一、選擇題1.與直線2x-y+4=0平行的拋物線y=x2的切線方程是( ).
A.2x-y+3=0 B.2x-y-3=0
C.2x-y+1=0 D.2x-y-1=0
解析 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，x)，則切線斜率為2x0，
由2x0=2得x0=1，故切線方程為y-1=2(x-1)，
即2x-y-1=0.
答案 D
.若函數(shù)h(x)=2x-+在(1，+∞)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( ).
A.(-2，+∞) B.(2，+∞)
C.(-∞，-2) D.(-∞，2)
解析 由條件得h′(x)=2+=≥0在(1，+∞)上恒成立，即k≥-2x2在(1，+∞)上恒成立，所以k(-2，+∞).
答案 A
.函數(shù)f(x)=(4-x)ex的單調(diào)遞減區(qū)間是( ).
A.(-∞，4) B.(-∞，3)
C.(4，+∞) D.(3，+∞)
解析 f′(x)=ex+(4-x)·ex=ex(3-x)，令f′(x)<0，由于ex>0，3-x<0，解得x>3.
答案 D
.函數(shù)f(x)=ax3+bx在x=處有極值，則ab的值為( )
A.2 B.-2 C.3 D.-3
解析 f′(x)=3ax2+b，由f′=3a2+b=0，可得ab=-3.故選D.
D
5.對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x)，若滿足(x-1)f′(x)≥0，則必有( ).A.f(0)+f(2)<2f(1) B.f(0)+f(2)≤2f(1)
C.f(0)+f(2)≥2f(1) D.f(0)+f(2)>2f(1)
解析 不等式(x-1)f′(x)≥0等價(jià)于或
可知f(x)在(-∞，1)上遞減，(1，+∞)上遞增，或者f(x)為常數(shù)函數(shù)，因此f(0)+f(2)≥2f(1).
答案 C
.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-1,5]，部分對(duì)應(yīng)值如下表.f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示.
下列關(guān)于函數(shù)f(x)的命題：
函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù);
函數(shù)f(x)在[0,2]上是減函數(shù);
如果當(dāng)x[-1，t]時(shí)，f(x)的值是2，那么t的值為4;
當(dāng)10，
當(dāng)x(0,2)時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)x(2，+∞)時(shí)，f′(x)>0，顯然當(dāng)x=2時(shí)f(x)取極小值.
2
9.若曲線f(x)=ax5+ln x存在垂直于y軸的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
解析 f′(x)=5ax4+，x(0，+∞)，
由題意知5ax4+=0在(0，+∞)上有解.
即a=-在(0，+∞)上有解.
x∈(0，+∞)，-(-∞，0).a∈(-∞，0).
答案 (-∞，0)
.已知函數(shù)y=-x3+bx2-(2b+3)x+2-b在R上不是單調(diào)減函數(shù)，則b的取值范圍是________.
解析 y′=-x2+2bx-(2b+3)，要使原函數(shù)在R上單調(diào)遞減，應(yīng)有y′≤0恒成立，Δ=4b2-4(2b+3)=4(b2-2b-3)≤0，-1≤b≤3，故使該函數(shù)在R上不是單調(diào)減函數(shù)的b的取值范圍是b<-1或b>3.
答案 (-∞，-1)(3，+∞)
三、解答題
.設(shè)函數(shù)f(x)=ax3-3x2，(aR)，且x=2是y=f(x)的極值點(diǎn)，求函數(shù)g(x)=ex·f(x)的單調(diào)區(qū)間.
解 f′(x)=3ax2-6x=3x(ax-2).
因?yàn)閤=2是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn).
所以f′(2)=0，即6(2a-2)=0，因此a=1，
經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)a=1時(shí)，x=2是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，
所以g(x)=ex(x3-3x2)，
g′(x)=ex(x3-3x2+3x2-6x)
=ex(x3-6x)=x(x+)(x-)ex.
因?yàn)閑x>0，所以y=g(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-，0)和(，+∞);單調(diào)減區(qū)間是(-∞，-)和(0，).
.已知函數(shù)f(x)=x3-ax-1
(1)若f(x)在(-∞，+∞)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減?若存在，求出a的取值范圍;若不存在試說明理由.
