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一、內(nèi)容提要
證明線段、角的相等，在直線形中，最常用的方法是找全等三角形或等腰三角形，
若沒(méi)有現(xiàn)成的，則要引輔助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形。
構(gòu)造全等三角形，要充分利用已知條件中的對(duì)應(yīng)相等關(guān)系，添引輔助線要有利于
增加對(duì)應(yīng)相等的元素，要注意總結(jié)輔助線的規(guī)律，觀察兩個(gè)三角形全等時(shí)的一般
位置特點(diǎn)（如翻轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)、平移等）
一. 證明兩條線段相等常用的定理
1. 在同一個(gè)三角形中，證明等角對(duì)等邊。
2. 在兩個(gè)三角形中，證明全等。
3. 在平行線圖形中①應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)
②用平行線等分線段定理
4.運(yùn)用比例式證明相等：若 則x=y；若 則x=y
5.應(yīng)用等量代換、等式性質(zhì)
二.證明兩個(gè)角相等常用的定理
1. 在同一個(gè)三角形中，證明等邊對(duì)等角。
2. 在兩個(gè)三角形中，證明全等或相似。
3.在平行線圖形中
① 用平行四邊形的對(duì)角相等
② 行線的同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等
③ 邊分別互相平行（或垂直）的兩個(gè)銳角（或兩個(gè)鈍角）相等
④ 角（或等角）的余角（或補(bǔ)角）相等
⑤ 用等量代換、等式性質(zhì)
二、例題
例1.證明等腰梯形的判定定理“同一底上兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形”
已知：梯形ABCD中，AB‖CD，∠A＝∠B
求證：AD＝BC
下面提供三種基本證法：
1. 把BC、AD集中到同一個(gè)三角形，證它等腰三角形。
輔助線是：過(guò)點(diǎn)D作DE‖BC，我們稱它為“平移”
∵BCDE是平行四邊形，可證△DAE為等腰三角形
2. 以BC、AD為對(duì)應(yīng)邊，構(gòu)造兩個(gè)全等三角形，為增加對(duì)應(yīng)相等的元素，輔助
線為：作兩條高CM和DN，根據(jù)夾在平行線間的平行線段相等，可用角角邊證
全等。
3. 由∠A＝∠B，可造等腰三角形，運(yùn)用比例式性質(zhì)證明，輔助線是：分別延長(zhǎng)
AD和BC交于P。 P
D C D C D C
A E B A N M B A B 例2.已知：在梯形ABCD中，AB‖CD，AC和BD相交于O,AD、BC的延長(zhǎng)線
相交于P
求證：PO平分AB
證明：設(shè)PO延長(zhǎng)線交AB于E，交CD于F
∵AB‖CD
∴ ＝ ＝ ① ＝ ＝ ②
①×②得
∴AE2＝BE2 ∵AE＞0，BE＞0
∴AE＝BE，即PO平分AB
例3.已知：△ABC中，AC＝3AB，AF是∠A的平分線， 過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AF，D是垂足 求證：AD被BC平分 A
證明：以AD為軸作△ADC的對(duì)稱三角形ADE B 那么DE＝DC，AE＝AC＝3AB，BE＝2AB G F
取BE的中點(diǎn)G，連結(jié)DG E C
則DG‖BC，∵AB＝BG D
∴AF＝FD，即AD被BC平分
例4.已知：在△ABC中，分別以AB、AC為斜邊作等腰直角三角形ABM，和CAN，P是邊BC的中點(diǎn)
求證：PM＝PN （1991年泉州市初二數(shù)學(xué)雙基賽題）
證明：取AB中點(diǎn)Q，AC中點(diǎn)R
連結(jié)PQ，PR，MQ，NR
PQ‖AC，PQ＝ AC＝NR
PR‖AB，PR＝MQ
∠PQM＝∠PRN（兩邊分別垂直）
∴△PQM≌△NRP， PM＝PN
