這篇【小升初奧數(shù)必考知識(shí)點(diǎn)：數(shù)論綜合】，是特地為大家整理的，供大家學(xué)習(xí)參考！
內(nèi)容概述
涉及知識(shí)點(diǎn)多、解題過程比較復(fù)雜的整數(shù)綜合題，以及基本依靠數(shù)論手段求解的其他類型問題。
1.如果把任意n個(gè)連續(xù)自然數(shù)相乘，其積的個(gè)位數(shù)字只有兩種可能，那么n是多少?
【分析與解】 我們知道如果有5個(gè)連
續(xù)的自然數(shù)，因?yàn)槠鋬?nèi)必有2的倍數(shù)，也有5的倍數(shù)，則它們乘積的個(gè)位數(shù)字只能是0。
所以n小于5.
第一種情況:當(dāng)n為4時(shí)，如果其內(nèi)含有5的倍數(shù)(個(gè)位數(shù)字為O或5)，顯然其內(nèi)含有2的倍數(shù)，那么它們乘積的個(gè)位數(shù)字為0;
如果不含有5的倍數(shù)，則這4個(gè)連續(xù)的個(gè)位數(shù)字只能是1，2，3，4或6，7，8，9;它們的積的個(gè)位數(shù)字都是4;
所以，當(dāng)n為4時(shí)，任意4個(gè)連續(xù)自然數(shù)相乘，其積的個(gè)位數(shù)字只有兩科可能。
第二種情況：當(dāng)n為3時(shí)，有1×2×3的個(gè)位數(shù)字為6，2×3×4的個(gè)位數(shù)字為4，3×4×5的個(gè)位數(shù)字為0，……，不滿足。
第三種情況：當(dāng)n為2時(shí)，有1×2，2×3，3×4，4×5的個(gè)位數(shù)字分別為2，6，4，0，顯然不滿足。
至于n取1顯然不滿足了。
所以滿足條件的n是4.
2.如果四個(gè)兩位質(zhì)數(shù)a，b，c，d兩兩不同，并且滿足，等式a+b=c+d.那么，
(1)a+b的最小可能值是多少?
(2)a+b的可能值是多少?
【分析與解】?jī)晌坏馁|(zhì)數(shù)有11，13，17，19，23，29，3l，37，41，43，47，53，59，6l，
67，71，73，79，83，89，97.
可得出，最小為11+19=13+17=30，為97+71=89+79=168.
所以滿足條件的a+b最小可能值為30，可能值為168.
3.如果某整數(shù)同時(shí)具備如下3條性質(zhì)：
①這個(gè)數(shù)與1的差是質(zhì)數(shù);
②這個(gè)數(shù)除以2所得的商也是質(zhì)數(shù);
③這個(gè)數(shù)除以9所得的余數(shù)是5.
那么我們稱這個(gè)整數(shù)為幸運(yùn)數(shù)。求出所有的兩位幸運(yùn)數(shù)。
【分析與解】 條件①也就是這個(gè)數(shù)與1的差是2或奇數(shù)，這個(gè)數(shù)只能是3或者偶數(shù)，再根據(jù)條件③，除以9余5，在兩位的偶數(shù)中只有14，32，50，68，86這5個(gè)數(shù)滿足條件。
其中86與50不符合①，32與68不符合②，三個(gè)條件都符合的只有14.
所以兩位幸運(yùn)數(shù)只有14.
4.在555555的約數(shù)中，的三位數(shù)是多少?
【分析與解】555555=5×111×1001
=3×5×7×11×13×37
顯然其的三位數(shù)約數(shù)為777.
5.從一張長(zhǎng)2002毫米，寬847毫米的長(zhǎng)方形紙片上，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)盡可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的紙片上再剪下一個(gè)邊長(zhǎng)盡可能大的正方形。按照上面的過程不斷地重復(fù)，最后剪得正方形的邊長(zhǎng)是多少毫米?
