泰和中學 吉安縣中吉水中學 永豐中學 2015屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(理科)試卷
命題人：吉水中學 周湖平 吉安縣中 曾廣述
一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）
1．已知集合 ，集合 ，則 （ ）
A．［-1，0］ B．［0，1］ C．［0，2］ D．［-1，1］
2．已知 ，若Z為實數(shù)，則正整數(shù)n的最小值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．設 （ ）
A． B． C． D．
4．下列命題正確的個數(shù)有（ ）
（1）存在 ，使得
（2）“ ”是“ ”的充要條件
（3）若 ，則
（4）若函數(shù) 在 有極值 ，
則
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
5．已知某種程序框圖如圖所示，則執(zhí)行該程序后輸出的結果是（ ）
A． B．
C． D．
6．在集合 的所有非空子集中，任取一個集合 ，恰好滿足條件“若 ，則 ”的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．已知下面正三棱柱的俯視圖如右圖所示，則這個三棱柱外接球的體積為（ ）
A．28 B． C． D．
8．向邊長為2米的正方形木框ABCD內(nèi)隨機投擲一粒綠豆，記綠豆落在P點，則
∠DPC∈(0， )的概率為（ ）
A． 1－ B．1－ C． D．
9．雙曲線C的左、右焦點分別為 恰 為拋物線 的焦點，設雙曲線C與該拋物線的一個交點為A，若 是以A 為底邊的等腰三角形，則雙曲線C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
10．若非零向量 滿足 ，則（ ）
A． B． C． D．
11．已知函數(shù) 有4個零點 ，且 ，則
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．32
12．已知數(shù)列 是等差數(shù)列，且 ， ， ，則 的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13．使 的展開式中系數(shù)大于200的項共有 項.
14．設橢圓 的左焦點為 ，右焦點為 ,以 為直徑的圓與橢圓在 軸上方部分交于點 ，則 = .
15．在 中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別是 ，若 ，且 ，則 _____________。
16. 氣象意義上從春季進入夏季的標志為“連續(xù)5天的平均溫度均不低于22 ”，現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）
（1）甲地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24，眾數(shù)為22
（2）乙地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27，總體均值為24
（3）丙地：5個數(shù)據(jù)中有一個數(shù)據(jù)是32，總體均值為26，總體方差為10.8，則肯定進入夏季的地區(qū)是 .
三、解答題（本大題共5小題，每小題12分，共60分，解答應寫出文明說明、證明過程或演算步驟。）
17.已知 ， ，其中 ，若函數(shù) ，且 的對稱中心到 對稱軸的最近距離不小于 。
（1）求 的取值范圍。
（2）在 中， 分別是角A、B、C的對邊，且 ，當 取值時， ，求 的面積。
18．某工廠生產(chǎn)A、B兩種型號的玩具，其質量按測試指標劃分為：指標大于或等于83為正品，小于83為次品，現(xiàn)隨機取這兩種玩具進行檢測，檢測結果統(tǒng)計如下：
測試指標 ［70，76) ［76，83) ［83，88) ［88，94) ［94，100)
玩具A（件）
8
12
40
32
8
玩具B（件） 7 18 40 29 6
（1）試分別估計玩具A為正品的概率和玩具B為正品的概率；
（2）生產(chǎn)1件玩具A，若是正品可盈利40元，若是次品則虧損5元；生產(chǎn)1件玩具B，若是正品可盈利50元，若是次品則虧損10元，在（1）的前提下，
（i）記 為生產(chǎn)1件玩具A和1件玩具B所得的總利潤，求隨機變量 的分布列和數(shù)學期望；
（ii）求生產(chǎn)5件玩具B所獲得的利潤不少于140元的概率.
19.如圖，在 中， ， ，點 在線段 上，且 平分 ，將 沿 折成二面角 （點B與S重合），且 .
（1）求證：平面 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值.
20．在平面直角坐標系xOy中，橢圓E的中心為原點， 分別為E的左、右焦點，過F1的直線l交E于A、B兩點，且 。
（1）求橢圓E的方程；
（2）過圓O： 上任意一點P作橢圓E的兩條切線，若切線斜率都存在，試探究這兩條切線斜率之間的關系。
21．已知函數(shù)
（1）當a=1時，求 在點 處的切線方程，判斷切線與 圖象的公共點個數(shù)，并說明理由；
（2）若 有兩個不同的零點 ，求證： .
