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一、選擇題
1.已知函數(shù)f(x)=lg，若f(a)=，則f(-a)等于( )
A. B.-
C.2 D.-2
[答案] B
[解析] f(a)=lg=，f(-a)=lg()-1
=-lg=-.
2.函數(shù)y=ln(1-x)的圖象大致為( )
[答案] C
[解析] 要使函數(shù)y=ln(1-x)有意義，應(yīng)滿(mǎn)足1-x>0，x<1，排除A、B;
又當(dāng)x<0時(shí)，-x>0,1-x>1，
y=ln(1-x)>0，排除D，故選C.
3.(2014·北京理，2)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，+∞)上為增函數(shù)的是( )
A.y= B.y=(x-1)2
C.y=2-x D.y=log0.5(x+1)
[答案] A
[解析] y=在[-1，+∞)上是增函數(shù)，
y=在(0，+∞)上為增函數(shù).
4.設(shè)函數(shù)f(x)=，若f(3)=2，f(-2)=0，則b=( )
A.0 B.-1
C.1 D.2
[答案] A
[解析] f(3)=loga4=2，a=2.
f(-2)=4-2a+b=4-4+b=0，b=0.
5.(2013～2014學(xué)年度山東濰坊二中高一月考)已知函數(shù)y=log2(1-x)的值域?yàn)?-∞，0)，則其定義域是( )
A.(-∞，1) B.(0，)
C.(0,1) D.(1，+∞)
[答案] C
[解析] 函數(shù)y=log2(1-x)的值域?yàn)?-∞，0)，
log2(1-x)<0，
0<1-x<1，00，
x2-2x<0，即0log54>log53>0，
1>log54>log53>(log53)2>0，
而log45>1，c>a>b.
3.已知函數(shù)f(x)=，若f(x0)>3，則x0的取值范圍是( )
A.x0>8 B.x0<0或x0>8
C.03，
x0+1>1，即x0>0，無(wú)解;
當(dāng)x0>2時(shí)，log2x0>3，
x0>23，即x0>8，x0>8.
4.函數(shù)f(x)=ax+loga(2x+1)(a>0且a≠1)在[0,2]上的值與最小值之和為a2，則a的值為( )
A. B.5 C. D.4
[答案] A
[解析] 當(dāng)a>1時(shí)，ax隨x的增大而增大，
loga(2x+1)隨x的增大而增大，
函數(shù)f(x)在[0,2]上為增函數(shù)，
f(x)max=a2+loga5，f(x)min=1，
a2+loga5+1=a2，loga5+1=0，
loga5=-1，a=(不合題意舍去).
當(dāng)0
f(x)max=1，f(x)min=a2+loga5，1+a2+loga5=a2，
loga5=-1，a=.
二、填空題
5.(2013～2014學(xué)年度江西南昌市聯(lián)考)定義在R上的偶函數(shù)f(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞減，且f()=0，則滿(mǎn)足f(x)<0的集合為_(kāi)___________.
[答案] (0，)(2，+∞)
[解析] 本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用和對(duì)數(shù)不等式的解法.因?yàn)槎x在R上的偶函數(shù)f(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞減，所以在(-∞，0]上單調(diào)遞增.又f()=0，所以f(-)=0，由f(x)<0可得x<-，或x>，
解得x(0，)(2，+∞).
6.(2014·福建文，15)函數(shù)f(x)=
的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________.
[答案] 2
[解析] 當(dāng)x≤2，令x2-2=0，得x=-;
當(dāng)x>0時(shí)，令2x-6+lnx=0，
即lnx=6-2x，
在同一坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)y=6-2x與y=lnx的圖象如圖所示.
由圖象可知，當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)y=6-2x與y=lnx的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)f(x)有一個(gè)零點(diǎn).
綜上可知，函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn).
三、解答題
7.已知函數(shù)f(x)=lg(4-x2).
(1)求函數(shù)f(x)的定義域;
(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并證明.
