2015屆高三年級第二次四校聯(lián)考
數(shù)學(xué)（文）試題
2014.12
命題：康杰中學(xué) 臨汾一中 忻州一中 長治二中
【滿分150分，考試時間為120分鐘】
一、選擇題(5×12＝60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項用2B鉛筆涂黑答題紙上對應(yīng)題目的答案標號)
1. 已知集合 ，集合 ，則 等于
A． B． C． D．
2. 已知復(fù)數(shù) ( 為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù) 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在
A． 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3. 已知數(shù)列 滿足 , ，則數(shù)列 的前 項和 為
A． B． C． D．
4. 已知函數(shù) ，若 ，則實數(shù) 的取值范圍是
A． B． C． D．
5．已知命題 ： ， ，命題 ： ， 則下列命題為真命題的是
A. B． C． D．
6．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的 值為
A. B． C． D．
7．已知向量 滿足 ， ， ，則 與 的夾角為
A． B． C． D．
8. 已知圓 ,拋物線 的準線為 ,設(shè)拋物線上任意一點 到直線 的距離為 ,則 的最小值為
A． B． C． D．
9．已知函數(shù) ， ， 的零點分別為 ， ， ，則 ， ， 的大小關(guān)系是
A． B． C． D．
10. 已知 是第二象限角, ,函數(shù)
的圖像關(guān)于直線 對稱,則
A． B.
C. D.
11. 已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為
A． B.
C. D.
12. 已知函數(shù) ，則方程 的根的個數(shù)不可
能為
A． B． C． D．
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,把答案填在答題紙的相應(yīng)位置上)
13. 已知雙曲線的漸近線方程為 ，則此雙曲線的離心率為_______.
14. 點 滿足不等式 ，，則 的值為________.
15. 已知三棱錐 中， ， ， ， ，
，則三棱錐 的外接球的表面積為________.
16. 已知定義在 上的函數(shù) 滿足：①對于任意的 ，都有 ；②函數(shù) 是偶函數(shù)；③當(dāng) 時， ，則 ， ， 從小到大的排列是______.
三、解答題(本大題6小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，并把解答寫在答卷紙的相應(yīng)位置上)
17. (本小題滿分12分)
在公差不為 的等差數(shù)列 中，已知 ，且 ， ， 成等比數(shù)列.
（1）求數(shù)列 的通項公式；
（2）令 ，求數(shù)列 的前 項和 .
18. (本小題滿分12分)
如圖，四棱錐 中，底面 為矩形，
平面 ， 為 的中點.
（1）證明: 平面 ;
（2）設(shè) , ,求點 到平面 的距離.
19. (本小題滿分12分)
已知向量 ， ，設(shè)函數(shù) .
（1）求函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在 中，邊 分別是角 的對邊，角 為銳角，
若 ， ， 的面積為 ，求邊 的長.
20. (本小題滿分12分)
已知動圓 過定點 ，且與圓 : 相切，點 的軌跡為曲線 ，設(shè) 為曲線 上(不在 軸上)的動點，過點 作 （ 為坐標原點）的平行線交曲線 與 兩點.
（1）求曲線 的方程；
（2）是否存在常數(shù) ，使 總成立？若存在，求 ；若不存在，說明理由.
21. (本小題滿分12分)
設(shè)函數(shù) （ ）.
（1）若函數(shù) 在其定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù) 的取值范圍；
（2）設(shè) ，且 ，若在 上至少存在一點 ，使得 成立，求實數(shù) 的取值范圍.
請考生在（22）、（23）、（24）三題中任選一題作答，如果多答，則按做的第一題記分．作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)題號右側(cè)的方框涂黑．
22．(本小題滿分10分)選修4—1：幾何證明選講
如圖， 邊AB上的高，
（1）證明： 、 、 、 四點共圓；
（2）若 ， ，求 的長.
23．(本小題滿分10分）選修4—4：坐標系與參數(shù)方程
已知曲線 的極坐標方程是 ．以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為 軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線 的參數(shù)方程是 是參數(shù) .
（1）寫出曲線 的參數(shù)方程；
（2）若直線 與曲線 相交于 、 兩點，且 ，求直線 的傾斜角 的值．
24．(本小題滿分10分) 選修4—5：不等式選講
已知函數(shù)
（1）解不等式 ；
（2）對任意 ，都有 成立，求實數(shù) 的取值范圍.
