綜合解答題
31.設40張同類保單，用Xi表示第i張保單的索賠次數(shù)，并設Xi～P(λ)，i=1，2，…，40。又設參數(shù)λ為隨機變量，且服從均值為0.6，方差為0.02的Gamma( ， )分布，分布密度為：
并且已知觀察到40張保單共有18次索賠，試計算在平方損失函數(shù)下λ的貝葉斯估計。
32.某NCD系統(tǒng)具有0%，20%，40%三個等級，轉移規(guī)則如下：
①若在保險年度內(nèi)無索賠，續(xù)保時保費折扣上升一級或保持在級;
②若被保險人發(fā)生索賠，續(xù)保時保費降二級或保持在最低級。
假設每張保單的索賠次數(shù)服從參數(shù)為λ的泊松分布，λ=0.2，并且該NCD系統(tǒng)已達到穩(wěn)定狀態(tài)，若投保人的全額保費為4 000元人民幣，試計算平均保費。
33.某超賠分保合同，原保險人A的自留額1 000元，再保險人承擔超過l 000元的賠款，無限額。設賠款隨機變量為X，X服從均值為60，標準差為9元的對數(shù)正態(tài)分布，求：
(1)原保險人A支付賠款的均值E(XA);
(2)再保險人R支付賠款的均值E(XR);
(3)再保險人R為非零賠付部分的平均賠款額。
34.為什么說純保費法與損失率法在一定條件下是一致的?
35.試列舉出非壽險公司面臨的12種風險。
36.假設某險種的每份保單的索賠次數(shù)Xil服從泊松分布，但各個保單的泊松分布參數(shù)各不相同，并且已知800份保單的索賠次數(shù)統(tǒng)計如下表所示：
試用最小平方信度方法估計第i份保單在下一年的索賠次數(shù)Xi0。
37.已知已報告索賠的賠案準備金如下表所示：
單位：萬元
并且已知發(fā)生年1992年的索賠支付額如下：
計算發(fā)生年1992年在進展年2：3的準備金支付率(PO比率)及賠案準備金進展率(CED比率)。
38.已知某保險公司在1995年末累計索賠報告次數(shù)如下表所示：
同時，經(jīng)驗數(shù)據(jù)還記錄年末未決索賠次數(shù)：
保險公司還記錄到通貨膨脹調整后的索賠支付額：
求未決賠款準備金，假設未來膨脹率為14%，并且在所有過程中平均比率都等于選定比率。
39.已知某險種具有三個級別的費率，費率分別為：156、208、268，并且已知1991年、1992年、1993年的均衡已經(jīng)保費分別為：1 400萬元、960萬元、800萬元，三年的經(jīng)驗損失與可分配損失調整費為：1 100萬元、660萬元、560萬元。計算沖銷因子，并給定整體費率應上升10%。
40.某保險公司簽發(fā)的保單具有免賠額為10個單位元，已知保險標的損失隨機變量服從參數(shù)為0.1的指數(shù)分布，試求保險人對每張保單賠款的期望值?！〈鸢附馕觯?BR> 31.解：由已知條件可知 張保單的聯(lián)合概率密度函數(shù)為：
對于Garoma(α，β)分布，均值為 ，方差為 ，故由已知有：
在平方損失函數(shù)下，λ的估計為：
32.解：由已知條件可寫出轉移概率矩陣：
其中：
設(π0，π1，π2)為投保人在穩(wěn)定狀態(tài)下所在各折扣組別的可能
性，因此有如下的方程組：
解得：
所以所求的最后穩(wěn)定狀態(tài)下的平均保費為：
33.解：
(3)的計算如下：
34.解：由損失率法有：R=AR0(R0表示當前費率，A為調
整因子)。
其中，W為經(jīng)驗損失率，T為目標損失率。
而：
其中，V表示可變費用因子，Q表示利潤因子，G表示與保費不直
接相關的費用與損失之比。
其中，L表示經(jīng)驗損失，E表示經(jīng)驗期內(nèi)的已經(jīng)風險單位。
而 正是純保費法中的經(jīng)驗純保費P，于是有：
G表示與保費不直接相關的費用與損失之比。
其中，C表示每風險單位的固定費用。
而
這正是純保費法的計算公式。
35.解：
(1)保費的計算與實際運營成本有較大差異;
(2)準備金計提不足或過剩，不足會有償付能力風險，過剩雖可以避稅，但也造成浪費，不便于業(yè)務擴張;
