一、選擇題
1.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0，+∞)內(nèi)單調(diào)遞減的函數(shù)是( ).
A.y=x2 B.y=|x|+1
C.y=-lg|x| D.y=2|x|
解析 對于C中函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，y=-lg x，故為(0，+∞)上的減函數(shù)，且y=-lg |x|為偶函數(shù).
答案 C
.已知函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù)，則滿足f(|x|)
A.(-1,1) B.(0,1)
C.(-1,0)(0,1) D.(-∞，-1)(1，+∞)
解析 f(x)在R上為減函數(shù)且f(|x|)
|x|>1，解得x>1或x<-1.
答案 D
.若函數(shù)y=ax與y=-在(0，+∞)上都是減函數(shù)，則y=ax2+bx在(0，+∞)上是( )
A.增函數(shù) B.減函數(shù)
C.先增后減 D.先減后增
解析y=ax與y=-在(0，+∞)上都是減函數(shù)，
a<0，b<0，y=ax2+bx的對稱軸方程x=-<0，
y=ax2+bx在(0，+∞)上為減函數(shù).
答案B
4.設(shè)函數(shù)f(x)=g(x)=x2f(x-1)，則函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間是( ).
A.(-∞，0] B.[0,1)
C.[1，+∞) D.[-1,0]
解析 g(x)=如圖所示，其遞減區(qū)間是[0,1).故選B.
答案 B.函數(shù)y=-x2+2x-3(x<0)的單調(diào)增區(qū)間是( )
A.(0，+∞) B.(-∞，1]
C.(-∞，0) D.(-∞，-1]
解析 二次函數(shù)的對稱軸為x=1，又因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)，，對稱軸在定義域的右側(cè)，所以其單調(diào)增區(qū)間為(-∞，0).
答案 C
.設(shè)函數(shù)y=f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)有定義，對于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)fK(x)=取函數(shù)f(x)=2-|x|，當(dāng)K=時(shí)，函數(shù)fK(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為( ).
A.(-∞，0) B.(0，+∞)
C.(-∞，-1) D.(1，+∞)
解析 f(x)=
f(x)=
f(x)的圖象如右圖所示，因此f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，-1).
答案 C二、填空題
.設(shè)函數(shù)y=x2-2x，x[-2，a]，若函數(shù)的最小值為g(a)，則g(a)=________.
解析 函數(shù)y=x2-2x=(x-1)2-1，對稱軸為直線x=1.
當(dāng)-2≤a<1時(shí)，函數(shù)在[-2，a]上單調(diào)遞減，則當(dāng)x=a時(shí)，ymin=a2-2a;當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)在[-2,1]上單調(diào)遞減，在[1，a]上單調(diào)遞增，則當(dāng)x=1時(shí)，ymin=-1.
綜上，g(a)=
答案
.函數(shù)y=-(x-3)|x|的遞增區(qū)間是_______.
解析y=-(x-3)|x|
=
作出該函數(shù)的圖像，觀察圖像知遞增區(qū)間為.
答案
.已知函數(shù)f(x)=2ax2+4(a-3)x+5在區(qū)間(-∞，3)上是減函數(shù)，則a的取值范圍是________.
解析 當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=-12x+5在(-∞，3)上為減函數(shù);當(dāng)a>0時(shí)，要使f(x)=2ax2+4(a-3)x+5在區(qū)間(-∞，3)上是減函數(shù)，則對稱軸x=必在x=3的右邊，即≥3，故0
答案
10.已知函數(shù)f(x)=(a是常數(shù)且a>0).對于下列命題：
函數(shù)f(x)的最小值是-1;
函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)函數(shù);
若f(x)>0在上恒成立，則a的取值范圍是a>1;
對任意的x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有
f<.
其中正確命題的序號是____________.