2015四校二聯(lián)文科數(shù)學(xué)試題答案
一選擇題 1-6 CBDACB 7-12DADCCA
二填空題 13. 或 14. 15. 6π 16.
三解答題17.解：
（1）設(shè)數(shù)列 的公差為 ，由題知， ， ……………1分
， ……………2分
即 ，又 ， ……………4分
， ……………5分
（2） ， ……………6分
①
②
①-②得 ……………9分
……………11分
……………12分
18.（1）連結(jié)BD交AC與點O，連結(jié)EO
∵底面ABCD為矩形 ∴O為BD的中點
又∵E為PD的中點 ∴OE為△PBD的中位線，
則OE∥PB ………4分
又 ，
∴PB∥平面AEC ……………6分
（2）∵PB∥平面AEC
∴P到平面AEC與B到平面AEC的距離相等
∴VP-AEC=VB-AEC=VE-ABC ……………8分
又S△ABC= ,且E到平面ABC的距離為
AC=2，EC= ，AE=1， ∴S△AEC= ……………10分
設(shè)P到平面AEC的距離為 ，
則 ，可得 =
∴P到平面AEC的距離為 ……………12分
19.（1）
……………3分
由 ，得
∴ 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ……………6分
（2）
∴ 又A為銳角，∴ ， …………9分
S△ABC= ， ∴ ，
則 ∴ ……………12分
20.(1)∵ 在圓B的內(nèi)部 ∴兩圓相內(nèi)切，所以 ，
即
∴C點的軌跡是以A，B為焦點的橢圓，且長軸長 ， ， ，
∴曲線T的方程為： ……………4分
（2）當(dāng)直線MN斜率不存在時， ,
∴ ，則 ……………5分
當(dāng)直線MN斜率存在時，設(shè) ， ，MN: ，則OQ: ，
由 得 ，則
， ……………7分
∴
……………9分
由 得 ，則 ，
∴ ，由 可解得 。
綜上，存在常數(shù) ，使 總成立。 ……………12分
21.解（1）f ′(x)=p＋px2－2x = px2－2x＋px2， ……………2分
依題意，f ′(x)≥0在(0, + ∞)內(nèi)恒成立，
只需px2－2x＋p≥0在(0, + ∞)內(nèi)恒成立，只需p≥2xx2＋1在(0, + ∞)內(nèi)恒成立， …………4分
只需p≥（2xx2＋1）max=1，
故f(x)在其定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)時，p的取值范圍是[1，+ ∞)。 ……………6分
（應(yīng)該驗證 時，符合題意，此題不驗證也不扣分）
（2）依題意，f(x)－g(x)>0在[1,e]上有解，設(shè)h(x)= f(x)－g(x)= px－px－2ln x－2ex,x∈[1,e]，
h ′(x)=p＋px2－2x＋2ex2 = px2＋p＋2(e－x)x2， ………………8分
因為x∈[1,e]，p>0，所以h ′(x)>0在[1,e]上恒成立，
所以h(x) 在[1,e]上是增函數(shù)，所以hmax(x)= h(e)=p(e－1e)－4,
依題意，要h(x) >0在[1,e]有解只需hmax(x) >0，所以p(e－1e)－4>0
解得p > 4ee2-1，所以p的取值范圍是(4ee2-1, + ∞) ………………12分
22.(1)連接QP，由已知C、P、F、Q四點共圓， ,
, .
