以下是為大家整理的《高二數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)講練：橢圓》，希望能為大家的學(xué)習(xí)帶來(lái)幫助，不斷進(jìn)步，取得優(yōu)異的成績(jī)。
第八章圓錐曲線(xiàn)
(1)掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，理解橢圓的參數(shù)方程 (2)掌握雙曲線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) (3)掌握拋物線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) (4)了解圓錐曲線(xiàn)的初步應(yīng)用
解析幾何是聯(lián)系初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的紐帶，它本身側(cè)重于形象思維、推理運(yùn)算和數(shù)形結(jié)合，綜合了代數(shù)、三角、幾何、向量等知識(shí)反映在解題上，就是根據(jù)曲線(xiàn)的幾何特征準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)換為代數(shù)形式，根據(jù)方程畫(huà)出圖形，研究幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)熟練掌握函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、參數(shù)的思想、分類(lèi)與轉(zhuǎn)化的思想等，以達(dá)到優(yōu)化解題的目的
具體來(lái)說(shuō)，有以下三方面：
（1）確定曲線(xiàn)方程，實(shí)質(zhì)是求某幾何量的值；含參數(shù)系數(shù)的曲線(xiàn)方程或變化運(yùn)動(dòng)中的圓錐曲線(xiàn)的主要問(wèn)題是定值、最值、最值范圍問(wèn)題，這些問(wèn)題的求解都離不開(kāi)函數(shù)、方程、不等式的解題思想方法有時(shí)題設(shè)設(shè)計(jì)的非常隱蔽，這就要求認(rèn)真審題，挖掘題目的隱含條件作為解題突破口
（2）解析幾何也可以與數(shù)學(xué)其他知識(shí)相聯(lián)系，這種綜合一般比較直觀(guān)，在解題時(shí)保持思維的靈活性和多面性，能夠順利進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即從一知識(shí)轉(zhuǎn)化為另一知識(shí)
（3）解析幾何與其他學(xué)科或?qū)嶋H問(wèn)題的綜合，主要體現(xiàn)在用解析幾何知識(shí)去解有關(guān)知識(shí)，具體地說(shuō)就是通過(guò)建立坐標(biāo)系，建立所研究曲線(xiàn)的方程，并通過(guò)方程求解來(lái)回答實(shí)際問(wèn)題在這一類(lèi)問(wèn)題中“實(shí)際量”與“數(shù)學(xué)量”的轉(zhuǎn)化是易出錯(cuò)的地方，這是因?yàn)樵谧鴺?biāo)系中的量是“數(shù)量”，不僅有大小還有符號(hào)
題型講解
例1 如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)l在x軸和y軸上的截距分別是a和b（a>0，b≠0），且交拋物線(xiàn)y2=2px（p>0）于M（x1，y1），N（x2，y2）兩點(diǎn)
（1）寫(xiě)出直線(xiàn)l的截距式方程；
（2）證明：+=；
（3）當(dāng)a=2p時(shí)，求∠MON的大小
分析：易知直線(xiàn)l的方程為+=1，欲證+=，即求的值，為此只需求直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)y2=2px交點(diǎn)的縱坐標(biāo)由根與系數(shù)的關(guān)系易得y1+y2、y1y2的值，進(jìn)而證得+= 由·=0易得∠MON=90°亦可由kOM·kON=－1求得∠MON=90°
（1）解：直線(xiàn)l的截距式方程為+=1
（2）證明：由+=1及y2=2px消去x可得by2+2pay－2pab=0
點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)為y1、y2，
故y1+y2=，y1y2=－2pa
所以+===
（3）解：設(shè)直線(xiàn)OM、ON的斜率分別為k1、k2，
則k1=，k2=