解析 根據(jù)題意可畫出草圖，由圖象可知，顯然正確;函數(shù)f(x)在R上不是單調(diào)函數(shù)，故錯(cuò)誤;若f(x)>0在上恒成立，則2a×-1>0，a>1，故正確;由圖象可知在(-∞，0)上對任意的x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有f<成立，故正確.
答案 三、解答題
.求函數(shù)y=a1-x2(a>0且a≠1)的單調(diào)區(qū)間.
當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)y=a1-x2在區(qū)間[0，+∞)上是減函數(shù)，在區(qū)間(-∞，0]上是增函數(shù);
當(dāng)0x1≥2，則f(x1)-f(x2)=x+-x-=[x1x2(x1+x2)-a]，
由x2>x1≥2，得x1x2(x1+x2)>16，x1-x2<0，
x1x2>0.
要使f(x)在區(qū)間[2，+∞)上是增函數(shù)，
只需f(x1)-f(x2)<0，
即x1x2(x1+x2)-a>0恒成立，則a≤16.
.已知函數(shù)f(x)=a·2x+b·3x，其中常數(shù)a，b滿足ab≠0.
(1)若ab>0，判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若ab<0，求f(x+1)>f(x)時(shí)的x的取值范圍.
解 (1)當(dāng)a>0，b>0時(shí)，因?yàn)閍·2x，b·3x都單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)a<0，b<0時(shí)，因?yàn)閍·2x，b·3x都單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.
(2)f(x+1)-f(x)=a·2x+2b·3x>0.
(i)當(dāng)a<0，b>0時(shí)，x>-，
解得x>log;
(ii)當(dāng)a>0，b<0時(shí)，x<-，
解得x0時(shí)，f(x)>1.
(1)求證：f(x)是R上的增函數(shù);
(2)若f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)<3.(1)證明 設(shè)x1，x2R，且x10，f(x2-x1)>1.
f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)
=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1>0.
f(x2)>f(x1).即f(x)是R上的增函數(shù).
(2) f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5，
f(2)=3，
原不等式可化為f(3m2-m-2)
1.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0，+∞)內(nèi)單調(diào)遞減的函數(shù)是( ).
A.y=x2 B.y=|x|+1
C.y=-lg|x| D.y=2|x|
解析 對于C中函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，y=-lg x，故為(0，+∞)上的減函數(shù)，且y=-lg |x|為偶函數(shù).
答案 C
.已知函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù)，則滿足f(|x|)
A.(-1,1) B.(0,1)
C.(-1,0)(0,1) D.(-∞，-1)(1，+∞)
解析 f(x)在R上為減函數(shù)且f(|x|)
|x|>1，解得x>1或x<-1.
答案 D
.若函數(shù)y=ax與y=-在(0，+∞)上都是減函數(shù)，則y=ax2+bx在(0，+∞)上是( )
A.增函數(shù) B.減函數(shù)
C.先增后減 D.先減后增
解析y=ax與y=-在(0，+∞)上都是減函數(shù)，
a<0，b<0，y=ax2+bx的對稱軸方程x=-<0，
y=ax2+bx在(0，+∞)上為減函數(shù).
答案B
4.設(shè)函數(shù)f(x)=g(x)=x2f(x-1)，則函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間是( ).
A.(-∞，0] B.[0,1)
C.[1，+∞) D.[-1,0]
解析 g(x)=如圖所示，其遞減區(qū)間是[0,1).故選B.
答案 B.函數(shù)y=-x2+2x-3(x<0)的單調(diào)增區(qū)間是( )
A.(0，+∞) B.(-∞，1]
C.(-∞，0) D.(-∞，-1]
解析 二次函數(shù)的對稱軸為x=1，又因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)，，對稱軸在定義域的右側(cè)，所以其單調(diào)增區(qū)間為(-∞，0).
答案 C
.設(shè)函數(shù)y=f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)有定義，對于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)fK(x)=取函數(shù)f(x)=2-|x|，當(dāng)K=時(shí)，函數(shù)fK(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為( ).