則四點A、B、P、Q共圓。 ……………………5分
(2) ,直角三角形 中，
,又 ,
………………10分
23.解:（1）由 得： ， ， ………………2分
即 ，
所以曲線 的參數(shù)方程： （ 為參數(shù)） …………………4分
（2）將 代入圓的方程得 ，
化簡得 . 設(shè) 、 兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為 、 ,
則 , …………………6分
,
, , 或 . ……………………10分
24.解：（1） -2 當(dāng) 時， , 即 ，∴ ；
當(dāng) 時， ,即 ,∴
當(dāng) 時， , 即 , ∴1 6
綜上，{ | 6} ……………………5分
（2）
函數(shù) 的圖像如圖所示：
令 ， 表示直線的縱截距，當(dāng)直線過(1,3)點時， ；
∴當(dāng)- 2，即 -2時成立； …………………8分
當(dāng) ，即 時，令 ， 得 ,
∴ 2+ ,即 4時成立，
綜上 -2或 4。 …………………10分
數(shù)學(xué)（文）試題
2014.12
命題：康杰中學(xué) 臨汾一中 忻州一中 長治二中
【滿分150分，考試時間為120分鐘】
一、選擇題(5×12＝60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項用2B鉛筆涂黑答題紙上對應(yīng)題目的答案標號)
1. 已知集合 ，集合 ，則 等于
A． B． C． D．
2. 已知復(fù)數(shù) ( 為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù) 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在
A． 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3. 已知數(shù)列 滿足 , ，則數(shù)列 的前 項和 為
A． B． C． D．
4. 已知函數(shù) ，若 ，則實數(shù) 的取值范圍是
A． B． C． D．
5．已知命題 ： ， ，命題 ： ， 則下列命題為真命題的是
A. B． C． D．
6．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的 值為
A. B． C． D．
7．已知向量 滿足 ， ， ，則 與 的夾角為
A． B． C． D．
8. 已知圓 ,拋物線 的準線為 ,設(shè)拋物線上任意一點 到直線 的距離為 ,則 的最小值為
A． B． C． D．
9．已知函數(shù) ， ， 的零點分別為 ， ， ，則 ， ， 的大小關(guān)系是
A． B． C． D．
10. 已知 是第二象限角, ,函數(shù)
的圖像關(guān)于直線 對稱,則
A． B.
C. D.
11. 已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為
A． B.
C. D.
12. 已知函數(shù) ，則方程 的根的個數(shù)不可
能為
A． B． C． D．
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,把答案填在答題紙的相應(yīng)位置上)
13. 已知雙曲線的漸近線方程為 ，則此雙曲線的離心率為_______.
14. 點 滿足不等式 ，，則 的值為________.
15. 已知三棱錐 中， ， ， ， ，
，則三棱錐 的外接球的表面積為________.
16. 已知定義在 上的函數(shù) 滿足：①對于任意的 ，都有 ；②函數(shù) 是偶函數(shù)；③當(dāng) 時， ，則 ， ， 從小到大的排列是______.
三、解答題(本大題6小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，并把解答寫在答卷紙的相應(yīng)位置上)
17. (本小題滿分12分)
在公差不為 的等差數(shù)列 中，已知 ，且 ， ， 成等比數(shù)列.
（1）求數(shù)列 的通項公式；
（2）令 ，求數(shù)列 的前 項和 .
18. (本小題滿分12分)
如圖，四棱錐 中，底面 為矩形，
平面 ， 為 的中點.
（1）證明: 平面 ;
（2）設(shè) , ,求點 到平面 的距離.
19. (本小題滿分12分)
已知向量 ， ，設(shè)函數(shù) .
（1）求函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在 中，邊 分別是角 的對邊，角 為銳角，
若 ， ， 的面積為 ，求邊 的長.
20. (本小題滿分12分)
已知動圓 過定點 ，且與圓 : 相切，點 的軌跡為曲線 ，設(shè) 為曲線 上(不在 軸上)的動點，過點 作 （ 為坐標原點）的平行線交曲線 與 兩點.
（1）求曲線 的方程；
（2）是否存在常數(shù) ，使 總成立？若存在，求 ；若不存在，說明理由.
21. (本小題滿分12分)
設(shè)函數(shù) （ ）.
（1）若函數(shù) 在其定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù) 的取值范圍；
（2）設(shè) ，且 ，若在 上至少存在一點 ，使得 成立，求實數(shù) 的取值范圍.
請考生在（22）、（23）、（24）三題中任選一題作答，如果多答，則按做的第一題記分．作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)題號右側(cè)的方框涂黑．
22．(本小題滿分10分)選修4—1：幾何證明選講
如圖， 邊AB上的高，
（1）證明： 、 、 、 四點共圓；
（2）若 ， ，求 的長.
23．(本小題滿分10分）選修4—4：坐標系與參數(shù)方程
已知曲線 的極坐標方程是 ．以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為 軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線 的參數(shù)方程是 是參數(shù) .
（1）寫出曲線 的參數(shù)方程；
（2）若直線 與曲線 相交于 、 兩點，且 ，求直線 的傾斜角 的值．
24．(本小題滿分10分) 選修4—5：不等式選講
已知函數(shù)
（1）解不等式 ；
（2）對任意 ，都有 成立，求實數(shù) 的取值范圍.
