不等式的證明問(wèn)題是考試?？純?nèi)容之一，也是很多同學(xué)的薄弱知識(shí)點(diǎn)，為了廣大考生更好地掌握此類題型，老師根據(jù)自己的輔導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)不等式的一般證明方法進(jìn)行了歸納總結(jié)，希望對(duì)同學(xué)們有所幫助。
不等式的證明方法主要有以下幾種：
(1)利用函數(shù)的單調(diào)性：將不等式適當(dāng)?shù)淖冃?，移?xiàng)后一端為0，另一端為函數(shù)，判斷單調(diào)性后將函數(shù)與端點(diǎn)處函數(shù)值進(jìn)行比較，該方法通常能解決多數(shù)不等式的證明問(wèn)題。
(2)如果出現(xiàn)同一函數(shù)在兩點(diǎn)函數(shù)值的形式，則考慮使用拉格朗日中值定理，將識(shí)字進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s。
(3)可以通過(guò)判斷函數(shù)的凹凸性后結(jié)合函數(shù)的圖形證明不等式;也可以講函數(shù)其他點(diǎn)的函數(shù)值與函數(shù)的大值或小值比較，得到所證明的不等式。
(4)如果二階或二階以上可導(dǎo)，常用泰勒公式，將函數(shù)展開(kāi)后進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆趴s。
以上是證明不等式的一般原則，解題時(shí)要結(jié)合已知條件靈活選擇證明方法，同學(xué)們可通過(guò)以下例題來(lái)體會(huì)以上方法。
例1設(shè)
，證明：
。【思路提示】欲證
，只需證
，如果設(shè)
，注意到
，故只需說(shuō)明
單調(diào)增加，利用
判斷單調(diào)性。例2設(shè)
在
上可導(dǎo)，且
，
單調(diào)增加，證明：
。【思路提示】將
換成
，令
，只需證明
單調(diào)增加。例3設(shè)
，證明不等式
。【思路提示】將
換為
，變形后利用單調(diào)性證得結(jié)論。例4設(shè)
在
上二階可導(dǎo)，且
，其中
為非負(fù)常數(shù)，證明對(duì)任意
，有
。【思路提示】題設(shè)條件告知函數(shù)二階可導(dǎo)，且函數(shù)與函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)有界，應(yīng)考慮使用泰勒公式證明。將函數(shù)作一階泰勒展開(kāi)，然后估計(jì)其一階導(dǎo)數(shù)。