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四則運(yùn)算封閉性
實(shí)數(shù)集R對(duì)加、減、乘、除(除數(shù)不為零)四則運(yùn)算具有封閉性，即任意兩個(gè)實(shí)數(shù)的和、差、積、商(除數(shù)不為零)仍然是實(shí)數(shù)。
實(shí)數(shù)集有序性
實(shí)數(shù)集是有序的，即任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b必定滿足下列三個(gè)關(guān)系之一：ab.
實(shí)數(shù)的傳遞性
實(shí)數(shù)大小具有傳遞性，即若a>b,b>c,則有a>c.
實(shí)數(shù)的阿基米德性
實(shí)數(shù)具有阿基米德(Archimedes)性，即對(duì)任何a，b ∈R，若b>a>0,則存在正整數(shù)n，使得na>b.
實(shí)數(shù)的稠密性
實(shí)數(shù)集R具有稠密性，即兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)之間必有另一個(gè)實(shí)數(shù)，既有有理數(shù)，也有無理數(shù).
實(shí)數(shù)性
如果在一條直線(通常為水平直線)上確定O作為原點(diǎn)，指定一個(gè)方向?yàn)檎较?通常把指向右的方向規(guī)定為正方向)，并規(guī)定一個(gè)單位長(zhǎng)度，則稱此直線為數(shù)軸。任一實(shí)數(shù)都對(duì)應(yīng)與數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn);反之，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)也都的表示一個(gè)實(shí)數(shù)。于是，實(shí)數(shù)集R與數(shù)軸上的點(diǎn)有著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。
完備性
作為度量空間或一致空間，實(shí)數(shù)集合是個(gè)完備空間，它有以下性質(zhì)：
所有實(shí)數(shù)的柯西序列都有一個(gè)實(shí)數(shù)極限。
有理數(shù)集合就不是完備空間。例如，(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理數(shù)的柯西序列，但沒有有理數(shù)極限。實(shí)際上，它有個(gè)實(shí)數(shù)極限 √2。實(shí)數(shù)是有理數(shù)的完備化——這亦是構(gòu)造實(shí)數(shù)集合的一種方法。
極限的存在是微積分的基礎(chǔ)。實(shí)數(shù)的完備性等價(jià)于歐幾里德幾何的直線沒有“空隙”。