當(dāng)a=2p時(shí)，由（2）知，y1y2=－2pa=－4p2，
由y12=2px1，y22=2px2，相乘得（y1y2）2=4p2x1x2，
x1x2===4p2，
因此k1k2===－1
所以O(shè)M⊥ON，即∠MON=90°
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線(xiàn)、拋物線(xiàn)等基本知識(shí)，考查運(yùn)用解析幾何的方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力
例2 已知橢圓C的方程為+=1（a>b>0），雙曲線(xiàn)－=1的兩條漸近線(xiàn)為l1、l2，過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線(xiàn)l，使l⊥l1，又l與l2交于P點(diǎn)，設(shè)l與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)由上至下依次為A、B（如圖）
（1）當(dāng)l1與l2夾角為60°，雙曲線(xiàn)的焦距為4時(shí)，求橢圓C的方程；
（2）當(dāng)=λ時(shí)，求λ的值
分析：（1）求橢圓方程即求a、b的值，由l1與l2的夾角為60°易得=，由雙曲線(xiàn)的距離為4易得a2+b2=4，進(jìn)而可求得a、b
（2）由=λ，欲求λ的值，需求A、P的坐標(biāo)，而P是l與l1的交點(diǎn)，故需求l的方程將l與l2的方程聯(lián)立可求得P的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)將A的坐標(biāo)代入橢圓方程可求得λ的值
解：（1）∵雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為y=±x，兩漸近線(xiàn)夾角為60°，
又<1，∴∠POx=30°，即=tan30°= ∴a=b
又a2+b2=4， ∴a2=3，b2=1
故橢圓C的方程為+y2=1
（2）由已知l：y=（x－c），與y=x解得P（，），
由=λ得A（，）
將A點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得
（c2+λa2）2+λ2a4=（1+λ）2a2c2
∴（e2+λ）2+λ2=e2（1+λ）2
∴λ2==－［（2－e2）+］+3≤3－2
∴λ的值為－1
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓、雙曲線(xiàn)的基礎(chǔ)知識(shí)，及向量、定比分點(diǎn)公式、重要不等式的應(yīng)用解決本題的難點(diǎn)是通過(guò)恒等變形，利用重要不等式解決問(wèn)題的思想本題是培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的一道好題
例3 設(shè)橢圓中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率e=，已知點(diǎn)P（0，）到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是，求這個(gè)橢圓方程，并求橢圓上到點(diǎn)P的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)
分析：設(shè)橢圓方程為+=1，由e=知橢圓方程可化為x2+4y2=4b2，然后將距離轉(zhuǎn)化為y的二次函數(shù)，二次函數(shù)中含有一個(gè)參數(shù)b，在判定距離有值的過(guò)程中，要討論y=－是否在y的取值范圍內(nèi)，最后求出橢圓方程和P點(diǎn)坐標(biāo)
解法一：設(shè)所求橢圓的直角坐標(biāo)方程是+=1，其中a＞b＞0待定
由e2===1－（）2
可知===，即a=2b
設(shè)橢圓上的點(diǎn)（x，y）到點(diǎn)P的距離為d，
則d2=x2+（y－）2=a2（1－）+y2－3y+
= 4b2－3y2－3y+=－3（y+）2+4b2+3，其中－b≤y≤b
如果b＜，則當(dāng)y=－b時(shí)d2（從而d）有值，
由題設(shè)得（）2=（b+）2，
由此得b=－＞，與b＜矛盾
因此必有b≥成立，于是當(dāng)y=－時(shí)d2（從而d）有值，
由題設(shè)得（）2=4b2+3，由此可得b=1，a=2
故所求橢圓的直角坐標(biāo)方程是+y2=1
由y=－及求得的橢圓方程可得，橢圓上的點(diǎn)（－，－），點(diǎn)（，－）到點(diǎn)P的距離都是