[解析] (1)要使函數(shù)f(x)有意義，應(yīng)滿(mǎn)足4-x2>0，x2>4，-20，且a≠1)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).
(1)求m的值;
(2)判斷函數(shù)f(x)在(1，+∞)上的單調(diào)性.
[解析] (1)f(x)=loga(a>0，且a≠1)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
f(x)為奇函數(shù).f(-x)=-f(x).
loga=-loga=loga，
=，
1-m2x2=1-x2，m2=1，
m=1或m=-1.
當(dāng)m=1時(shí)，不滿(mǎn)足題意，舍去，故m=-1.
(2)f(x)=loga=loga.
設(shè)x1，x2(1，+∞)，且x10，
x1x2-x1+x2-1>x1x2-x2+x1-1，
又x1，x2(1，+∞)，
(x1+1)(x2-1)=x1x2-x1+x2-1>0，
(x2+1)(x1-1)=x1x2-x2+x1-1>0，
>1.
當(dāng)01時(shí)，loga>0，
即f(x1)>f(x2)，
故函數(shù)f(x)在(1，+∞)上是減函數(shù).
綜上可知，當(dāng)a>1時(shí)， f(x)在(1，+∞)上為減函數(shù);
當(dāng)0f(1)=-2，
即x<1時(shí)， f(x)的值域是(-2，+∞).
當(dāng)x≥1時(shí)， f(x)=logx是減函數(shù)，
所以f(x)≤f(1)=0，
即x≥1, f(x)的值域是(-∞，0].
于是函數(shù)f(x)的值域是(-∞，0](-2，+∞)=R.
(2)若函數(shù)f(x)是(-∞，+∞)上的減函數(shù)，
則下列三個(gè)條件同時(shí)成立：
當(dāng)x<1時(shí)， f(x)=x2-(4a+1)x-8a+4是減函數(shù)，
于是≥1，則a≥;
當(dāng)x≥1時(shí)， f(x)=logax是減函數(shù)，則0
一、選擇題
1.已知函數(shù)f(x)=lg，若f(a)=，則f(-a)等于( )
A. B.-
C.2 D.-2
[答案] B
[解析] f(a)=lg=，f(-a)=lg()-1
=-lg=-.
2.函數(shù)y=ln(1-x)的圖象大致為( )
[答案] C
[解析] 要使函數(shù)y=ln(1-x)有意義，應(yīng)滿(mǎn)足1-x>0，x<1，排除A、B;
又當(dāng)x<0時(shí)，-x>0,1-x>1，
y=ln(1-x)>0，排除D，故選C.
3.(2014·北京理，2)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，+∞)上為增函數(shù)的是( )
A.y= B.y=(x-1)2
C.y=2-x D.y=log0.5(x+1)
[答案] A
[解析] y=在[-1，+∞)上是增函數(shù)，
y=在(0，+∞)上為增函數(shù).
4.設(shè)函數(shù)f(x)=，若f(3)=2，f(-2)=0，則b=( )
A.0 B.-1
C.1 D.2
[答案] A
[解析] f(3)=loga4=2，a=2.
f(-2)=4-2a+b=4-4+b=0，b=0.
5.(2013～2014學(xué)年度山東濰坊二中高一月考)已知函數(shù)y=log2(1-x)的值域?yàn)?-∞，0)，則其定義域是( )
A.(-∞，1) B.(0，)
C.(0,1) D.(1，+∞)
[答案] C
[解析] 函數(shù)y=log2(1-x)的值域?yàn)?-∞，0)，
log2(1-x)<0，
0<1-x<1，00，
x2-2x<0，即0log54>log53>0，
1>log54>log53>(log53)2>0，
而log45>1，c>a>b.
3.已知函數(shù)f(x)=，若f(x0)>3，則x0的取值范圍是( )
A.x0>8 B.x0<0或x0>8
C.03，
x0+1>1，即x0>0，無(wú)解;
當(dāng)x0>2時(shí)，log2x0>3，
x0>23，即x0>8，x0>8.