2015四校二聯(lián)文科數(shù)學(xué)試題答案
一選擇題 1-6 CBDACB 7-12DADCCA
二填空題 13. 或 14. 15. 6π 16.
三解答題17.解：
（1）設(shè)數(shù)列 的公差為 ，由題知， ， ……………1分
， ……………2分
即 ，又 ， ……………4分
， ……………5分
（2） ， ……………6分
①
②
①-②得 ……………9分
……………11分
……………12分
18.（1）連結(jié)BD交AC與點O，連結(jié)EO
∵底面ABCD為矩形 ∴O為BD的中點
又∵E為PD的中點 ∴OE為△PBD的中位線，
則OE∥PB ………4分
又 ，
∴PB∥平面AEC ……………6分
（2）∵PB∥平面AEC
∴P到平面AEC與B到平面AEC的距離相等
∴VP-AEC=VB-AEC=VE-ABC ……………8分
又S△ABC= ,且E到平面ABC的距離為
AC=2，EC= ，AE=1， ∴S△AEC= ……………10分
設(shè)P到平面AEC的距離為 ，
則 ，可得 =
∴P到平面AEC的距離為 ……………12分
19.（1）
……………3分
由 ，得
∴ 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ……………6分
（2）
∴ 又A為銳角，∴ ， …………9分
S△ABC= ， ∴ ，
則 ∴ ……………12分
20.(1)∵ 在圓B的內(nèi)部 ∴兩圓相內(nèi)切，所以 ，
即
∴C點的軌跡是以A，B為焦點的橢圓，且長軸長 ， ， ，
∴曲線T的方程為： ……………4分
（2）當(dāng)直線MN斜率不存在時， ,
∴ ，則 ……………5分
當(dāng)直線MN斜率存在時，設(shè) ， ，MN: ，則OQ: ，
由 得 ，則
， ……………7分
∴
……………9分
由 得 ，則 ，
∴ ，由 可解得 。
綜上，存在常數(shù) ，使 總成立。 ……………12分
21.解（1）f ′(x)=p＋px2－2x = px2－2x＋px2， ……………2分
依題意，f ′(x)≥0在(0, + ∞)內(nèi)恒成立，
只需px2－2x＋p≥0在(0, + ∞)內(nèi)恒成立，只需p≥2xx2＋1在(0, + ∞)內(nèi)恒成立， …………4分
只需p≥（2xx2＋1）max=1，
故f(x)在其定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)時，p的取值范圍是[1，+ ∞)。 ……………6分
（應(yīng)該驗證 時，符合題意，此題不驗證也不扣分）
（2）依題意，f(x)－g(x)>0在[1,e]上有解，設(shè)h(x)= f(x)－g(x)= px－px－2ln x－2ex,x∈[1,e]，
h ′(x)=p＋px2－2x＋2ex2 = px2＋p＋2(e－x)x2， ………………8分
因為x∈[1,e]，p>0，所以h ′(x)>0在[1,e]上恒成立，
所以h(x) 在[1,e]上是增函數(shù)，所以hmax(x)= h(e)=p(e－1e)－4,
依題意，要h(x) >0在[1,e]有解只需hmax(x) >0，所以p(e－1e)－4>0
解得p > 4ee2-1，所以p的取值范圍是(4ee2-1, + ∞) ………………12分
22.(1)連接QP，由已知C、P、F、Q四點共圓， ,
, .
則四點A、B、P、Q共圓。 ……………………5分
(2) ,直角三角形 中，
,又 ,
………………10分
23.解:（1）由 得： ， ， ………………2分
即 ，
所以曲線 的參數(shù)方程： （ 為參數(shù)） …………………4分
（2）將 代入圓的方程得 ，
化簡得 . 設(shè) 、 兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為 、 ,
則 , …………………6分
,
, , 或 . ……………………10分
24.解：（1） -2 當(dāng) 時， , 即 ，∴ ；
當(dāng) 時， ,即 ,∴
當(dāng) 時， , 即 , ∴1 6
綜上，{ | 6} ……………………5分
（2）
函數(shù) 的圖像如圖所示：
令 ， 表示直線的縱截距，當(dāng)直線過(1,3)點時， ；
∴當(dāng)- 2，即 -2時成立； …………………8分
當(dāng) ，即 時，令 ， 得 ,
∴ 2+ ,即 4時成立，
綜上 -2或 4。 …………………10分