(1)f′(x)=3x2-a
由Δ≤0，即12a≤0，解得a≤0，
因此當(dāng)f(x)在(-∞，+∞)上單調(diào)遞增時(shí)，a的取值范圍是(-∞，0].
(2)若f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減，
則對(duì)于任意x(-1,1)不等式f′(x)=3x2-a≤0恒成立
即a≥3x2，又x(-1,1)，則3x2<3因此a≥3
函數(shù)f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[3，+∞).
.已知函數(shù)f(x)=aln x-ax-3(aR).
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)(2，f(2))處的切線的傾斜角為45°，對(duì)于任意的t[1,2]，函數(shù)g(x)=x3+x2在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍.
(1)根據(jù)題意知，f′(x)=(x>0)，
當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1]，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，+∞);
當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1];當(dāng)a=0 時(shí)，f(x)不是單調(diào)函數(shù).
(2)f′(2)=-=1，a=-2，
f(x)=-2ln x+2x-3.
g(x)=x3+x2-2x，
g′(x)=3x2+(m+4)x-2.
g(x)在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，且g′(0)=-2，
由題意知：對(duì)于任意的t[1,2]，g′(t)<0恒成立，
∴-
.設(shè)函數(shù)f(x)=ln x+在內(nèi)有極值.
(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若x1(0,1)，x2(1，+∞).求證：f(x2)-f(x1)>e+2-.注：e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)解 易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,1)(1，+∞)，
f′(x)=-==.
由函數(shù)f(x)在內(nèi)有極值，可知方程f′(x)=0在內(nèi)有解，令g(x)=x2-(a+2)x+1=(x-α)(x-β).
不妨設(shè)0<α<，則β>e，又g(0)=1>0，
所以g=-+1<0，解得a>e+-2.
(2)證明 由(1)知f′(x)>00β，
f′(x)<0αe)，
則h′(β)=+1+=2>0，
所以函數(shù)h(β)在(e，+∞)上單調(diào)遞增，
所以f(x2)-f(x1)≥h(β)>h(e)=2+e-.
A.2x-y+3=0 B.2x-y-3=0
C.2x-y+1=0 D.2x-y-1=0
解析 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，x)，則切線斜率為2x0，
由2x0=2得x0=1，故切線方程為y-1=2(x-1)，
即2x-y-1=0.
答案 D
.若函數(shù)h(x)=2x-+在(1，+∞)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( ).
A.(-2，+∞) B.(2，+∞)
C.(-∞，-2) D.(-∞，2)
解析 由條件得h′(x)=2+=≥0在(1，+∞)上恒成立，即k≥-2x2在(1，+∞)上恒成立，所以k(-2，+∞).
答案 A
.函數(shù)f(x)=(4-x)ex的單調(diào)遞減區(qū)間是( ).
A.(-∞，4) B.(-∞，3)
C.(4，+∞) D.(3，+∞)
解析 f′(x)=ex+(4-x)·ex=ex(3-x)，令f′(x)<0，由于ex>0，3-x<0，解得x>3.
答案 D
.函數(shù)f(x)=ax3+bx在x=處有極值，則ab的值為( )
A.2 B.-2 C.3 D.-3
解析 f′(x)=3ax2+b，由f′=3a2+b=0，可得ab=-3.故選D.
D
5.對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x)，若滿足(x-1)f′(x)≥0，則必有( ).A.f(0)+f(2)<2f(1) B.f(0)+f(2)≤2f(1)
C.f(0)+f(2)≥2f(1) D.f(0)+f(2)>2f(1)
解析 不等式(x-1)f′(x)≥0等價(jià)于或
可知f(x)在(-∞，1)上遞減，(1，+∞)上遞增，或者f(x)為常數(shù)函數(shù)，因此f(0)+f(2)≥2f(1).
答案 C
.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-1,5]，部分對(duì)應(yīng)值如下表.f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示.