A.(-∞，0) B.(0，+∞)
C.(-∞，-1) D.(1，+∞)
解析 f(x)=
f(x)=
f(x)的圖象如右圖所示，因此f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，-1).
答案 C二、填空題
.設(shè)函數(shù)y=x2-2x，x[-2，a]，若函數(shù)的最小值為g(a)，則g(a)=________.
解析 函數(shù)y=x2-2x=(x-1)2-1，對稱軸為直線x=1.
當(dāng)-2≤a<1時(shí)，函數(shù)在[-2，a]上單調(diào)遞減，則當(dāng)x=a時(shí)，ymin=a2-2a;當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)在[-2,1]上單調(diào)遞減，在[1，a]上單調(diào)遞增，則當(dāng)x=1時(shí)，ymin=-1.
綜上，g(a)=
答案
.函數(shù)y=-(x-3)|x|的遞增區(qū)間是_______.
解析y=-(x-3)|x|
=
作出該函數(shù)的圖像，觀察圖像知遞增區(qū)間為.
答案
.已知函數(shù)f(x)=2ax2+4(a-3)x+5在區(qū)間(-∞，3)上是減函數(shù)，則a的取值范圍是________.
解析 當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=-12x+5在(-∞，3)上為減函數(shù);當(dāng)a>0時(shí)，要使f(x)=2ax2+4(a-3)x+5在區(qū)間(-∞，3)上是減函數(shù)，則對稱軸x=必在x=3的右邊，即≥3，故0
答案
10.已知函數(shù)f(x)=(a是常數(shù)且a>0).對于下列命題：
函數(shù)f(x)的最小值是-1;
函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)函數(shù);
若f(x)>0在上恒成立，則a的取值范圍是a>1;
對任意的x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有
f<.
其中正確命題的序號是____________.
解析 根據(jù)題意可畫出草圖，由圖象可知，顯然正確;函數(shù)f(x)在R上不是單調(diào)函數(shù)，故錯(cuò)誤;若f(x)>0在上恒成立，則2a×-1>0，a>1，故正確;由圖象可知在(-∞，0)上對任意的x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有f<成立，故正確.
答案 三、解答題
.求函數(shù)y=a1-x2(a>0且a≠1)的單調(diào)區(qū)間.
當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)y=a1-x2在區(qū)間[0，+∞)上是減函數(shù)，在區(qū)間(-∞，0]上是增函數(shù);
當(dāng)0x1≥2，則f(x1)-f(x2)=x+-x-=[x1x2(x1+x2)-a]，
由x2>x1≥2，得x1x2(x1+x2)>16，x1-x2<0，
x1x2>0.
要使f(x)在區(qū)間[2，+∞)上是增函數(shù)，
只需f(x1)-f(x2)<0，
即x1x2(x1+x2)-a>0恒成立，則a≤16.
.已知函數(shù)f(x)=a·2x+b·3x，其中常數(shù)a，b滿足ab≠0.
(1)若ab>0，判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若ab<0，求f(x+1)>f(x)時(shí)的x的取值范圍.
解 (1)當(dāng)a>0，b>0時(shí)，因?yàn)閍·2x，b·3x都單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)a<0，b<0時(shí)，因?yàn)閍·2x，b·3x都單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.
(2)f(x+1)-f(x)=a·2x+2b·3x>0.
(i)當(dāng)a<0，b>0時(shí)，x>-，
解得x>log;
(ii)當(dāng)a>0，b<0時(shí)，x<-，
解得x0時(shí)，f(x)>1.
(1)求證：f(x)是R上的增函數(shù);
(2)若f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)<3.(1)證明 設(shè)x1，x2R，且x10，f(x2-x1)>1.
f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)
=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1>0.
f(x2)>f(x1).即f(x)是R上的增函數(shù).
(2) f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5，
f(2)=3，
原不等式可化為f(3m2-m-2)