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【性質與概念】
簡介
例如lg(1+x)>x是超越不等式。
不等式分為嚴格不等式與非嚴格不等式。一般地，用純粹的大于號、小于號“>”“<”連接的不等式稱為嚴格不等式，用不小于號(大于或等于號)、不大于號(小于或等于號)
“≥”(大于等于符號)“≤”(小于等于符號)連接的不等式稱為非嚴格不等式，或稱廣義不等式。
通常不等式中的數(shù)是實數(shù)，字母也代表實數(shù)，不等式的一般形式為F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z )(其中不等號也可以為<，≥，> 中某一個)，兩邊的解析式的公共定義域稱為不等式的定義域，不等式既可以表達一個命題，也可以表示一個問題。
整式不等式
整式不等式兩邊都是整式 ( 未知數(shù)不在分母上 )
一元一次不等式:含有一個未知數(shù)(即一元),并且未知數(shù)的次數(shù)是1次(即一次)的不等式.如3-X>0
同理:二元一次不等式:含有兩個未知數(shù)(即二元),并且未知數(shù)的次數(shù)是1次(即一次)的不等式
基本性質
①如果x>y，那么yy;(對稱性)
②如果x>y，y>z;那么x>z;(傳遞性)
③如果x>y，而z為任意實數(shù)或整式，那么x+z>y+z;(加法原則，或叫同向不等式可加性)
④ 如果x>y，z>0，那么xz>yz;如果x>y，z<0，那么xz
⑤如果x>y，z>0，那么x÷z>y÷z;如果x>y，z<0，那么x÷z
⑥如果x>y，m>n，那么x+m>y+n;(充分不必要條件)
⑦如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn;
⑧如果x>y>0，那么x的n次冪>y的n次冪(n為正數(shù))，x的n次冪
或者說，不等式的基本性質有：
①對稱性;
②傳遞性：
③加法單調性：即同向不等式可加性：
④乘法單調性：
⑤同向正值不等式可乘性：
⑥正值不等式可乘方：
⑦正值不等式可開方：
⑧倒數(shù)法則。
……
如果由不等式的基本性質出發(fā)，通過邏輯推理，可以論證大量的初等不等式，以上是其中比較有名的。
原理
主要的有：
①不等式F(x)< G(x)與不等式 G(x)>F(x)同解。
②如果不等式F(x) < G(x)的定義域被解析式H( x )的定義域所包含，那么不等式 F(x)
③如果不等式F(x)0，那么不等式F(x)H(x)G(x)同解。
④不等式F(x)G(x)>0與不等式同解;不等式F(x)G(x)<0與不等式同解。
1)不等式性質1：不等式的兩邊同時加上(或減去)同一個數(shù)(或式子)，不等號的方向不變。
2)不等式性質2：不等式的兩邊同時乘(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變。
3)不等式性質3：不等式的兩邊同時乘(或除以)同一個負數(shù)，不等號的方向改變。
注意事項
1.符號：
不等式兩邊都乘以或除以一個負數(shù)，要改變不等號的方向。
2.確定解集：
①比兩個值都大，就比大的還大(同大取大);
比兩個值都小，就比小的還小(同小取小);
比大的大，比小的小，無解(大大小小取不了);
比小的大，比大的小，有解在中間(小大大小取中間)。
三個或三個以上不等式組成的不等式組，可以類推。
②可以在數(shù)軸上確定解集：
把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來，數(shù)軸上的點把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集。有幾個就要幾個。
③在確定一元二次不等式時，a>0，Δ=b^2-4ac>0時，不等式解集可用"大于取兩邊，小于取中間"求出。
4.不等式兩邊相加或相減，同一個數(shù)或式子，不等號的方向不變。(移項要變號)
5.不等式兩邊相乘或相除，同一個正數(shù)，不等號的方向不變。(相當系數(shù)化1，這是得正數(shù)才能使用)
6.不等式兩邊乘或除以同一個負數(shù)，不等號的方向改變。(÷或×1個負數(shù)的時候要變號)
證明方法
比較法
作差比較法：根據a-b>0?a>b，欲證a>b，只需證a-b>0;
作商比較法：根據a/b=1→{ 當b>0時，得a>b， 當b>0時，欲證a>b，只需證a/b>1.
當b<0時，得a
綜合法
由因導果. 證明不等式時，從已知的不等式及題設條件出發(fā)，運用不等式性質及適當變形推導出要證明的不等式. 合法又叫順推證法或因導果法.
分析法
執(zhí)果索因. 證明不等式時，從待證命題出發(fā)，尋找使其成立的充分條件. 由于”分析法“證題書寫不是太方便，所以有時我們可以利用分析法尋找證題的途徑，然后用”綜合法“進行表述.
放縮法
將不等式一側適當?shù)姆糯蠡蚩s小以達到證題目的，已知A
數(shù)學歸納法
證明與自然數(shù)n有關的不等式時，可用數(shù)學歸納法證之.
用數(shù)學歸納法證明不等式，要注意兩步一結論。
在證明第二步時，一般多用到比較法、放縮法和分析法。
反證法
證明不等式時，首先假設要證明的命題的反面成立，把它作為條件和其他條件結合在一起，利用已知定義、定理、公理等基本原理逐步推證出一個與命題的條件或已證明的定理或公認的簡單事實相矛盾的結論，以此說明原假設的結論不成立，從而肯定原命題的結論成立的方法稱為反證法。
換元法
換元的目的就是減少不等式中變量的個數(shù)，以使問題化難為易，化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。
構造法
通過構造函數(shù)、圖形、方程、數(shù)列、向量等來證明不等式。
定理口訣
解不等式的途徑，利用函數(shù)的性質。對指無理不等式，化為有理不等式。
高次向著低次代，步步轉化要等價。數(shù)形之間互轉化，幫助解答作用大。
證不等式的方法，實數(shù)性質威力大。求差與0比大小，作商和1爭高下。
直接困難分析好，思路清晰綜合法。非負常用基本式，正面難則反證法。
還有重要不等式，以及數(shù)學歸納法。圖形函數(shù)來幫助，畫圖建模構造法。
【練習題】
1、已知-1≤x+y≤1，1≤x-y≤3，求,3x-y的取值范圍。
2、關于x的不等式(5-2m)x > -3的解是正數(shù)，那么m所能取的最小整數(shù)是____
3、不等式|x| + |y| < 100有______組整數(shù)解。
【參考答案】
1.3x-y=1*(x+y)+2*(x-y)
根據已知條件：-1+1*2≤3x-y≤1+2*3,1≤3x-y≤7
所以3x-y的取值范圍是[1,7]
2.3
3.8