【分析與解】 從長(zhǎng)2002毫米、寬847毫米的長(zhǎng)方形紙板上首先可剪下邊長(zhǎng)為847毫米的正方形，這樣的正方形的個(gè)數(shù)恰好是2002除以847所得的商。而余數(shù)恰好是剩下的長(zhǎng)方形的寬，于是有：2002÷847=2……308，847÷308=2……231，308÷231=1……77.231÷77=3.
不難得知，最后剪去的正方形邊長(zhǎng)為77毫米。
6.已知存在三個(gè)小于20的自然數(shù)，它們的公約數(shù)是1，且兩兩均不互質(zhì)。請(qǐng)寫出所有可能的答案。
【分析與解】 設(shè)這三個(gè)數(shù)為a、b、c，且a
小于20的合數(shù)有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18.其中只含1種因數(shù)的合數(shù)不滿足，所以只剩下6，10，12，14，15，18這6個(gè)數(shù)，但是14=2×7，其中質(zhì)因數(shù)7只有14含有，無法找到兩個(gè)不與14互質(zhì)的數(shù)。
所以只剩下6，10，12，15，18這5個(gè)數(shù)存在可能的排列。
所以，所有可能的答案為(6，10，15);(10，12，15);(10，15，18)。
7.把26，33，34，35，63，85，91，143分成若干組，要求每一組中任意兩個(gè)數(shù)的公約數(shù)是1.那么最少要分成多少組?
【分析與解】26=2×13，33=3×11，34=2×17，35=5×7，63= ×7，85=5×17，91=7×13，143=11×13.
由于質(zhì)因數(shù)13出現(xiàn)在26、91、143三個(gè)數(shù)中，故至少要分成三組，可以分成如下3組：
將26、33、35分為一組，91、34、33分為一組，而143、63、85分為一組。
所以，至少要分成3組。
8.圖10-1中兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)A，大圓直徑48厘米，小圓直徑30厘米。兩只甲蟲同時(shí)從A出發(fā)，按箭頭所指的方向以相同的速度分別爬了幾圈時(shí)，兩只甲蟲首次相距最遠(yuǎn)?
【分析與解】 圓內(nèi)的任意兩點(diǎn)，以直徑兩端點(diǎn)得距離最遠(yuǎn)。如果沿小圓爬行的甲蟲爬到A點(diǎn)，沿大圓爬行的甲蟲恰好爬到B點(diǎn)，兩甲蟲的距離便最遠(yuǎn)。
小圓周長(zhǎng)為 ×30=307r，大圓周長(zhǎng)為48 ，一半便是24 ，30與24的最小公倍數(shù)時(shí)120.
120÷30=4.120÷24=5.
所以小圓上甲蟲爬了4圈時(shí)，大圓上甲蟲爬了5個(gè) 圓周長(zhǎng)，即爬到了過A的直徑另一點(diǎn)B.這時(shí)兩只甲蟲相距最遠(yuǎn)。
9.設(shè)a與b是兩個(gè)不相等的非零自然數(shù)。
(1)如果它們的最小公倍數(shù)是72，那么這兩個(gè)自然數(shù)的和有多少種可能的數(shù)值?
(2)如果它們的最小公倍數(shù)是60，那么這兩個(gè)自然數(shù)的差有多少種可能的數(shù)值?
【分析與解】 (1)a與b的最小公倍數(shù)72=2×2×2×3×3，有12個(gè)約數(shù)：1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72.不妨設(shè)a>b.
