以下是為大家整理的《高二數(shù)學(xué)知識點講練：橢圓》，希望能為大家的學(xué)習(xí)帶來幫助，不斷進步，取得優(yōu)異的成績。
第八章圓錐曲線
(1)掌握橢圓的定義、標準方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì)，理解橢圓的參數(shù)方程 (2)掌握雙曲線的定義、標準方程和雙曲線的簡單幾何性質(zhì) (3)掌握拋物線的定義、標準方程和拋物線的簡單幾何性質(zhì) (4)了解圓錐曲線的初步應(yīng)用
解析幾何是聯(lián)系初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的紐帶，它本身側(cè)重于形象思維、推理運算和數(shù)形結(jié)合，綜合了代數(shù)、三角、幾何、向量等知識反映在解題上，就是根據(jù)曲線的幾何特征準確地轉(zhuǎn)換為代數(shù)形式，根據(jù)方程畫出圖形，研究幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)時應(yīng)熟練掌握函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、參數(shù)的思想、分類與轉(zhuǎn)化的思想等，以達到優(yōu)化解題的目的
具體來說，有以下三方面：
（1）確定曲線方程，實質(zhì)是求某幾何量的值；含參數(shù)系數(shù)的曲線方程或變化運動中的圓錐曲線的主要問題是定值、最值、最值范圍問題，這些問題的求解都離不開函數(shù)、方程、不等式的解題思想方法有時題設(shè)設(shè)計的非常隱蔽，這就要求認真審題，挖掘題目的隱含條件作為解題突破口
（2）解析幾何也可以與數(shù)學(xué)其他知識相聯(lián)系，這種綜合一般比較直觀，在解題時保持思維的靈活性和多面性，能夠順利進行轉(zhuǎn)化，即從一知識轉(zhuǎn)化為另一知識
（3）解析幾何與其他學(xué)科或?qū)嶋H問題的綜合，主要體現(xiàn)在用解析幾何知識去解有關(guān)知識，具體地說就是通過建立坐標系，建立所研究曲線的方程，并通過方程求解來回答實際問題在這一類問題中“實際量”與“數(shù)學(xué)量”的轉(zhuǎn)化是易出錯的地方，這是因為在坐標系中的量是“數(shù)量”，不僅有大小還有符號
題型講解
例1 如圖，O為坐標原點，直線l在x軸和y軸上的截距分別是a和b（a>0，b≠0），且交拋物線y2=2px（p>0）于M（x1，y1），N（x2，y2）兩點
（1）寫出直線l的截距式方程；
（2）證明：+=；
（3）當(dāng)a=2p時，求∠MON的大小
分析：易知直線l的方程為+=1，欲證+=，即求的值，為此只需求直線l與拋物線y2=2px交點的縱坐標由根與系數(shù)的關(guān)系易得y1+y2、y1y2的值，進而證得+= 由·=0易得∠MON=90°亦可由kOM·kON=－1求得∠MON=90°
（1）解：直線l的截距式方程為+=1
（2）證明：由+=1及y2=2px消去x可得by2+2pay－2pab=0
點M、N的縱坐標為y1、y2，
故y1+y2=，y1y2=－2pa
所以+===
（3）解：設(shè)直線OM、ON的斜率分別為k1、k2，
則k1=，k2=
當(dāng)a=2p時，由（2）知，y1y2=－2pa=－4p2，
由y12=2px1，y22=2px2，相乘得（y1y2）2=4p2x1x2，
x1x2===4p2，
因此k1k2===－1
所以O(shè)M⊥ON，即∠MON=90°
點評：本題主要考查直線、拋物線等基本知識，考查運用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力
例2 已知橢圓C的方程為+=1（a>b>0），雙曲線－=1的兩條漸近線為l1、l2，過橢圓C的右焦點F作直線l，使l⊥l1，又l與l2交于P點，設(shè)l與橢圓C的兩個交點由上至下依次為A、B（如圖）
（1）當(dāng)l1與l2夾角為60°，雙曲線的焦距為4時，求橢圓C的方程；
（2）當(dāng)=λ時，求λ的值
分析：（1）求橢圓方程即求a、b的值，由l1與l2的夾角為60°易得=，由雙曲線的距離為4易得a2+b2=4，進而可求得a、b
