）解：當(dāng)∠DOE=90°時，四邊形BFDE為菱形，
理由：∵△DOE≌△BOF，
∴OE=OF，
又∵OB=OD
∴四邊形E BFD是平行四邊形，
∵∠EOD=90°，
∴EF⊥BD，
∴四邊形BFDE為菱形．
點評： 此題主要考查了平行四邊 形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)和菱形的判定等知識，得出BE=DE是解題關(guān)鍵．
25．（10分）有兩個正方形，小正方形的邊長比大正方形的邊長的一半多1cm，大正方形的面積比小正方形的面積的2倍多
4cm2．
（1）若設(shè)大正方形的邊長為xcm，請列出方程，并將其化為一般形式．
（2）完成下表：
x 5 6 7 8 9 10
ax2+bx+c ﹣7 0 9 20 33 48
（3）根據(jù)上表求出大正方形的邊長．
考點： 一元二次方程的應(yīng)用．
專題： 幾何圖形問題．
分析： （1）可設(shè)大正方形的邊長為xcm，從而可以表示出小正方形的邊長，然后根據(jù)題意就可建立關(guān)于x的方程，再將其化為一般形式即可．
（2）只需將x所對應(yīng)的值代入x2﹣4x﹣12即可解決問題．
（3）由表可知大正方形的邊長就是使得代數(shù)式x2﹣4x﹣12的值等于0的x的值．
解答： 解：（1）設(shè)大正方形的邊長為xcm，則小正方形的邊長為（ x+1）cm．
根據(jù)題意，得x2=2（ x+1）2+4，
整理得：x2﹣4x﹣12=0．
（2）當(dāng)x=5時，x2﹣4x﹣12=﹣7；
當(dāng)x=6時，x2﹣4x﹣12=0；
當(dāng)x=7時，x2﹣4x﹣12=9；當(dāng)x=8時，x2﹣4x﹣12=20；
當(dāng)x=9時，x2﹣4x﹣12=33；當(dāng)x=10時，x2﹣4x﹣12=48．
故答案分別為：﹣7、0、9、20、33、48．
（3）由表格可知：當(dāng)x=6時，x2﹣4x﹣12=0．
故由上表能知道大正方形的邊長，該邊長是6cm．
點評： 本題主要是考查一元二次方程的應(yīng)用，將問題設(shè)計成問題串的形式，指引了思維的方向，有利于問題的解決．
26．（10分）如圖，已知矩形ABCD的邊長AB=3cm，BC=6cm，某一時刻，動點M從點A出發(fā)沿AB方向以1cm∕s的速度向點B勻速運動；同時，動點N從點D沿DA方向以2cm∕s的速度向點A勻速運動．經(jīng)過多少時間，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的 ？
考點： 一元二次方程的應(yīng)用；矩形的性質(zhì)．
專題： 幾何圖形問題．
分析： 易得AM，AN的長，利用△AMN的面積等于矩形ABCD面積的 列出等式求解即可．
解答： 解：設(shè)經(jīng)過t秒，S△AMN等于S矩形ABCD的 ，
AM=t，AN=6﹣2t，
，
，
t2﹣3t+2=0，
t1=2，t2=1．
答：經(jīng)過1秒或2秒時，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的 ．
點評： 考查一元二次方程的應(yīng)用；得到三角形的面積與矩形面積的關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵．
27．（10分）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD，點 E、F分別是AB、CD的中點，過點A作AG∥BD，交CB的延長線于點G．
（1）求證：四邊形DEBF是菱形；
（2）請判斷四邊形AGBD是什么特殊四邊形？并加以證明．
考點： 矩形的判定；等邊三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理；平行四邊形的性質(zhì)；菱形的判定．
專題： 幾何綜合題．
分析： （1）利用平行四邊形的性質(zhì)證得△AED是等邊三角形，從而證得DE=BE，問題得證；
（2）利用平行四邊形的性質(zhì)證得∠ADB=90°，利用有一個角是直角的平行四邊形是矩形判定矩形．
解答： （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AB∥CD且AB=CD，AD∥BC且AD=BC
E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，
∴BE= AB，DF= CD，
∴BE=DF，
∴四邊形DEBF是平行四邊形
在△ABD中，E是AB的中點，
∴AE=BE= AB=AD，
而∠DAB=60°
∴△AED是等邊三角形，即DE=AE=AD，
故DE=BE
∴平行四邊形DEBF是菱形．
（2）解：四邊形AGBD是矩形，理由如下：
∵AD∥BC且AG∥DB
∴四邊形AGBD是平行四邊形
由（1）的證明知AD=DE=AE=BE，
∴∠ADE=∠DEA=60°，
∠EDB=∠DBE=30°
故∠ADB=90°
∴平行四邊形AGBD是矩 形．
點評： 本題考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、三角形中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是弄 清菱形及矩形的判定方法．
28．（12分）如圖，點G是正方形ABCD對角線CA的延長線上任意一點，以線段AG為邊作一個正方形AEFG，線段EB和GD相交于點H．
（1）求證：EB=GD；
（2）判斷EB與GD的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）若AB=2，AG= ，求EB的長．
考點： 正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．
專題： 幾何綜合題；壓軸題．
分析： （1）在△GAD和△EAB中，∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD，得到∠GAD=∠EAB從而△GAD≌△EAB，即EB=GD；
（2）EB⊥GD，由（1）得∠ADG=∠ABE則在△BDH中，∠DHB=90°所以EB⊥GD；
（3）設(shè)BD與AC交于點O，由AB=AD=2在Rt△ABD中求得DB，所以得到結(jié)果．
解答： （1）證明：在△GAD和△EAB中，∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90 °+∠EAD
∴∠GAD=∠EAB，
∵四邊形EFGA和四邊形ABCD是正方形，
∴AG=AE，AB=AD，
在△GAD和△EAB中 ，
∴△GAD≌△EAB（SAS），
∴EB=GD；
（2）解：EB⊥GD．
理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，
∴∠AMB+∠ABM=90°，
又∵△AEB≌△AGD，
∴∠GDA=∠EBA，
∵∠HMD=∠AMB（對頂角相等），
∴∠HDM+∠DMH=∠AMB+∠ABM=90°，
∴∠DHM=180°﹣（∠HDM+∠DMH）=180°﹣90°=90°，
∴EB⊥GD．
（3）解：連接AC、BD，BD與AC交于點O，
∵AB=AD=2，在Rt△ABD中，DB= ，
在Rt△AOB中，OA=OB，AB=2，由勾股定理得：2AO2=22，
OA= ，
即OG=OA+AG= + =2 ，
∴EB=GD= ．
點評： 本題考查了正方形的性質(zhì)，考查了利用其性質(zhì)證得三角形全等，并利用證得的條件求得邊長．