第一種情況:當(dāng)a=72時(shí)，b可取小于72的11種約數(shù)，a+b≥72+1=73;
第二種情況:當(dāng)a=36時(shí)，b必須取8或24，a+b的值為44或60，均不同第一種情況中的值;
第三種情況：當(dāng)a=24時(shí)，b必須取9或18，a+b的值為33或42，均不同第一、二種情況中的值;
第四種情況：當(dāng)a=18時(shí)，b必須取8，a+b=26，不同于第一、二、三種情況的值;
第五種情況：當(dāng)a=12時(shí)，b無解;
第六種情況:當(dāng)a=9時(shí)，b必須取8，a+b=17，不同于第一、二、三、四情況中的值。
總之，a+b可以有l(wèi)l+2+2+1+1=17種不同的值。
(2)60=2×2×3×5，有12個(gè)約數(shù)：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60.a、b為60的約數(shù)，不妨設(shè)a>b.
第一種情況：當(dāng)a=60時(shí)，b可取60外的任何一個(gè)數(shù)，即可取11個(gè)值，于是a-b可取11種不同的值：59，58，57，56，55，54，50，48，45，40，30;
第二種情況：當(dāng)a=30時(shí)，b可取4，12，20，于是a-b可取26，18，10;
第三種情況：當(dāng)a=20時(shí)，b可取3，6，12，15，所以a-b可取17，14，8，5;
第四種情況當(dāng)a=15時(shí)，b可取4，12，所以a-b可取11，3;
第五種情況: 當(dāng)a=12時(shí)，b可取5，10，所以a-b可取7，2.
總之，a-b可以有11+3+4+2+2=22種不同的值。
11.在小于1000的自然數(shù)中，分別除以18及33所得余數(shù)相同的數(shù)有多少個(gè)?(余數(shù)可以為0)
【分析與解】 我們知道18，33的最小公倍數(shù)為[18，33]=198，所以每198個(gè)數(shù)一次。
1～198之間只有1，2，3，…，17，198(余O)這18個(gè)數(shù)除以18及33所得的余數(shù)相同，而999÷198=5……9，所以共有5×18+9=99個(gè)這樣的數(shù)。
12.甲、乙、丙三數(shù)分別為603，939，393.某數(shù)A除甲數(shù)所得余數(shù)是A除乙數(shù)所得余數(shù)的2倍，A除乙數(shù)所得余數(shù)是A除丙數(shù)所得余數(shù)的2倍。求A等于多少?
【分析與解】 由題意知4倍393除以A的余數(shù)，等于2倍939除以A的余數(shù)，等于甲603除以A的余數(shù)。
即603÷A=a……k;(2×939)÷A=b……k;(4×393)÷A=c……k.
于是有(1878-603)÷A=b-a;(1878-1572)÷A=b-c;(1572-603)÷A=c-a.
所以A為1275，306，969的約數(shù)，(1275，306，969)=17×3=51.
于是，A可能是51，17(不可能是3，因?yàn)椴粷M足余數(shù)是另一余數(shù)的4倍)。
當(dāng)A為51時(shí)，有603÷51=11……42;939÷51=18……21;393÷51=7……36.不滿足;
當(dāng)A為17時(shí)，有603÷17=35……8;939÷17=55……4;393÷17=23……2;滿足。
所以，除數(shù)4為17.
13.證明：形如11，111，1111，11111，…的數(shù)中沒有完全平方數(shù)。
【分析與解】 我們知道奇數(shù)的完全平方數(shù)是奇數(shù)，偶數(shù)的完全平方數(shù)為偶數(shù)，而奇數(shù)的完全平方數(shù)除以4余1，偶數(shù)的完全平方數(shù)能被4整除。
現(xiàn)在這些數(shù)都是奇數(shù)，它們除以4的余數(shù)都是3，所以不可能為完全平方數(shù)。
評(píng)注：設(shè)奇數(shù)為2n+1，則它的平方為 +4n+1，顯然除以4余1.
14.有8個(gè)盒子，各盒內(nèi)分別裝有奶糖9，17，24，28，30，31，33，44塊。甲先取走一盒，其余各盒被乙、丙、丁3人所取走。已知乙、丙取到的糖的塊數(shù)相同且為丁的2倍。問：甲取走的一盒中有多少塊奶糖?