4.函數(shù)f(x)=ax+loga(2x+1)(a>0且a≠1)在[0,2]上的值與最小值之和為a2，則a的值為( )
A. B.5 C. D.4
[答案] A
[解析] 當(dāng)a>1時(shí)，ax隨x的增大而增大，
loga(2x+1)隨x的增大而增大，
函數(shù)f(x)在[0,2]上為增函數(shù)，
f(x)max=a2+loga5，f(x)min=1，
a2+loga5+1=a2，loga5+1=0，
loga5=-1，a=(不合題意舍去).
當(dāng)0
f(x)max=1，f(x)min=a2+loga5，1+a2+loga5=a2，
loga5=-1，a=.
二、填空題
5.(2013～2014學(xué)年度江西南昌市聯(lián)考)定義在R上的偶函數(shù)f(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞減，且f()=0，則滿(mǎn)足f(x)<0的集合為_(kāi)___________.
[答案] (0，)(2，+∞)
[解析] 本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用和對(duì)數(shù)不等式的解法.因?yàn)槎x在R上的偶函數(shù)f(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞減，所以在(-∞，0]上單調(diào)遞增.又f()=0，所以f(-)=0，由f(x)<0可得x<-，或x>，
解得x(0，)(2，+∞).
6.(2014·福建文，15)函數(shù)f(x)=
的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________.
[答案] 2
[解析] 當(dāng)x≤2，令x2-2=0，得x=-;
當(dāng)x>0時(shí)，令2x-6+lnx=0，
即lnx=6-2x，
在同一坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)y=6-2x與y=lnx的圖象如圖所示.
由圖象可知，當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)y=6-2x與y=lnx的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)f(x)有一個(gè)零點(diǎn).
綜上可知，函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn).
三、解答題
7.已知函數(shù)f(x)=lg(4-x2).
(1)求函數(shù)f(x)的定義域;
(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并證明.
[解析] (1)要使函數(shù)f(x)有意義，應(yīng)滿(mǎn)足4-x2>0，x2>4，-20，且a≠1)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).
(1)求m的值;
(2)判斷函數(shù)f(x)在(1，+∞)上的單調(diào)性.
[解析] (1)f(x)=loga(a>0，且a≠1)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
f(x)為奇函數(shù).f(-x)=-f(x).
loga=-loga=loga，
=，
1-m2x2=1-x2，m2=1，
m=1或m=-1.
當(dāng)m=1時(shí)，不滿(mǎn)足題意，舍去，故m=-1.
(2)f(x)=loga=loga.
設(shè)x1，x2(1，+∞)，且x10，
x1x2-x1+x2-1>x1x2-x2+x1-1，
又x1，x2(1，+∞)，
(x1+1)(x2-1)=x1x2-x1+x2-1>0，
(x2+1)(x1-1)=x1x2-x2+x1-1>0，
>1.
當(dāng)01時(shí)，loga>0，
即f(x1)>f(x2)，
故函數(shù)f(x)在(1，+∞)上是減函數(shù).
綜上可知，當(dāng)a>1時(shí)， f(x)在(1，+∞)上為減函數(shù);
當(dāng)0f(1)=-2，
即x<1時(shí)， f(x)的值域是(-2，+∞).
當(dāng)x≥1時(shí)， f(x)=logx是減函數(shù)，
所以f(x)≤f(1)=0，
即x≥1, f(x)的值域是(-∞，0].
于是函數(shù)f(x)的值域是(-∞，0](-2，+∞)=R.
(2)若函數(shù)f(x)是(-∞，+∞)上的減函數(shù)，
則下列三個(gè)條件同時(shí)成立：
當(dāng)x<1時(shí)， f(x)=x2-(4a+1)x-8a+4是減函數(shù)，
于是≥1，則a≥;
當(dāng)x≥1時(shí)， f(x)=logax是減函數(shù)，則0