四、選做題（請考生從22、23、24三題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一個題目計分，作答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑，共10分）
22．如圖，已知AD為圓O的直 徑，直線BA與圓O相切于點A，直線OB與弦AC垂直并相交于點G，與弧AC相交于M，連接DC，AB=10，AC=12
（1）求證：BA DC=GC AD ；
（2）求BM.
23．在直角坐標系 中，以原點O為極點，以 軸正半軸為極軸，與直角坐標系 取相同的長度單位，建立極坐標系，已知點P的極坐標為 ，直線 的極坐標方程為 cos =a，且點P在直線 上。
（1）求a的值及直線 的直角坐標方程；
（2）設曲線C的參數(shù)方程 ( 為參數(shù))，求曲線C上的點到直線 的值.
24．已知關于 的不等式
（1）當 ，求此不等式的解集；
（2）若對任意的 ，不等式 恒成立，求實數(shù) 的取值范圍.
泰和中學 吉安縣中吉水中學 永豐中學2015屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學試卷(理科)答題卡
一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分）
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13．___________________ 14．__________________
15．___________________ 16．__________________
三、解答題（共70分）
17.（12分）
18.（12分）
19.（12分）
20.（12分）
21.（12分）
選做題（22、23、24中選一題做）（10分）
22. □ 23. □ 24. □
泰和中學 吉安縣中吉水中學 永豐中學 2015屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學（理科）答案
1-6 B C D B D C
7-12 D A A D B B
13. 2 14. 15. 16. 甲和丙
17.
由余弦定理得：
………………12分
18、（1）估計玩具A為正品的概率為 ……1分
估計玩具B為正品的概率為 ……2分
（2）①隨機變量 的所有可能取值為90，45，30， 。
……6分
所以，隨機變量 的分布列為：
90 45 30
P
……8分
②設生產(chǎn)的5件玩具B中正品有 件，則次品有( )件，依題意得 解得 ，所以 或 ，設“生產(chǎn)5件玩具B所獲得利潤不小于140元”為事件C，則 。……12分
19. 解：（1）過點S作SH CP于H，連AH，則
，又
又 即
又
平面ACP， 平面SPC平面APC ……6分
（2）方法一：以H為原點建立如圖所示空間直角坐標系，則 .
, ,
,設平面SPC與平面SCA的法向量分別為 ,則顯然 ,計算易得 .設二面角 的大小為 ,則 .
……12分
方法二：過H作 交AC于點M,則 平面SCP,過H作 于點N,連接MN,則 為二面角 的平面角,又
. ……12分
20．解：（1）設橢圓E的方和是
知
…………………………………………………………5分
（2）兩切線互相垂直………………………………………………………6分
設點 且與橢圓E相切的切線 的方程為
聯(lián)立
設滿足題意的切線的斜率為k1、k2，則
兩條切線相互垂直?！?2分
21、解: （1）當 時， ，
，又 切線方程為 ……2分
切線 與 的圖象只有一個交點，證明如下：
當 時， ， 單調遞增 ；當 時， ， 單調遞減，所以 ，所以切線 與 的圖象只有一個交點?！?分
（2）不妨設 ，因為 ，所以 ， ，可得 ，要證明 ，即證明 ，也就是 。因為 ，所以即證明 ，即 ，令 ，則 ，于是 。
令 ，則 ，故函數(shù) 在 是增函數(shù)，所以 ，即 ，所以原不等式成立?！?2分
四、選考題：在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．
22、解：(1） ，
，則 ，
而 ，……5分
（2） ， ，則 ， ， ，即 ， ， ，延長BO交 O于點N，則
，解得 ……10分
23、解：（1） 直線 ：
， ，則
……5分
（2）
……10分
24、解：（1） 時，原不等式可化為 ，即
（i） 時， ，則
（ii） 時， ，則 ，
綜上原不等式的解集為 或 ……5分
（2）依題意， 在 上恒成立，
由圖象可得只需 或 ，即 或 ……10分
命題人：吉水中學 周湖平 吉安縣中 曾廣述
一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）
1．已知集合 ，集合 ，則 （ ）
A．［-1，0］ B．［0，1］ C．［0，2］ D．［-1，1］