(3)對賠付的恰當評估同樣面臨著許多風險;
(4)營運成本的估計過低或過高;
(5)傭金的無限制增加趨勢給運營成本以增加的風險;
(6)投資收入的不確定性因素更多;
(7)巨災事故不僅給民眾而且給保險人帶來巨大的財務沖擊;
(8)風險聚合也會形成巨災事故風險;
(9)意外或潛在的責任事故賠付風險;
(10)市場條件的變化風險;
(11)保單責任的文字界定不嚴謹而產(chǎn)生的訴訟風險;
(12)公司職員瀆職、貪污等形成的風險。
36.解：先估計索賠次數(shù)的索賠概率如下：
S2的估計也是索賠次數(shù)的樣本均值：
t2的估計為：
此時可認為風險間的差異過小，即風險是同質的。也就是說，
當前觀察值的信度為0，則有：
Xi0=Xi1的均值=0.191 4
37.解：
38.解：由已知的年末未決索賠次數(shù)和累計索賠次數(shù)，可計算
出各發(fā)生年在各進展年的已結案索賠次數(shù)，如表1所示。
表1
即如表2。
表2
要估計結案率，還需估算各發(fā)生年的索賠總次數(shù)，具體如表3
所示。
表3
其中：1.173 2=(1 808+2 402+2 600)÷(1 602+2 003
+2 200)
1.044 4=(1 908+2 489)÷(1 808+2 402)
1.031 5=1 968÷1 908
現(xiàn)在估計各發(fā)生年的索賠總次數(shù)，具體如表4所示。
表4
所以各單的結案率可用表2與表4中的數(shù)據(jù)算出，具體如表5所
示。
表5
即如表6。
表6
再預測各發(fā)生年年末已結案索賠次數(shù)，具體如表7所示。
表7
將表7的數(shù)據(jù)相鄰兩行相減即得到各發(fā)生年在各進展年的結
案次數(shù)，具體如表8所示。
表8
用表8中的數(shù)據(jù)分別除以已知中的相應的索賠支付額，可以
得到已結案的每案膨脹調整支付額，具體如表9所示。
表9
即如表10。
表10
這樣由表10及表8即可計算預測膨脹調整支付額，具體如表
11所示。
表11
即如表12。
表12
故所求的準備金為：
l 100+2487+3 230+2 907+2 513+2 958+3585=18 780
39。解：
其中：156×10%+156=172(元)。
將第(9)列得出的指示級別費率變化量乘以均衡已經(jīng)保費可
得到均衡已經(jīng)保費：
1 400×1.1+960×1.256+800×1.231=3 730(萬元)
3 730與3 160相比增加了：(3 730-3 160)/3 160=18.04%
已比10%的指示整體費率變化高出8%，所以不需要增加一
沖銷因子，可認為沖銷因子為0。
40.解：設 為所求的期望值的隨機變量。
31.設40張同類保單，用Xi表示第i張保單的索賠次數(shù)，并設Xi～P(λ)，i=1，2，…，40。又設參數(shù)λ為隨機變量，且服從均值為0.6，方差為0.02的Gamma( ， )分布，分布密度為：
并且已知觀察到40張保單共有18次索賠，試計算在平方損失函數(shù)下λ的貝葉斯估計。
32.某NCD系統(tǒng)具有0%，20%，40%三個等級，轉移規(guī)則如下：
①若在保險年度內(nèi)無索賠，續(xù)保時保費折扣上升一級或保持在級;
②若被保險人發(fā)生索賠，續(xù)保時保費降二級或保持在最低級。
假設每張保單的索賠次數(shù)服從參數(shù)為λ的泊松分布，λ=0.2，并且該NCD系統(tǒng)已達到穩(wěn)定狀態(tài)，若投保人的全額保費為4 000元人民幣，試計算平均保費。
33.某超賠分保合同，原保險人A的自留額1 000元，再保險人承擔超過l 000元的賠款，無限額。設賠款隨機變量為X，X服從均值為60，標準差為9元的對數(shù)正態(tài)分布，求：
(1)原保險人A支付賠款的均值E(XA);
(2)再保險人R支付賠款的均值E(XR);
(3)再保險人R為非零賠付部分的平均賠款額。
34.為什么說純保費法與損失率法在一定條件下是一致的?