下列關(guān)于函數(shù)f(x)的命題：
函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù);
函數(shù)f(x)在[0,2]上是減函數(shù);
如果當(dāng)x[-1，t]時(shí)，f(x)的值是2，那么t的值為4;
當(dāng)10，
當(dāng)x(0,2)時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)x(2，+∞)時(shí)，f′(x)>0，顯然當(dāng)x=2時(shí)f(x)取極小值.
2
9.若曲線f(x)=ax5+ln x存在垂直于y軸的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
解析 f′(x)=5ax4+，x(0，+∞)，
由題意知5ax4+=0在(0，+∞)上有解.
即a=-在(0，+∞)上有解.
x∈(0，+∞)，-(-∞，0).a∈(-∞，0).
答案 (-∞，0)
.已知函數(shù)y=-x3+bx2-(2b+3)x+2-b在R上不是單調(diào)減函數(shù)，則b的取值范圍是________.
解析 y′=-x2+2bx-(2b+3)，要使原函數(shù)在R上單調(diào)遞減，應(yīng)有y′≤0恒成立，Δ=4b2-4(2b+3)=4(b2-2b-3)≤0，-1≤b≤3，故使該函數(shù)在R上不是單調(diào)減函數(shù)的b的取值范圍是b<-1或b>3.
答案 (-∞，-1)(3，+∞)
三、解答題
.設(shè)函數(shù)f(x)=ax3-3x2，(aR)，且x=2是y=f(x)的極值點(diǎn)，求函數(shù)g(x)=ex·f(x)的單調(diào)區(qū)間.
解 f′(x)=3ax2-6x=3x(ax-2).
因?yàn)閤=2是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn).
所以f′(2)=0，即6(2a-2)=0，因此a=1，
經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)a=1時(shí)，x=2是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，
所以g(x)=ex(x3-3x2)，
g′(x)=ex(x3-3x2+3x2-6x)
=ex(x3-6x)=x(x+)(x-)ex.
因?yàn)閑x>0，所以y=g(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-，0)和(，+∞);單調(diào)減區(qū)間是(-∞，-)和(0，).
.已知函數(shù)f(x)=x3-ax-1
(1)若f(x)在(-∞，+∞)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減?若存在，求出a的取值范圍;若不存在試說明理由.
(1)f′(x)=3x2-a
由Δ≤0，即12a≤0，解得a≤0，
因此當(dāng)f(x)在(-∞，+∞)上單調(diào)遞增時(shí)，a的取值范圍是(-∞，0].
(2)若f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減，
則對(duì)于任意x(-1,1)不等式f′(x)=3x2-a≤0恒成立
即a≥3x2，又x(-1,1)，則3x2<3因此a≥3
函數(shù)f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[3，+∞).
.已知函數(shù)f(x)=aln x-ax-3(aR).
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)(2，f(2))處的切線的傾斜角為45°，對(duì)于任意的t[1,2]，函數(shù)g(x)=x3+x2在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍.
(1)根據(jù)題意知，f′(x)=(x>0)，
當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1]，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，+∞);
當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1];當(dāng)a=0 時(shí)，f(x)不是單調(diào)函數(shù).
(2)f′(2)=-=1，a=-2，
f(x)=-2ln x+2x-3.
g(x)=x3+x2-2x，
g′(x)=3x2+(m+4)x-2.
g(x)在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，且g′(0)=-2，
由題意知：對(duì)于任意的t[1,2]，g′(t)<0恒成立，
∴-
.設(shè)函數(shù)f(x)=ln x+在內(nèi)有極值.
(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若x1(0,1)，x2(1，+∞).求證：f(x2)-f(x1)>e+2-.注：e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)解 易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,1)(1，+∞)，
f′(x)=-==.
由函數(shù)f(x)在內(nèi)有極值，可知方程f′(x)=0在內(nèi)有解，令g(x)=x2-(a+2)x+1=(x-α)(x-β).
不妨設(shè)0<α<，則β>e，又g(0)=1>0，
所以g=-+1<0，解得a>e+-2.
(2)證明 由(1)知f′(x)>00β，
f′(x)<0αe)，
則h′(β)=+1+=2>0，
所以函數(shù)h(β)在(e，+∞)上單調(diào)遞增，
所以f(x2)-f(x1)≥h(β)>h(e)=2+e-.