例5.已知：四邊形ABCD中AD＝BC，E，F(xiàn)分別是AB、CD的中點(diǎn)， 延長(zhǎng)AD，BC和EF的延長(zhǎng)線分別交于G，H
求證：∠AGE＝∠BHE
證明：連結(jié)AC，取AC的中點(diǎn)P，連結(jié)PE，PF
∵PE是△ABC的中位線，
∴PE‖BC，PE＝ BC，
同理PF‖AD，PF＝ AD
∴∠PEF＝∠BHE，∠PFE＝∠AGE
∵AD＝BC，∴PE＝PF，∠PEF＝∠PFE
∴ ∠AGE＝∠BHE
例6.已知：△ABC中，∠A＝Rt∠，點(diǎn)O是正方形BCDE對(duì)角線的交點(diǎn) 求證：AO是∠A的平分線
證明：過(guò)點(diǎn)O作OF⊥OA交AC的延長(zhǎng)線于F
∵∠ABC，∠FCO都是∠ACO的補(bǔ)角
∴ ∠ABC＝∠FCO
∵∠AOB，∠FOC都是∠AOC的余角 ∴ ∠AOB＝∠FOC
又∵OB＝OC
∴△ABO≌△FCO
∴AO＝FO， ∠F＝∠OAF＝45
∴ AO是∠A的平分線
（△FCO是△ABC繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90 后的位置）
又證： ∵∠BAC＋∠BOC＝180
∴A，B，O，C四點(diǎn)共圓，
過(guò)ABOC四點(diǎn)作輔助圓，在這個(gè)圓中
∵弦OB＝弦OC
∴弧OB＝弧OC
∴圓周角BAO＝∠OAC
即 AO是∠A的平分線
三、練習(xí)
1. 在等邊△ABC的邊AB，BC，CA上分別截取AD＝BE＝CF，連結(jié)AE，BF，CD它們兩兩相交于P，Q，R，則△PQR也是等邊三角形
2. 已知：如圖AB＝AC，AD＝AE
求證：AF平分∠BAC
3. 如圖P，Q，R是等邊三角形ABC三邊的中點(diǎn)，M是BC上的任意點(diǎn)，以PM為一邊作等邊三角形PMN，則RN＝QM
4. 如圖△ABD，△BCE都是等邊三角形，ADEF是平行四邊形，則△CAF也是等邊三角形
② ③ ④
5. 四邊形ABCD中，AC＝BD，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，求證：EF和AC，BD相交所成的兩個(gè)銳角相等
6. 銳角三角形ABC中，以AB，AC為邊作兩個(gè)正方形ABDE，ACFG，高AH的延長(zhǎng)線交EG于M，求證：①M(fèi)E＝MG，②AM＝ BC
7. △ABC的∠C＝Rt∠，∠A＝30 ，以AB，AC為邊向形外作等邊三角形ABD，ACE，求證 DE被AB平分
8. 等腰直角三角形ABC中，∠A＝Rt∠，BE是中線，AD⊥BE交BC于D，交BE于F，求證：∠AEB＝∠DEC
9. 等腰直角三角形ABC中，∠A＝Rt∠，AD‖BC，且BD＝BC，設(shè)BD和AC相交于E，求證CD＝CE
10. △ABC中，AD是高，若AB＋DC＝AC＋BD，則AB＝AC
11. D，E分別在等邊三角形ABC的邊BA，BC的延長(zhǎng)線上，AD＝BE求證DC＝DE
12. 正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別在BC，CD上且∠EAF＝45 ，AH是 △ AEF的高，求證 AH＝AB
13. 梯形ABCD中，AB‖CD，MN‖AB交AD于M，交BC于N交AC于E，交BD于F則ME＝NF
14. 正方形ABCD中，E，F(xiàn)是AB延長(zhǎng)線上的兩個(gè)點(diǎn)，BE＝BC，BF＝BD，DF交BC于G，交CE于H求證：CH＝CB，HG＝HF
練習(xí)題參考答案
1. 先△ABE≌△BCF≌△CAD，2.三次全等，3.證△PQM≌△PRN
4.△ABC≌△DBE，∠BAC＋ ∠DAF＝∠BDE＋∠DEF＝60 ＋180
1. 取CD的中點(diǎn)M，連結(jié)ME，MF 6. △EAM≌△ABH
5. 作△ABD的高DF，證△BDF≌△BAC
6. 作斜邊上高，找全等三角形
7. 求出∠DBC＝30 ，有兩種圖形
8. 延長(zhǎng)BC到N，使CN＝AB，延長(zhǎng)CB到M，使BM＝AC， 證△AMD≌△AND，△CAN≌△MBA
9. 延長(zhǎng)BE到F，使EF＝BC
10. 延長(zhǎng)CB到G使BG＝DF
13. 證明
14.∠CDF＝∠F＝∠BDF＝∠DHC＝22.5