【分析與解】 我們知道乙、丙、丁三人取走的七盒中，糖的塊數(shù)是丁所取糖塊數(shù)的5倍。
八盒糖總塊數(shù)為9+17+24+28+30+31+33+44=216.
從216減去5的倍數(shù)，所得差的個(gè)位數(shù)字只能是1或6.
觀察各盒糖的塊數(shù)發(fā)現(xiàn)，沒有個(gè)位數(shù)字是6的，只有一個(gè)個(gè)位數(shù)字是1的數(shù)31.
因此甲取走的一盒中有3l塊奶糖。
15.在一根長(zhǎng)木棍上，有三種刻度線。第一種刻度線將木棍分成10等份;第二種將木棍分成12等份;第三種將木棍分成15等份。如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，那么木棍總共被鋸成多少段?
【分析與解】 10，12，15的最小公倍數(shù)[10，12，15]=60，把這根木棍的1/60作為一個(gè)長(zhǎng)度單位，這樣，木棍10等份的每一等份長(zhǎng)6個(gè)單位;12等份的每等份長(zhǎng)5個(gè)單位;15等份的每等份長(zhǎng)4單位。
不計(jì)木棍的兩個(gè)端點(diǎn)，木棍的內(nèi)部等分點(diǎn)數(shù)分別是9，11，14(相應(yīng)于10，12，15等份)，共計(jì)34個(gè)。
由于5，6的最小公倍數(shù)為30，所以10與12等份的等分點(diǎn)在30單位處相重，必須從34中減1.
又由于4，5的最小公倍數(shù)為20，所以12與15等份的等分點(diǎn)在20單位和40單位兩處相重，必須再減去2.
同樣，6，4的最小公倍數(shù)為12，所以15與10等份的等分點(diǎn)在12，24，36，48單位處相重，必須再減去4.
由于這些相重點(diǎn)各不相同，所以從34個(gè)內(nèi)分點(diǎn)中減去1，再減去2，再減去4，得27個(gè)刻度點(diǎn)。沿這些刻度點(diǎn)把木棍鋸成28段。
內(nèi)容概述
涉及知識(shí)點(diǎn)多、解題過程比較復(fù)雜的整數(shù)綜合題，以及基本依靠數(shù)論手段求解的其他類型問題。
1.如果把任意n個(gè)連續(xù)自然數(shù)相乘，其積的個(gè)位數(shù)字只有兩種可能，那么n是多少?
【分析與解】 我們知道如果有5個(gè)連
續(xù)的自然數(shù)，因?yàn)槠鋬?nèi)必有2的倍數(shù)，也有5的倍數(shù)，則它們乘積的個(gè)位數(shù)字只能是0。
所以n小于5.
第一種情況:當(dāng)n為4時(shí)，如果其內(nèi)含有5的倍數(shù)(個(gè)位數(shù)字為O或5)，顯然其內(nèi)含有2的倍數(shù)，那么它們乘積的個(gè)位數(shù)字為0;
如果不含有5的倍數(shù)，則這4個(gè)連續(xù)的個(gè)位數(shù)字只能是1，2，3，4或6，7，8，9;它們的積的個(gè)位數(shù)字都是4;
所以，當(dāng)n為4時(shí)，任意4個(gè)連續(xù)自然數(shù)相乘，其積的個(gè)位數(shù)字只有兩科可能。
第二種情況：當(dāng)n為3時(shí)，有1×2×3的個(gè)位數(shù)字為6，2×3×4的個(gè)位數(shù)字為4，3×4×5的個(gè)位數(shù)字為0，……，不滿足。
第三種情況：當(dāng)n為2時(shí)，有1×2，2×3，3×4，4×5的個(gè)位數(shù)字分別為2，6，4，0，顯然不滿足。
至于n取1顯然不滿足了。
所以滿足條件的n是4.
2.如果四個(gè)兩位質(zhì)數(shù)a，b，c，d兩兩不同，并且滿足，等式a+b=c+d.那么，
(1)a+b的最小可能值是多少?
