一、求被除數類
1. 同余加余，同差減差
例1.某數被7除余6，被5除余3，被3除余3，求此數最小是多少?
解：因為“被5除余3，被3除余3”中余數相同，即都是3(同余)，所以要先求滿足5和3的最小數，[5、3]=15，
15+3=18，
18÷7=2……4不余6，(不對)
15×2=30
(30+3)÷7=4……5不余6(不對)
(15×3+3)÷7=6……6(對)
所以滿足條件的最小數是48。
例2.某數被3除余2，被5除余4，被7除余5，這個數最小是多少?
解：因為“被3除余2，被5除余4”中都差1就可整除，即同差，所以要先滿足5和3的最小數，[5、3]=15，
15-1=14，
14÷7=2……0不余5(不對)
(15×6-1)÷7=12……5
所以滿足條件的最小數是89。
例3.一個四位數，它被131除余112，被132除余98，求這個四位數?
解：除數相差132-131=1，余數相差112-98=14，說明這個四位數中有14個131還余112。所以131×14+112=1946。
二、求除數類
1.若a÷c=……r;b÷c=……r.則cㄏ(a-b)。
例1.一個數去除551，745，1133這3個數，余數都相同。問這個數可能是幾?
解：745-551=194，1133-745=388。(194，388)=194，所以這個數是194。
2.若a÷c=……r1;b÷c=……r2， r1+ r2=d.則cㄏ(a+b-d)。
例2.有一個整數，用它分別去除157，234和324，得到的三個余數之和是100。求這個整數?
解：157+324+234-100=615，615=3×5×41。100÷3=33……1，即最小的除數應大于34，小于157。所以滿足條件的有41、123兩個，經過驗算可知正確答案為41。
三、求余數類
例1.已知整數n除以42余12，求n除余21的余數?
解：由已知條件可知，n=42的倍數+12=21的2倍的倍數+12。所以，n除以21的余數為12。
例2.有一個整數，除1200，1314，1048所得的余數都相同且大于5。問：這個相同的余數是多少?
解：因為
1314-1200=114=3×38，
1200-1048=152=4×38。
某自然數應當是這兩個差的公約數，即38。又因為
1200÷38=31(余22)
1314÷38=34(余22)。
所以，這個相同的余數是22。
例3.求19901990除以3所得的余數?
解：由同余的性質可知：對于同一個模，同余的乘方仍同余。
因為，
1990被3除余1，即19901990≡11990≡1，
所以19901990除以3所得的余數為1。
例4.有一個77位數，它的各位數字都是1，這個數除以7，余數是多少?
解：根據被7整除的特征知，111111能被7整除。
77 ÷6=12(余5)，
11111÷7=1587(余2)。
所以，這個數除以7的余數是2。
例5.1，1，2，3，5，8，13，……，90個數排成一列，從第三個數起，每個數都等于它前面兩個數的和。那么，這90個數的和除以5的余數是多少?
解：這一列數被5除的余數依次為1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，……。
余數從頭起20個數一個周期循環(huán)出現，而且這20個數的和40又恰為5的倍數。
90÷20=4(余10)
這列數中前10個數的余數和為
1+1+2+3+0+3+3+1+4+0=18
18÷5=3(余3)
所以，這90個數的和除以5的余數為3。
練習題：
1. 一個三位數被37除余17，被36除余3，那么這個三位數是多少?
2. 已知整數n除以3余2，求n除以12的余數?
3. 某數除以13余5，除以17余8，除以21余4，求此數最小是多少?
4. 號碼分別為101，126，173，193的四個運動員進行乒乓球比賽，規(guī)定每兩人比賽的盤數是他們號碼的和被3除所得的余數。那么，打球盤數最多的運動員打了多少盤?
5. 求21000除以13的余數是多少?
6. 當n是1到1992之間的一個自然數時，把它的各位數字相加，如果它的和不是一個一位數，那么把它的各位數再相加，如此繼續(xù)下去，直到得到一個從1到9的一位數為止(例如：468→18→9)。問在1到1992這1992個自然數經過上述方法處理后所得的1992個一位數中，3多還是4多?多幾個?
7. 由2000個2組成的數除以13，所得的余數是幾?