（2）由=λ，欲求λ的值，需求A、P的坐標，而P是l與l1的交點，故需求l的方程將l與l2的方程聯(lián)立可求得P的坐標，進而可求得點A的坐標將A的坐標代入橢圓方程可求得λ的值
解：（1）∵雙曲線的漸近線為y=±x，兩漸近線夾角為60°，
又<1，∴∠POx=30°，即=tan30°= ∴a=b
又a2+b2=4， ∴a2=3，b2=1
故橢圓C的方程為+y2=1
（2）由已知l：y=（x－c），與y=x解得P（，），
由=λ得A（，）
將A點坐標代入橢圓方程得
（c2+λa2）2+λ2a4=（1+λ）2a2c2
∴（e2+λ）2+λ2=e2（1+λ）2
∴λ2==－［（2－e2）+］+3≤3－2
∴λ的值為－1
點評：本題考查了橢圓、雙曲線的基礎(chǔ)知識，及向量、定比分點公式、重要不等式的應(yīng)用解決本題的難點是通過恒等變形，利用重要不等式解決問題的思想本題是培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題能力的一道好題
例3 設(shè)橢圓中心是坐標原點，長軸在x軸上，離心率e=，已知點P（0，）到這個橢圓上的點的最遠距離是，求這個橢圓方程，并求橢圓上到點P的距離等于的點的坐標
分析：設(shè)橢圓方程為+=1，由e=知橢圓方程可化為x2+4y2=4b2，然后將距離轉(zhuǎn)化為y的二次函數(shù)，二次函數(shù)中含有一個參數(shù)b，在判定距離有值的過程中，要討論y=－是否在y的取值范圍內(nèi)，最后求出橢圓方程和P點坐標
解法一：設(shè)所求橢圓的直角坐標方程是+=1，其中a＞b＞0待定
由e2===1－（）2
可知===，即a=2b
設(shè)橢圓上的點（x，y）到點P的距離為d，
則d2=x2+（y－）2=a2（1－）+y2－3y+
= 4b2－3y2－3y+=－3（y+）2+4b2+3，其中－b≤y≤b
如果b＜，則當(dāng)y=－b時d2（從而d）有值，
由題設(shè)得（）2=（b+）2，
由此得b=－＞，與b＜矛盾
因此必有b≥成立，于是當(dāng)y=－時d2（從而d）有值，
由題設(shè)得（）2=4b2+3，由此可得b=1，a=2
故所求橢圓的直角坐標方程是+y2=1
由y=－及求得的橢圓方程可得，橢圓上的點（－，－），點（，－）到點P的距離都是
解法二：根據(jù)題設(shè)條件，設(shè)橢圓的參數(shù)方程是
其中a＞b＞0待定，0≤θ＜2π，
∵e=，∴a=2b
設(shè)橢圓上的點（x，y）到點P的距離為d，則
d2=x2+（y－）2=a2cos2θ+（bsinθ－）2=－3b2·（sinθ+）2+4b2+3
如果＞1，即b＜，
則當(dāng)sinθ=－1時，d2（從而d）有值，
由題設(shè)得（）2=（b+） 2，
由此得b=－＞，與b＜矛盾
因此必有≤1成立，于是當(dāng)sinθ=－時，d2（從而d）有值，
由題設(shè)得（）2=4b2+3 由此得b=1，a=2
所以橢圓參數(shù)方程為
消去參數(shù)得+y2=1，
由sinθ=，cosθ=±知橢圓上的點（－，－），（，－）到P點的距離都是
點評：本題體現(xiàn)了解析幾何與函數(shù)、三角知識的橫向聯(lián)系，解答中要注意討論
例4 如圖, 矩形ABCD中, , 以AB邊所在的直線為x軸, AB的中點為原點建立直角坐標系, P是x軸上方一點, 使PC、PD與線段AB分別交于、兩點, 且成等比數(shù)列, 求動點P的軌跡方程
解: 顯然有,
設(shè),
三點共線, ,
, 又三點共線,
, , ,
, ,
化簡得動點P的軌跡方程為
例5 已知兩點M(-2,2), N(0,2), 直線l過原點, 且以為方向向量, 設(shè)長為的線段AB在直線l上移動, 且B點在A點的右上方, 求直線MA和NB交點P的軌跡方程
解: 由, 直線l過原點, 得
直線l的方程是y=x,設(shè)A(t, t), B(t+1, t+1), 直線MA的方程為, 直線NB的方程為,
則直線MA和NB交點P的坐標為
消去參數(shù)t, 得: (y+1)2-(x+1)2=8
例6 設(shè)雙曲線的兩個焦點分別是F1和F2, A 、B分別是雙曲線兩條漸進線上的動點, 且, 求線段AB中點的軌跡方程
