小升初數學試卷及答案:數論之帶余除法

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一、求被除數類
    1. 同余加余,同差減差
    例1.某數被7除余6,被5除余3,被3除余3,求此數最小是多少?
    解:因為“被5除余3,被3除余3”中余數相同,即都是3(同余),所以要先求滿足5和3的最小數,[5、3]=15,
    15+3=18,
    18÷7=2……4不余6,(不對)
    15×2=30
    (30+3)÷7=4……5不余6(不對)
    (15×3+3)÷7=6……6(對)
    所以滿足條件的最小數是48。
    例2.某數被3除余2,被5除余4,被7除余5,這個數最小是多少?
    解:因為“被3除余2,被5除余4”中都差1就可整除,即同差,所以要先滿足5和3的最小數,[5、3]=15,
    15-1=14,
    14÷7=2……0不余5(不對)
    (15×6-1)÷7=12……5
    所以滿足條件的最小數是89。
    例3.一個四位數,它被131除余112,被132除余98,求這個四位數?
    解:除數相差132-131=1,余數相差112-98=14,說明這個四位數中有14個131還余112。所以131×14+112=1946。
    二、求除數類
    1.若a÷c=……r;b÷c=……r.則cㄏ(a-b)。
    例1.一個數去除551,745,1133這3個數,余數都相同。問這個數可能是幾?
    解:745-551=194,1133-745=388。(194,388)=194,所以這個數是194。
    2.若a÷c=……r1;b÷c=……r2, r1+ r2=d.則cㄏ(a+b-d)。
    例2.有一個整數,用它分別去除157,234和324,得到的三個余數之和是100。求這個整數?
    解:157+324+234-100=615,615=3×5×41。100÷3=33……1,即最小的除數應大于34,小于157。所以滿足條件的有41、123兩個,經過驗算可知正確答案為41。
    三、求余數類
    例1.已知整數n除以42余12,求n除余21的余數?
    解:由已知條件可知,n=42的倍數+12=21的2倍的倍數+12。所以,n除以21的余數為12。
    例2.有一個整數,除1200,1314,1048所得的余數都相同且大于5。問:這個相同的余數是多少?
    解:因為
    1314-1200=114=3×38,
    1200-1048=152=4×38。
    某自然數應當是這兩個差的公約數,即38。又因為
    1200÷38=31(余22)
    1314÷38=34(余22)。
    所以,這個相同的余數是22。
    例3.求19901990除以3所得的余數?
    解:由同余的性質可知:對于同一個模,同余的乘方仍同余。
    因為,
    1990被3除余1,即19901990≡11990≡1,
    所以19901990除以3所得的余數為1。
    例4.有一個77位數,它的各位數字都是1,這個數除以7,余數是多少?
    解:根據被7整除的特征知,111111能被7整除。
    77 ÷6=12(余5),
    11111÷7=1587(余2)。
    所以,這個數除以7的余數是2。
    例5.1,1,2,3,5,8,13,……,90個數排成一列,從第三個數起,每個數都等于它前面兩個數的和。那么,這90個數的和除以5的余數是多少?
    解:這一列數被5除的余數依次為1,1,2,3,0,3,3,1,4,0,4,4,3,2,0,2,2,4,1,0,……。
    余數從頭起20個數一個周期循環(huán)出現,而且這20個數的和40又恰為5的倍數。
    90÷20=4(余10)
    這列數中前10個數的余數和為
    1+1+2+3+0+3+3+1+4+0=18
    18÷5=3(余3)
    所以,這90個數的和除以5的余數為3。
    練習題:
    1. 一個三位數被37除余17,被36除余3,那么這個三位數是多少?
    2. 已知整數n除以3余2,求n除以12的余數?
    3. 某數除以13余5,除以17余8,除以21余4,求此數最小是多少?
    4. 號碼分別為101,126,173,193的四個運動員進行乒乓球比賽,規(guī)定每兩人比賽的盤數是他們號碼的和被3除所得的余數。那么,打球盤數最多的運動員打了多少盤?
    5. 求21000除以13的余數是多少?
    6. 當n是1到1992之間的一個自然數時,把它的各位數字相加,如果它的和不是一個一位數,那么把它的各位數再相加,如此繼續(xù)下去,直到得到一個從1到9的一位數為止(例如:468→18→9)。問在1到1992這1992個自然數經過上述方法處理后所得的1992個一位數中,3多還是4多?多幾個?
    7. 由2000個2組成的數除以13,所得的余數是幾?