(2)a+b的可能值是多少?
【分析與解】?jī)晌坏馁|(zhì)數(shù)有11，13，17，19，23，29，3l，37，41，43，47，53，59，6l，
67，71，73，79，83，89，97.
可得出，最小為11+19=13+17=30，為97+71=89+79=168.
所以滿足條件的a+b最小可能值為30，可能值為168.
3.如果某整數(shù)同時(shí)具備如下3條性質(zhì)：
①這個(gè)數(shù)與1的差是質(zhì)數(shù);
②這個(gè)數(shù)除以2所得的商也是質(zhì)數(shù);
③這個(gè)數(shù)除以9所得的余數(shù)是5.
那么我們稱這個(gè)整數(shù)為幸運(yùn)數(shù)。求出所有的兩位幸運(yùn)數(shù)。
【分析與解】 條件①也就是這個(gè)數(shù)與1的差是2或奇數(shù)，這個(gè)數(shù)只能是3或者偶數(shù)，再根據(jù)條件③，除以9余5，在兩位的偶數(shù)中只有14，32，50，68，86這5個(gè)數(shù)滿足條件。
其中86與50不符合①，32與68不符合②，三個(gè)條件都符合的只有14.
所以兩位幸運(yùn)數(shù)只有14.
4.在555555的約數(shù)中，的三位數(shù)是多少?
【分析與解】555555=5×111×1001
=3×5×7×11×13×37
顯然其的三位數(shù)約數(shù)為777.
5.從一張長(zhǎng)2002毫米，寬847毫米的長(zhǎng)方形紙片上，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)盡可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的紙片上再剪下一個(gè)邊長(zhǎng)盡可能大的正方形。按照上面的過程不斷地重復(fù)，最后剪得正方形的邊長(zhǎng)是多少毫米?
【分析與解】 從長(zhǎng)2002毫米、寬847毫米的長(zhǎng)方形紙板上首先可剪下邊長(zhǎng)為847毫米的正方形，這樣的正方形的個(gè)數(shù)恰好是2002除以847所得的商。而余數(shù)恰好是剩下的長(zhǎng)方形的寬，于是有：2002÷847=2……308，847÷308=2……231，308÷231=1……77.231÷77=3.
不難得知，最后剪去的正方形邊長(zhǎng)為77毫米。
6.已知存在三個(gè)小于20的自然數(shù)，它們的公約數(shù)是1，且兩兩均不互質(zhì)。請(qǐng)寫出所有可能的答案。
【分析與解】 設(shè)這三個(gè)數(shù)為a、b、c，且a
小于20的合數(shù)有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18.其中只含1種因數(shù)的合數(shù)不滿足，所以只剩下6，10，12，14，15，18這6個(gè)數(shù)，但是14=2×7，其中質(zhì)因數(shù)7只有14含有，無法找到兩個(gè)不與14互質(zhì)的數(shù)。
所以只剩下6，10，12，15，18這5個(gè)數(shù)存在可能的排列。
所以，所有可能的答案為(6，10，15);(10，12，15);(10，15，18)。
7.把26，33，34，35，63，85，91，143分成若干組，要求每一組中任意兩個(gè)數(shù)的公約數(shù)是1.那么最少要分成多少組?
【分析與解】26=2×13，33=3×11，34=2×17，35=5×7，63= ×7，85=5×17，91=7×13，143=11×13.
由于質(zhì)因數(shù)13出現(xiàn)在26、91、143三個(gè)數(shù)中，故至少要分成三組，可以分成如下3組：
將26、33、35分為一組，91、34、33分為一組，而143、63、85分為一組。
所以，至少要分成3組。
8.圖10-1中兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)A，大圓直徑48厘米，小圓直徑30厘米。兩只甲蟲同時(shí)從A出發(fā)，按箭頭所指的方向以相同的速度分別爬了幾圈時(shí)，兩只甲蟲首次相距最遠(yuǎn)?
