一元函數(shù)積分學(xué)包括三部分內(nèi)容：不定積分、定積分、定積分的應(yīng)用。這幾部分內(nèi)容的考點(diǎn)分布規(guī)律如下表所示。
近15年考研數(shù)學(xué)（二）中的一元函數(shù)積分學(xué)的真題考點(diǎn)分析：
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內(nèi)容 年份 |
不定積分 |
定積分 |
定積分的應(yīng)用 |
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2000 |
三(分部,指數(shù)變換) |
一(3)(反常計(jì)算),四(面積,分段函數(shù)積分),六(計(jì)算,周期函數(shù),夾逼準(zhǔn)則) |
十(旋轉(zhuǎn)體積,最值) |
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2001 |
三(三角變換) |
一(3)(計(jì)算,對(duì)稱性),六(變限求導(dǎo),反函數(shù))，七(計(jì)算,二階微分方程) |
八(面積,最值,齊次微分方程) |
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2002 |
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二(2)(變限函數(shù),奇偶性),四(分段函數(shù)積分,變限積分) |
一(2)(面積),六(旋轉(zhuǎn)體積,最值,一階微分方程),七(水的壓力) |
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2003 |
五(分部,三角變換) |
二(2)(計(jì)算,數(shù)列極限),二(5)(大小比較) |
一(4)(面積),八(弧長,可分離變量微分方程),九（容器體積,一階微分方程 |
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2004 |
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3(反常計(jì)算),17(變限求導(dǎo),最值,周期性) |
18(旋轉(zhuǎn)體積,側(cè)面積) |
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2005 |
8(原函數(shù),奇偶性,周期性) |
3(反常計(jì)算),17(計(jì)算,分部) |
16(面積,變限求導(dǎo)) |
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2006 |
16(分部,指數(shù)和三角變換) |
3(反常計(jì)算),8(變限函數(shù),間斷,奇偶) |
21(Ⅲ)(面積) |
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2007 |
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17(計(jì)算,變限求導(dǎo),反函數(shù)) |
3(幾何意義),18(旋轉(zhuǎn)體積,最值) |
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2008 |
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17(計(jì)算,換元和分部) |
2(幾何意義,分部積分) |
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2009 |
16(根式變換) |
6(變限函數(shù)圖形),10(反常計(jì)算),11(積分?jǐn)?shù)列極限) |
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2010 |
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4(反常斂散),16(大小比較,積分?jǐn)?shù)列極限) |
12(弧長),18(體積) |
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2011 |
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6(大小比較),12(反常計(jì)算) |
11(弧長),20(體積,抽水做功) |
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2012 |
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4(大小比較) |
17(面積,旋轉(zhuǎn)體積,切線) |
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2013 |
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4(反常斂散) |
11(面積),16(旋轉(zhuǎn)體積),21(Ⅰ)(弧長) |
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2014 |
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9(反常計(jì)算),19(積分不等式,變限函數(shù)) |
13(質(zhì)心,細(xì)棒),20(面積,函數(shù)列),21(旋轉(zhuǎn)體積,偏導(dǎo)函數(shù)) |
上面表格中數(shù)字表示相應(yīng)年份的試卷中考題的題號(hào)，數(shù)字后面括號(hào)里的文字說明表示該考題涉及的主要考點(diǎn)或主要解題方法。
注：1）“計(jì)算”指定積分的計(jì)算，2）“反常計(jì)算”指反常積分的計(jì)算，3）“反常斂散”指反常積分的收斂和發(fā)散的判斷，4）“分部”指分部積分法，“倒變換”指1/x=t的變換，5）“大小比較”指定積分大小的比較，6）“旋轉(zhuǎn)體積”指旋轉(zhuǎn)體的體積問題；7)“變限求導(dǎo)”指對(duì)變限積分函數(shù)求導(dǎo)，“變限函數(shù)”指變積分限的函數(shù)；8）“幾何意義”指定積分的幾何意義；9）“最值”指函數(shù)的最小值和值。
從近15年考題特點(diǎn)來看，關(guān)于不定積分的內(nèi)容，直接考的次數(shù)較少，最近5年都沒有直接考，在2007年之前考的頻率比2007年之后的頻率高，之所以不定積分考題出現(xiàn)的頻率較低，主要有兩個(gè)原因：一個(gè)原因是不定積分與定積分在計(jì)算方法上基本相同，主要采用3種方法：直接用基本積分公式、換元法和分部積分法，所以考定積分在本質(zhì)上也是在考不定積分，但定積分的應(yīng)用比不定積分更廣泛，因而歷年考定積分的頻率較高，而考不定積分的頻率很低；另一個(gè)原因是不定積分常常是在與其它知識(shí)點(diǎn)的考查過程中結(jié)合考查，比如微分方程、定積分等。求不定積分的主要方法是分部積分法和換元法，尤其是換元法；常用的換元法包括：三角變換、根式變換和指數(shù)變換等。
在定積分部分，主要考題題型有：定積分的計(jì)算、反常積分的計(jì)算、反常積分收斂性的判斷、定積分大小的比較，除了這幾種主要題型外，有時(shí)還會(huì)考：積分?jǐn)?shù)列的極限、定積分的證明問題。定積分有時(shí)會(huì)結(jié)合夾逼準(zhǔn)則、微分方程進(jìn)行出題考查。定積分計(jì)算中的基本方法是分部積分法和換元法，換元法的具體換元形式需根據(jù)被積函數(shù)和積分區(qū)域的具體特點(diǎn)來選取，常用的換元形式有：三角變換、根式代換、倒代換等。在定積分問題中，還有一個(gè)非常重要的方法，就是變限積分的函數(shù)的求導(dǎo)，包括變上限和變下限積分的函數(shù)，這個(gè)方法不僅在積分的計(jì)算和證明中經(jīng)常用到，而且在計(jì)算函數(shù)極限、微分中值問題的證明、微分方程的求解等問題中經(jīng)常用到，因此，各位考生一定要熟練掌握。
關(guān)于定積分的應(yīng)用，包括兩個(gè)方面：幾何應(yīng)用和物理應(yīng)用。幾何應(yīng)用題型包括：平面圖形的面積計(jì)算、旋轉(zhuǎn)體的體積和側(cè)面積計(jì)算、曲線的弧長計(jì)算，尤其是旋轉(zhuǎn)體的體積，包括平面圖形繞 軸旋轉(zhuǎn)一周，或繞平行于 軸的直線旋轉(zhuǎn)一周的體積計(jì)算，大家一定要熟練掌握。定積分的物理應(yīng)用主要是關(guān)于物體運(yùn)動(dòng)、做功、引力、壓力、質(zhì)心、形心等。在幾何應(yīng)用和物理應(yīng)用中，幾何應(yīng)用考得更多。定積分的應(yīng)用問題中，經(jīng)常結(jié)合微分方程出題考查。