2015年同等學(xué)力模擬試題：計(jì)算機(jī)綜合二

1. 比較下列集合的基數(shù)大小并給出證明：A×A，P(A)，2→A，A→2.
    解答與評分標(biāo)準(zhǔn)：
    |A×A| = |2→A| = |A|2(2 分)，
    |P(A)| = |A→2| = 2|A|(2 分)。
    分情況討論：
    (1) A 為空集：注意A→2={空關(guān)系}，
    |A×A| = |2→A| = 0 < |P(A)| = |A→2| = 1。(1 分)
    (2) A 為有限集且|A|=1：
    |A×A| = |2→A| = |A|2 = 1 < 2 = 2|A| = |P(A)| = |A→2| 。(1 分)
    (3) A 為有限集且|A|=2：
    |A×A| = |2→A| = |A|2 = 4 = 2|A| = |P(A)| = |A→2| 。(1 分)
    (4) A 為有限集且|A|=3：
    |A×A| = |2→A| = |A|2 =9 > 8 = 2|A| = |P(A)| = | A→2| 。(1 分)
    (5) A 為有限集且|A|>4：
    |A×A| = |2→A| = |A|2 < 2|A| = |P(A)| = |A→2| 。(1 分)
    (6) A 為無限集：
    |A×A| = |2→A| = |A|2 = |A| < 2|A|(康托定理)= |P(A)| = | A→2| (1 分)。
    注(1)(2)(5)(6)結(jié)果相同，可合并。