【分析與解】 圓內(nèi)的任意兩點(diǎn)，以直徑兩端點(diǎn)得距離最遠(yuǎn)。如果沿小圓爬行的甲蟲爬到A點(diǎn)，沿大圓爬行的甲蟲恰好爬到B點(diǎn)，兩甲蟲的距離便最遠(yuǎn)。
小圓周長(zhǎng)為 ×30=307r，大圓周長(zhǎng)為48 ，一半便是24 ，30與24的最小公倍數(shù)時(shí)120.
120÷30=4.120÷24=5.
所以小圓上甲蟲爬了4圈時(shí)，大圓上甲蟲爬了5個(gè) 圓周長(zhǎng)，即爬到了過A的直徑另一點(diǎn)B.這時(shí)兩只甲蟲相距最遠(yuǎn)。
9.設(shè)a與b是兩個(gè)不相等的非零自然數(shù)。
(1)如果它們的最小公倍數(shù)是72，那么這兩個(gè)自然數(shù)的和有多少種可能的數(shù)值?
(2)如果它們的最小公倍數(shù)是60，那么這兩個(gè)自然數(shù)的差有多少種可能的數(shù)值?
【分析與解】 (1)a與b的最小公倍數(shù)72=2×2×2×3×3，有12個(gè)約數(shù)：1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72.不妨設(shè)a>b.
第一種情況:當(dāng)a=72時(shí)，b可取小于72的11種約數(shù)，a+b≥72+1=73;
第二種情況:當(dāng)a=36時(shí)，b必須取8或24，a+b的值為44或60，均不同第一種情況中的值;
第三種情況：當(dāng)a=24時(shí)，b必須取9或18，a+b的值為33或42，均不同第一、二種情況中的值;
第四種情況：當(dāng)a=18時(shí)，b必須取8，a+b=26，不同于第一、二、三種情況的值;
第五種情況：當(dāng)a=12時(shí)，b無解;
第六種情況:當(dāng)a=9時(shí)，b必須取8，a+b=17，不同于第一、二、三、四情況中的值。
總之，a+b可以有l(wèi)l+2+2+1+1=17種不同的值。
(2)60=2×2×3×5，有12個(gè)約數(shù)：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60.a、b為60的約數(shù)，不妨設(shè)a>b.
第一種情況：當(dāng)a=60時(shí)，b可取60外的任何一個(gè)數(shù)，即可取11個(gè)值，于是a-b可取11種不同的值：59，58，57，56，55，54，50，48，45，40，30;
第二種情況：當(dāng)a=30時(shí)，b可取4，12，20，于是a-b可取26，18，10;
第三種情況：當(dāng)a=20時(shí)，b可取3，6，12，15，所以a-b可取17，14，8，5;
第四種情況當(dāng)a=15時(shí)，b可取4，12，所以a-b可取11，3;
第五種情況: 當(dāng)a=12時(shí)，b可取5，10，所以a-b可取7，2.
總之，a-b可以有11+3+4+2+2=22種不同的值。
11.在小于1000的自然數(shù)中，分別除以18及33所得余數(shù)相同的數(shù)有多少個(gè)?(余數(shù)可以為0)
【分析與解】 我們知道18，33的最小公倍數(shù)為[18，33]=198，所以每198個(gè)數(shù)一次。
1～198之間只有1，2，3，…，17，198(余O)這18個(gè)數(shù)除以18及33所得的余數(shù)相同，而999÷198=5……9，所以共有5×18+9=99個(gè)這樣的數(shù)。
12.甲、乙、丙三數(shù)分別為603，939，393.某數(shù)A除甲數(shù)所得余數(shù)是A除乙數(shù)所得余數(shù)的2倍，A除乙數(shù)所得余數(shù)是A除丙數(shù)所得余數(shù)的2倍。求A等于多少?