2．已知 ，若Z為實數(shù)，則正整數(shù)n的最小值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．設 （ ）
A． B． C． D．
4．下列命題正確的個數(shù)有（ ）
（1）存在 ，使得
（2）“ ”是“ ”的充要條件
（3）若 ，則
（4）若函數(shù) 在 有極值 ，
則
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
5．已知某種程序框圖如圖所示，則執(zhí)行該程序后輸出的結果是（ ）
A． B．
C． D．
6．在集合 的所有非空子集中，任取一個集合 ，恰好滿足條件“若 ，則 ”的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．已知下面正三棱柱的俯視圖如右圖所示，則這個三棱柱外接球的體積為（ ）
A．28 B． C． D．
8．向邊長為2米的正方形木框ABCD內(nèi)隨機投擲一粒綠豆，記綠豆落在P點，則
∠DPC∈(0， )的概率為（ ）
A． 1－ B．1－ C． D．
9．雙曲線C的左、右焦點分別為 恰 為拋物線 的焦點，設雙曲線C與該拋物線的一個交點為A，若 是以A 為底邊的等腰三角形，則雙曲線C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
10．若非零向量 滿足 ，則（ ）
A． B． C． D．
11．已知函數(shù) 有4個零點 ，且 ，則
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．32
12．已知數(shù)列 是等差數(shù)列，且 ， ， ，則 的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13．使 的展開式中系數(shù)大于200的項共有 項.
14．設橢圓 的左焦點為 ，右焦點為 ,以 為直徑的圓與橢圓在 軸上方部分交于點 ，則 = .
15．在 中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別是 ，若 ，且 ，則 _____________。
16. 氣象意義上從春季進入夏季的標志為“連續(xù)5天的平均溫度均不低于22 ”，現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）
（1）甲地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24，眾數(shù)為22
（2）乙地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27，總體均值為24
（3）丙地：5個數(shù)據(jù)中有一個數(shù)據(jù)是32，總體均值為26，總體方差為10.8，則肯定進入夏季的地區(qū)是 .
三、解答題（本大題共5小題，每小題12分，共60分，解答應寫出文明說明、證明過程或演算步驟。）
17.已知 ， ，其中 ，若函數(shù) ，且 的對稱中心到 對稱軸的最近距離不小于 。
（1）求 的取值范圍。
（2）在 中， 分別是角A、B、C的對邊，且 ，當 取值時， ，求 的面積。
18．某工廠生產(chǎn)A、B兩種型號的玩具，其質量按測試指標劃分為：指標大于或等于83為正品，小于83為次品，現(xiàn)隨機取這兩種玩具進行檢測，檢測結果統(tǒng)計如下：
測試指標 ［70，76) ［76，83) ［83，88) ［88，94) ［94，100)
玩具A（件）
8
12
40
32
8
玩具B（件） 7 18 40 29 6
（1）試分別估計玩具A為正品的概率和玩具B為正品的概率；
（2）生產(chǎn)1件玩具A，若是正品可盈利40元，若是次品則虧損5元；生產(chǎn)1件玩具B，若是正品可盈利50元，若是次品則虧損10元，在（1）的前提下，
（i）記 為生產(chǎn)1件玩具A和1件玩具B所得的總利潤，求隨機變量 的分布列和數(shù)學期望；
（ii）求生產(chǎn)5件玩具B所獲得的利潤不少于140元的概率.
19.如圖，在 中， ， ，點 在線段 上，且 平分 ，將 沿 折成二面角 （點B與S重合），且 .
（1）求證：平面 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值.
20．在平面直角坐標系xOy中，橢圓E的中心為原點， 分別為E的左、右焦點，過F1的直線l交E于A、B兩點，且 。
（1）求橢圓E的方程；
（2）過圓O： 上任意一點P作橢圓E的兩條切線，若切線斜率都存在，試探究這兩條切線斜率之間的關系。
21．已知函數(shù)
（1）當a=1時，求 在點 處的切線方程，判斷切線與 圖象的公共點個數(shù)，并說明理由；
（2）若 有兩個不同的零點 ，求證： .
