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四則運算封閉性
實數(shù)集R對加、減、乘、除(除數(shù)不為零)四則運算具有封閉性，即任意兩個實數(shù)的和、差、積、商(除數(shù)不為零)仍然是實數(shù)。
實數(shù)集有序性
實數(shù)集是有序的，即任意兩個實數(shù)a、b必定滿足下列三個關(guān)系之一：ab.
實數(shù)的傳遞性
實數(shù)大小具有傳遞性，即若a>b,b>c,則有a>c.
實數(shù)的阿基米德性
實數(shù)具有阿基米德(Archimedes)性，即對任何a，b ∈R，若b>a>0,則存在正整數(shù)n，使得na>b.
實數(shù)的稠密性
實數(shù)集R具有稠密性，即兩個不相等的實數(shù)之間必有另一個實數(shù)，既有有理數(shù)，也有無理數(shù).
實數(shù)性
如果在一條直線(通常為水平直線)上確定O作為原點，指定一個方向為正方向(通常把指向右的方向規(guī)定為正方向)，并規(guī)定一個單位長度，則稱此直線為數(shù)軸。任一實數(shù)都對應(yīng)與數(shù)軸上的一個點;反之，數(shù)軸上的每一個點也都的表示一個實數(shù)。于是，實數(shù)集R與數(shù)軸上的點有著一一對應(yīng)的關(guān)系。
完備性
作為度量空間或一致空間，實數(shù)集合是個完備空間，它有以下性質(zhì)：
所有實數(shù)的柯西序列都有一個實數(shù)極限。
有理數(shù)集合就不是完備空間。例如，(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理數(shù)的柯西序列，但沒有有理數(shù)極限。實際上，它有個實數(shù)極限 √2。實數(shù)是有理數(shù)的完備化——這亦是構(gòu)造實數(shù)集合的一種方法。
極限的存在是微積分的基礎(chǔ)。實數(shù)的完備性等價于歐幾里德幾何的直線沒有“空隙”。