解法二：根據(jù)題設(shè)條件，設(shè)橢圓的參數(shù)方程是
其中a＞b＞0待定，0≤θ＜2π，
∵e=，∴a=2b
設(shè)橢圓上的點(diǎn)（x，y）到點(diǎn)P的距離為d，則
d2=x2+（y－）2=a2cos2θ+（bsinθ－）2=－3b2·（sinθ+）2+4b2+3
如果＞1，即b＜，
則當(dāng)sinθ=－1時(shí)，d2（從而d）有值，
由題設(shè)得（）2=（b+） 2，
由此得b=－＞，與b＜矛盾
因此必有≤1成立，于是當(dāng)sinθ=－時(shí)，d2（從而d）有值，
由題設(shè)得（）2=4b2+3 由此得b=1，a=2
所以橢圓參數(shù)方程為
消去參數(shù)得+y2=1，
由sinθ=，cosθ=±知橢圓上的點(diǎn)（－，－），（，－）到P點(diǎn)的距離都是
點(diǎn)評(píng)：本題體現(xiàn)了解析幾何與函數(shù)、三角知識(shí)的橫向聯(lián)系，解答中要注意討論
例4 如圖, 矩形ABCD中, , 以AB邊所在的直線(xiàn)為x軸, AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系, P是x軸上方一點(diǎn), 使PC、PD與線(xiàn)段AB分別交于、兩點(diǎn), 且成等比數(shù)列, 求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程
解: 顯然有,
設(shè),
三點(diǎn)共線(xiàn), ,
, 又三點(diǎn)共線(xiàn),
, , ,
, ,
化簡(jiǎn)得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為
例5 已知兩點(diǎn)M(-2,2), N(0,2), 直線(xiàn)l過(guò)原點(diǎn), 且以為方向向量, 設(shè)長(zhǎng)為的線(xiàn)段AB在直線(xiàn)l上移動(dòng), 且B點(diǎn)在A點(diǎn)的右上方, 求直線(xiàn)MA和NB交點(diǎn)P的軌跡方程
解: 由, 直線(xiàn)l過(guò)原點(diǎn), 得
直線(xiàn)l的方程是y=x,設(shè)A(t, t), B(t+1, t+1), 直線(xiàn)MA的方程為, 直線(xiàn)NB的方程為,
則直線(xiàn)MA和NB交點(diǎn)P的坐標(biāo)為
消去參數(shù)t, 得: (y+1)2-(x+1)2=8
例6 設(shè)雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1和F2, A 、B分別是雙曲線(xiàn)兩條漸進(jìn)線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn), 且, 求線(xiàn)段AB中點(diǎn)的軌跡方程
分析: 復(fù)習(xí)雙曲線(xiàn)性質(zhì), 注意點(diǎn)在直線(xiàn)上使橫縱坐標(biāo)互相轉(zhuǎn)換
解: 設(shè)A點(diǎn)在漸進(jìn)線(xiàn) 上, B點(diǎn)在漸進(jìn)線(xiàn) 上,
A(x1, y1), B(x2, y2), 線(xiàn)段AB中點(diǎn) M(x, y),
由=30, 得: ,
又,
代入上式得; , 化簡(jiǎn)得:
例7 以?huà)佄锞€(xiàn)y=x2的弦AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O, 過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB, M為垂足, 求點(diǎn)M的軌跡方程
解: 設(shè)直線(xiàn)OA方程為, 代入y=x2, 得 A點(diǎn)坐標(biāo)為,
,
同理可得B(),
直線(xiàn)AB方程為,
即: ①
直線(xiàn)OM方程為②
①②,得: ,
即
小結(jié):
在知識(shí)的交匯點(diǎn)處命題，是高考命題的趨勢(shì)，而解析幾何與函數(shù)、三角、數(shù)列、向量等知識(shí)的密切聯(lián)系，正是高考命題的熱點(diǎn)，為此在學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：
1客觀(guān)題求解時(shí)應(yīng)注意畫(huà)圖，抓住涉及到的一些元素的幾何意義，用數(shù)形結(jié)合法去分析解決