【分析與解】 由題意知4倍393除以A的余數(shù)，等于2倍939除以A的余數(shù)，等于甲603除以A的余數(shù)。
即603÷A=a……k;(2×939)÷A=b……k;(4×393)÷A=c……k.
于是有(1878-603)÷A=b-a;(1878-1572)÷A=b-c;(1572-603)÷A=c-a.
所以A為1275，306，969的約數(shù)，(1275，306，969)=17×3=51.
于是，A可能是51，17(不可能是3，因?yàn)椴粷M足余數(shù)是另一余數(shù)的4倍)。
當(dāng)A為51時(shí)，有603÷51=11……42;939÷51=18……21;393÷51=7……36.不滿足;
當(dāng)A為17時(shí)，有603÷17=35……8;939÷17=55……4;393÷17=23……2;滿足。
所以，除數(shù)4為17.
13.證明：形如11，111，1111，11111，…的數(shù)中沒有完全平方數(shù)。
【分析與解】 我們知道奇數(shù)的完全平方數(shù)是奇數(shù)，偶數(shù)的完全平方數(shù)為偶數(shù)，而奇數(shù)的完全平方數(shù)除以4余1，偶數(shù)的完全平方數(shù)能被4整除。
現(xiàn)在這些數(shù)都是奇數(shù)，它們除以4的余數(shù)都是3，所以不可能為完全平方數(shù)。
評(píng)注：設(shè)奇數(shù)為2n+1，則它的平方為 +4n+1，顯然除以4余1.
14.有8個(gè)盒子，各盒內(nèi)分別裝有奶糖9，17，24，28，30，31，33，44塊。甲先取走一盒，其余各盒被乙、丙、丁3人所取走。已知乙、丙取到的糖的塊數(shù)相同且為丁的2倍。問：甲取走的一盒中有多少塊奶糖?
【分析與解】 我們知道乙、丙、丁三人取走的七盒中，糖的塊數(shù)是丁所取糖塊數(shù)的5倍。
八盒糖總塊數(shù)為9+17+24+28+30+31+33+44=216.
從216減去5的倍數(shù)，所得差的個(gè)位數(shù)字只能是1或6.
觀察各盒糖的塊數(shù)發(fā)現(xiàn)，沒有個(gè)位數(shù)字是6的，只有一個(gè)個(gè)位數(shù)字是1的數(shù)31.
因此甲取走的一盒中有3l塊奶糖。
15.在一根長(zhǎng)木棍上，有三種刻度線。第一種刻度線將木棍分成10等份;第二種將木棍分成12等份;第三種將木棍分成15等份。如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，那么木棍總共被鋸成多少段?
【分析與解】 10，12，15的最小公倍數(shù)[10，12，15]=60，把這根木棍的1/60作為一個(gè)長(zhǎng)度單位，這樣，木棍10等份的每一等份長(zhǎng)6個(gè)單位;12等份的每等份長(zhǎng)5個(gè)單位;15等份的每等份長(zhǎng)4單位。
不計(jì)木棍的兩個(gè)端點(diǎn)，木棍的內(nèi)部等分點(diǎn)數(shù)分別是9，11，14(相應(yīng)于10，12，15等份)，共計(jì)34個(gè)。
由于5，6的最小公倍數(shù)為30，所以10與12等份的等分點(diǎn)在30單位處相重，必須從34中減1.
又由于4，5的最小公倍數(shù)為20，所以12與15等份的等分點(diǎn)在20單位和40單位兩處相重，必須再減去2.
同樣，6，4的最小公倍數(shù)為12，所以15與10等份的等分點(diǎn)在12，24，36，48單位處相重，必須再減去4.
由于這些相重點(diǎn)各不相同，所以從34個(gè)內(nèi)分點(diǎn)中減去1，再減去2，再減去4，得27個(gè)刻度點(diǎn)。沿這些刻度點(diǎn)把木棍鋸成28段。