四、選做題（請考生從22、23、24三題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一個題目計分，作答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑，共10分）
22．如圖，已知AD為圓O的直 徑，直線BA與圓O相切于點A，直線OB與弦AC垂直并相交于點G，與弧AC相交于M，連接DC，AB=10，AC=12
（1）求證：BA DC=GC AD ；
（2）求BM.
23．在直角坐標系 中，以原點O為極點，以 軸正半軸為極軸，與直角坐標系 取相同的長度單位，建立極坐標系，已知點P的極坐標為 ，直線 的極坐標方程為 cos =a，且點P在直線 上。
（1）求a的值及直線 的直角坐標方程；
（2）設曲線C的參數(shù)方程 ( 為參數(shù))，求曲線C上的點到直線 的值.
24．已知關于 的不等式
（1）當 ，求此不等式的解集；
（2）若對任意的 ，不等式 恒成立，求實數(shù) 的取值范圍.
泰和中學 吉安縣中吉水中學 永豐中學2015屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學試卷(理科)答題卡
一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分）
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13．___________________ 14．__________________
15．___________________ 16．__________________
三、解答題（共70分）
17.（12分）
18.（12分）
19.（12分）
20.（12分）
21.（12分）
選做題（22、23、24中選一題做）（10分）
22. □ 23. □ 24. □
泰和中學 吉安縣中吉水中學 永豐中學 2015屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學（理科）答案
1-6 B C D B D C
7-12 D A A D B B
13. 2 14. 15. 16. 甲和丙
17.
由余弦定理得：
………………12分
18、（1）估計玩具A為正品的概率為 ……1分
估計玩具B為正品的概率為 ……2分
（2）①隨機變量 的所有可能取值為90，45，30， 。
……6分
所以，隨機變量 的分布列為：
90 45 30
P
……8分
②設生產(chǎn)的5件玩具B中正品有 件，則次品有( )件，依題意得 解得 ，所以 或 ，設“生產(chǎn)5件玩具B所獲得利潤不小于140元”為事件C，則 。……12分
19. 解：（1）過點S作SH CP于H，連AH，則
，又
又 即
又
平面ACP， 平面SPC平面APC ……6分
（2）方法一：以H為原點建立如圖所示空間直角坐標系，則 .
, ,
,設平面SPC與平面SCA的法向量分別為 ,則顯然 ,計算易得 .設二面角 的大小為 ,則 .
……12分
方法二：過H作 交AC于點M,則 平面SCP,過H作 于點N,連接MN,則 為二面角 的平面角,又
. ……12分
20．解：（1）設橢圓E的方和是
知
…………………………………………………………5分
（2）兩切線互相垂直………………………………………………………6分
設點 且與橢圓E相切的切線 的方程為
聯(lián)立
設滿足題意的切線的斜率為k1、k2，則
兩條切線相互垂直?！?2分
21、解: （1）當 時， ，
，又 切線方程為 ……2分
切線 與 的圖象只有一個交點，證明如下：
當 時， ， 單調遞增 ；當 時， ， 單調遞減，所以 ，所以切線 與 的圖象只有一個交點?！?分
（2）不妨設 ，因為 ，所以 ， ，可得 ，要證明 ，即證明 ，也就是 。因為 ，所以即證明 ，即 ，令 ，則 ，于是 。
令 ，則 ，故函數(shù) 在 是增函數(shù)，所以 ，即 ，所以原不等式成立?！?2分
四、選考題：在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．
22、解：(1） ，
，則 ，
而 ，……5分
（2） ， ，則 ， ， ，即 ， ， ，延長BO交 O于點N，則
，解得 ……10分
23、解：（1） 直線 ：
， ，則
……5分
（2）
……10分
24、解：（1） 時，原不等式可化為 ，即
（i） 時， ，則
（ii） 時， ，則 ，
綜上原不等式的解集為 或 ……5分
（2）依題意， 在 上恒成立，
由圖象可得只需 或 ，即 或 ……10分