2四點(diǎn)重視：①重視定義在解題中的作用；②重視平面幾何知識(shí)在解題中的簡(jiǎn)化功能；③重視根與系數(shù)關(guān)系在解題中的作用；④重視曲線(xiàn)的幾何特征與方程的代數(shù)特征的統(tǒng)一
3注意用好以下數(shù)學(xué)思想、方法：
①方程思想；②函數(shù)思想；③對(duì)稱(chēng)思想；④參數(shù)思想；⑤轉(zhuǎn)化思想；⑥分類(lèi)思想
除上述幾種常用數(shù)學(xué)思想外，整體思想、數(shù)形結(jié)合思想、主元分析思想、正難則反思想、構(gòu)造思想等也是解析幾何解題中不可缺少的思想方法在復(fù)習(xí)中必須給予足夠的重視，真正發(fā)揮數(shù)學(xué)解題思想作為聯(lián)系知識(shí)與能力中的作用，從而提高簡(jiǎn)化計(jì)算能力
4求軌跡方程的主要方法有: 直接法、定義法、代入法、參數(shù)法
5求出軌跡方程后要注意檢驗(yàn), 以保證方程的解與曲線(xiàn)上的點(diǎn)具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系, 尤其是題中涉及三角形、斜率、參數(shù)方程中參數(shù)的限制, 往往使方程產(chǎn)生增根
6向量的坐標(biāo)形式及應(yīng)用是解析法的重要補(bǔ)充, 應(yīng)注意把二者有機(jī)地結(jié)合起來(lái)
學(xué)生練習(xí)
1設(shè)abc≠0，“ac>0”是“曲線(xiàn)ax2+by2=c為橢圓”的
A充分不必要條件 B必要不充分條件
C充分必要條件 D既不充分又不必要條件
答案：B解析：ac>0曲線(xiàn)ax2+by2=c為橢圓反之成立
2到兩定點(diǎn)A（0，0），B（3，4）距離之和為5的點(diǎn)的軌跡是
A橢圓 BAB所在直線(xiàn) C線(xiàn)段AB D無(wú)軌跡
答案：C
解析：數(shù)形結(jié)合易知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是線(xiàn)段AB：y=x，其中0≤x≤3
3若點(diǎn)（x，y）在橢圓4x2+y2=4上，則的最小值為
A1 B－1 C－ D以上都不對(duì)
答案：C 解析：的幾何意義是橢圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)（2，0）連線(xiàn)的斜率顯然直線(xiàn)與橢圓相切時(shí)取得最值，設(shè)直線(xiàn)y=k（x－2）代入橢圓方程（4+k2）x2－4k2x+4k2－4=0令Δ=0，k=±∴kmin=－
4以正方形ABCD的相對(duì)頂點(diǎn)A、C為焦點(diǎn)的橢圓，恰好過(guò)正方形四邊的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為
A B CD
答案：D 解析：建立坐標(biāo)系，設(shè)出橢圓方程，由條件求出橢圓方程，可得e=
5已知F1（－3，0）、F2（3，0）是橢圓+＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，當(dāng)∠F1PF2＝時(shí)，△F1PF2的面積，則有
Am=12，n=3 Bm=24，n=6 Cm=6，n= Dm=12，n=6
答案：A解析：由條件求出橢圓方程即得m=12，n=3
6 點(diǎn)M(x,y)與定點(diǎn)F(1,0)的距離和它到直線(xiàn)x=4的距離的比為2, 則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為 ( )
A B
C 3x2-y2-34x+65=0 D 3x2-y2-30x+63=0
答案: D解析: , 兩邊平方即得3x2-y2-30x+63=0
7 P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn), 作PD⊥y軸, D為垂足, 則PD中點(diǎn)的軌跡方程為( )
A B C D
答案: D 解析: 設(shè)PD中點(diǎn)為M(x, y), 則P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x, y), 代入方程, 即得
8 已知雙曲線(xiàn),(a>0,b>0), A1、A2是雙曲線(xiàn)實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn), MN是垂直于實(shí)軸所在直線(xiàn)的弦的兩個(gè)端點(diǎn), 則A1高二數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)講練-橢圓