35.試列舉出非壽險公司面臨的12種風險。
36.假設某險種的每份保單的索賠次數(shù)Xil服從泊松分布，但各個保單的泊松分布參數(shù)各不相同，并且已知800份保單的索賠次數(shù)統(tǒng)計如下表所示：
試用最小平方信度方法估計第i份保單在下一年的索賠次數(shù)Xi0。
37.已知已報告索賠的賠案準備金如下表所示：
單位：萬元
并且已知發(fā)生年1992年的索賠支付額如下：
計算發(fā)生年1992年在進展年2：3的準備金支付率(PO比率)及賠案準備金進展率(CED比率)。
38.已知某保險公司在1995年末累計索賠報告次數(shù)如下表所示：
同時，經(jīng)驗數(shù)據(jù)還記錄年末未決索賠次數(shù)：
保險公司還記錄到通貨膨脹調整后的索賠支付額：
求未決賠款準備金，假設未來膨脹率為14%，并且在所有過程中平均比率都等于選定比率。
39.已知某險種具有三個級別的費率，費率分別為：156、208、268，并且已知1991年、1992年、1993年的均衡已經(jīng)保費分別為：1 400萬元、960萬元、800萬元，三年的經(jīng)驗損失與可分配損失調整費為：1 100萬元、660萬元、560萬元。計算沖銷因子，并給定整體費率應上升10%。
40.某保險公司簽發(fā)的保單具有免賠額為10個單位元，已知保險標的損失隨機變量服從參數(shù)為0.1的指數(shù)分布，試求保險人對每張保單賠款的期望值?！〈鸢附馕觯?BR> 31.解：由已知條件可知 張保單的聯(lián)合概率密度函數(shù)為：
對于Garoma(α，β)分布，均值為 ，方差為 ，故由已知有：
在平方損失函數(shù)下，λ的估計為：
32.解：由已知條件可寫出轉移概率矩陣：
其中：
設(π0，π1，π2)為投保人在穩(wěn)定狀態(tài)下所在各折扣組別的可能
性，因此有如下的方程組：
解得：
所以所求的最后穩(wěn)定狀態(tài)下的平均保費為：
33.解：
(3)的計算如下：
34.解：由損失率法有：R=AR0(R0表示當前費率，A為調
整因子)。
其中，W為經(jīng)驗損失率，T為目標損失率。
而：
其中，V表示可變費用因子，Q表示利潤因子，G表示與保費不直
接相關的費用與損失之比。
其中，L表示經(jīng)驗損失，E表示經(jīng)驗期內(nèi)的已經(jīng)風險單位。
而 正是純保費法中的經(jīng)驗純保費P，于是有：
G表示與保費不直接相關的費用與損失之比。
其中，C表示每風險單位的固定費用。
而
這正是純保費法的計算公式。
35.解：
(1)保費的計算與實際運營成本有較大差異;
(2)準備金計提不足或過剩，不足會有償付能力風險，過剩雖可以避稅，但也造成浪費，不便于業(yè)務擴張;
(3)對賠付的恰當評估同樣面臨著許多風險;
(4)營運成本的估計過低或過高;
(5)傭金的無限制增加趨勢給運營成本以增加的風險;
(6)投資收入的不確定性因素更多;
(7)巨災事故不僅給民眾而且給保險人帶來巨大的財務沖擊;
(8)風險聚合也會形成巨災事故風險;
(9)意外或潛在的責任事故賠付風險;
(10)市場條件的變化風險;
(11)保單責任的文字界定不嚴謹而產(chǎn)生的訴訟風險;
(12)公司職員瀆職、貪污等形成的風險。
36.解：先估計索賠次數(shù)的索賠概率如下：
S2的估計也是索賠次數(shù)的樣本均值：
t2的估計為：
此時可認為風險間的差異過小，即風險是同質的。也就是說，
當前觀察值的信度為0，則有：
Xi0=Xi1的均值=0.191 4
37.解：
38.解：由已知的年末未決索賠次數(shù)和累計索賠次數(shù)，可計算
出各發(fā)生年在各進展年的已結案索賠次數(shù)，如表1所示。
表1
即如表2。
表2
要估計結案率，還需估算各發(fā)生年的索賠總次數(shù)，具體如表3
所示。
表3
其中：1.173 2=(1 808+2 402+2 600)÷(1 602+2 003
+2 200)
1.044 4=(1 908+2 489)÷(1 808+2 402)
1.031 5=1 968÷1 908
現(xiàn)在估計各發(fā)生年的索賠總次數(shù)，具體如表4所示。
表4
所以各單的結案率可用表2與表4中的數(shù)據(jù)算出，具體如表5所
示。
表5
即如表6。
表6
再預測各發(fā)生年年末已結案索賠次數(shù)，具體如表7所示。
表7
將表7的數(shù)據(jù)相鄰兩行相減即得到各發(fā)生年在各進展年的結
案次數(shù)，具體如表8所示。
表8
用表8中的數(shù)據(jù)分別除以已知中的相應的索賠支付額，可以
得到已結案的每案膨脹調整支付額，具體如表9所示。
表9
即如表10。
表10
這樣由表10及表8即可計算預測膨脹調整支付額，具體如表
11所示。
表11
即如表12。
表12
故所求的準備金為：
l 100+2487+3 230+2 907+2 513+2 958+3585=18 780
39。解：
其中：156×10%+156=172(元)。
將第(9)列得出的指示級別費率變化量乘以均衡已經(jīng)保費可
得到均衡已經(jīng)保費：
1 400×1.1+960×1.256+800×1.231=3 730(萬元)
3 730與3 160相比增加了：(3 730-3 160)/3 160=18.04%
已比10%的指示整體費率變化高出8%，所以不需要增加一
沖銷因子，可認為沖銷因子為0。
40.解：設 為所求的期望值的隨機變量。