分析: 復(fù)習(xí)雙曲線性質(zhì), 注意點在直線上使橫縱坐標互相轉(zhuǎn)換
解: 設(shè)A點在漸進線 上, B點在漸進線 上,
A(x1, y1), B(x2, y2), 線段AB中點 M(x, y),
由=30, 得: ,
又,
代入上式得; , 化簡得:
例7 以拋物線y=x2的弦AB為直徑的圓經(jīng)過原點O, 過點O作OM⊥AB, M為垂足, 求點M的軌跡方程
解: 設(shè)直線OA方程為, 代入y=x2, 得 A點坐標為,
,
同理可得B(),
直線AB方程為,
即: ①
直線OM方程為②
①②,得: ,
即
小結(jié):
在知識的交匯點處命題，是高考命題的趨勢，而解析幾何與函數(shù)、三角、數(shù)列、向量等知識的密切聯(lián)系，正是高考命題的熱點，為此在學(xué)習(xí)時應(yīng)抓住以下幾點：
1客觀題求解時應(yīng)注意畫圖，抓住涉及到的一些元素的幾何意義，用數(shù)形結(jié)合法去分析解決
2四點重視：①重視定義在解題中的作用；②重視平面幾何知識在解題中的簡化功能；③重視根與系數(shù)關(guān)系在解題中的作用；④重視曲線的幾何特征與方程的代數(shù)特征的統(tǒng)一
3注意用好以下數(shù)學(xué)思想、方法：
①方程思想；②函數(shù)思想；③對稱思想；④參數(shù)思想；⑤轉(zhuǎn)化思想；⑥分類思想
除上述幾種常用數(shù)學(xué)思想外，整體思想、數(shù)形結(jié)合思想、主元分析思想、正難則反思想、構(gòu)造思想等也是解析幾何解題中不可缺少的思想方法在復(fù)習(xí)中必須給予足夠的重視，真正發(fā)揮數(shù)學(xué)解題思想作為聯(lián)系知識與能力中的作用，從而提高簡化計算能力
4求軌跡方程的主要方法有: 直接法、定義法、代入法、參數(shù)法
5求出軌跡方程后要注意檢驗, 以保證方程的解與曲線上的點具有一一對應(yīng)的關(guān)系, 尤其是題中涉及三角形、斜率、參數(shù)方程中參數(shù)的限制, 往往使方程產(chǎn)生增根
6向量的坐標形式及應(yīng)用是解析法的重要補充, 應(yīng)注意把二者有機地結(jié)合起來
學(xué)生練習(xí)
1設(shè)abc≠0，“ac>0”是“曲線ax2+by2=c為橢圓”的
A充分不必要條件 B必要不充分條件
C充分必要條件 D既不充分又不必要條件
答案：B解析：ac>0曲線ax2+by2=c為橢圓反之成立
2到兩定點A（0，0），B（3，4）距離之和為5的點的軌跡是
A橢圓 BAB所在直線 C線段AB D無軌跡
答案：C
解析：數(shù)形結(jié)合易知動點的軌跡是線段AB：y=x，其中0≤x≤3
3若點（x，y）在橢圓4x2+y2=4上，則的最小值為
A1 B－1 C－ D以上都不對
答案：C 解析：的幾何意義是橢圓上的點與定點（2，0）連線的斜率顯然直線與橢圓相切時取得最值，設(shè)直線y=k（x－2）代入橢圓方程（4+k2）x2－4k2x+4k2－4=0令Δ=0，k=±∴kmin=－
4以正方形ABCD的相對頂點A、C為焦點的橢圓，恰好過正方形四邊的中點，則該橢圓的離心率為
A B CD
答案：D 解析：建立坐標系，設(shè)出橢圓方程，由條件求出橢圓方程，可得e=
5已知F1（－3，0）、F2（3，0）是橢圓+＝1的兩個焦點，P是橢圓上的點，當(dāng)∠F1PF2＝時，△F1PF2的面積，則有
Am=12，n=3 Bm=24，n=6 Cm=6，n= Dm=12，n=6
答案：A解析：由條件求出橢圓方程即得m=12，n=3
6 點M(x,y)與定點F(1,0)的距離和它到直線x=4的距離的比為2, 則動點M的軌跡方程為 ( )
A B
C 3x2-y2-34x+65=0 D 3x2-y2-30x+63=0
答案: D解析: , 兩邊平方即得3x2-y2-30x+63=0
7 P是橢圓上的動點, 作PD⊥y軸, D為垂足, 則PD中點的軌跡方程為( )
A B C D
答案: D 解析: 設(shè)PD中點為M(x, y), 則P點坐標為(2x, y), 代入方程, 即得
8 已知雙曲線,(a>0,b>0), A1、A2是雙曲線實軸的兩個端點, MN是垂直于實軸所在直線的弦的兩個端點, 則A1高二數(shù)學(xué)知識點講練-橢圓