1. 同余加余，同差減差
例1.某數被7除余6，被5除余3，被3除余3，求此數最小是多少?
解：因為“被5除余3，被3除余3”中余數相同，即都是3(同余)，所以要先求滿足5和3的最小數，[5、3]=15，
15+3=18，
18÷7=2……4不余6，(不對)
15×2=30
(30+3)÷7=4……5不余6(不對)
(15×3+3)÷7=6……6(對)
所以滿足條件的最小數是48。
例2.某數被3除余2，被5除余4，被7除余5，這個數最小是多少?
解：因為“被3除余2，被5除余4”中都差1就可整除，即同差，所以要先滿足5和3的最小數，[5、3]=15，
15-1=14，
14÷7=2……0不余5(不對)
(15×6-1)÷7=12……5
所以滿足條件的最小數是89。
例3.一個四位數，它被131除余112，被132除余98，求這個四位數?
解：除數相差132-131=1，余數相差112-98=14，說明這個四位數中有14個131還余112。所以131×14+112=1946。
二、求除數類
1.若a÷c=……r;b÷c=……r.則cㄏ(a-b)。
例1.一個數去除551，745，1133這3個數，余數都相同。問這個數可能是幾?
解：745-551=194，1133-745=388。(194，388)=194，所以這個數是194。
2.若a÷c=……r1;b÷c=……r2， r1+ r2=d.則cㄏ(a+b-d)。
例2.有一個整數，用它分別去除157，234和324，得到的三個余數之和是100。求這個整數?
解：157+324+234-100=615，615=3×5×41。100÷3=33……1，即最小的除數應大于34，小于157。所以滿足條件的有41、123兩個，經過驗算可知正確答案為41。
三、求余數類
例1.已知整數n除以42余12，求n除余21的余數?
解：由已知條件可知，n=42的倍數+12=21的2倍的倍數+12。所以，n除以21的余數為12。
例2.有一個整數，除1200，1314，1048所得的余數都相同且大于5。問：這個相同的余數是多少?
解：因為
1314-1200=114=3×38，
1200-1048=152=4×38。
某自然數應當是這兩個差的公約數，即38。又因為
1200÷38=31(余22)
1314÷38=34(余22)。
所以，這個相同的余數是22。
例3.求19901990除以3所得的余數?
解：由同余的性質可知：對于同一個模，同余的乘方仍同余。
因為，
1990被3除余1，即19901990≡11990≡1，
所以19901990除以3所得的余數為1。
例4.有一個77位數，它的各位數字都是1，這個數除以7，余數是多少?
解：根據被7整除的特征知，111111能被7整除。
77 ÷6=12(余5)，
11111÷7=1587(余2)。
所以，這個數除以7的余數是2。
例5.1，1，2，3，5，8，13，……，90個數排成一列，從第三個數起，每個數都等于它前面兩個數的和。那么，這90個數的和除以5的余數是多少?
解：這一列數被5除的余數依次為1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，……。
余數從頭起20個數一個周期循環(huán)出現，而且這20個數的和40又恰為5的倍數。
90÷20=4(余10)
這列數中前10個數的余數和為
1+1+2+3+0+3+3+1+4+0=18
18÷5=3(余3)
所以，這90個數的和除以5的余數為3。
練習題：
1. 一個三位數被37除余17，被36除余3，那么這個三位數是多少?
2. 已知整數n除以3余2，求n除以12的余數?
3. 某數除以13余5，除以17余8，除以21余4，求此數最小是多少?
4. 號碼分別為101，126，173，193的四個運動員進行乒乓球比賽，規(guī)定每兩人比賽的盤數是他們號碼的和被3除所得的余數。那么，打球盤數最多的運動員打了多少盤?
5. 求21000除以13的余數是多少?
6. 當n是1到1992之間的一個自然數時，把它的各位數字相加，如果它的和不是一個一位數，那么把它的各位數再相加，如此繼續(xù)下去，直到得到一個從1到9的一位數為止(例如：468→18→9)。問在1到1992這1992個自然數經過上述方法處理后所得的1992個一位數中，3多還是4多?多幾個?
7. 由2000個2組成的數除以13，所得的余數是幾?