小學(xué)生奧數(shù)小升初入學(xué)模擬試題以及答案（六）

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    5.      的數(shù)學(xué)家斯蒂芬 巴納赫于1945年8月31日去世，他在世時的某年的年齡恰好是該年份的算術(shù)平方根(該年的年份是他該年年齡的平方數(shù)).則他出生的年份是  _____  ，他去世時的年齡是  ______  .
    【答案】1892年;53歲。
    【解】  首先找出在小于1945，大于1845的完全平方數(shù)，有1936＝44²，1849＝43²，顯然只有1936符合實(shí)際，所以斯蒂芬 巴納赫在1936年為44歲．
    那么他出生的年份為1936－44＝1892年．
    他去世的年齡為1945－1892＝53歲．
    【提示】要點(diǎn)是：確定范圍，另外要注意的“潛臺詞”：年份與相應(yīng)年齡對應(yīng)，則有年份－年齡＝出生年份。
    17.  某小學(xué)即將開運(yùn)動會，一共有十項(xiàng)比賽，每位同學(xué)可以任報兩項(xiàng)，那么要有  ___  人報名參加運(yùn)動會，才能保證有兩名或兩名以上的同學(xué)報名參加的比賽項(xiàng)目相同.
    【答案】46
    【解】  十項(xiàng)比賽，每位同學(xué)可以任報兩項(xiàng)，那么有 ＝45種不同的報名方法．
    那么，由抽屜原理知為 45+1＝46人報名時滿足題意．
     
    18.      
    

    24.     如圖，ABCD是矩形，BC=6cm，AB=10cm，AC和BD是對角線，圖中的陰影部分以CD為軸旋轉(zhuǎn)一周，則陰影部分掃過的立體的體積是多少立方厘米？（π=3.14）
    【答案】565.2立方厘米
    【解】設(shè)三角形BOC以CD為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的立體的體積是S，S等于高為10厘米，底面半徑是6厘米的圓錐的體積減去2個高為5厘米，底面半徑是3厘米的圓錐的體積減去2個高為5厘米，底面半徑是3厘米的圓錐的體積。即：
    S= ×6²×10×π-2× ×3²×5×π=90π，
    2S=180π=565.2（立方厘米）
    【提示】S也可以看做一個高為5厘米，上、下底面半徑是3、6厘米的圓臺的體積減去一個高為5厘米，底面半徑是3厘米的圓錐的體積。
     
    4．如圖，點(diǎn)B是線段AD的中點(diǎn)，由A，B，C，D四個點(diǎn)所構(gòu)成的所有線段的長度均為整數(shù)，若這些線段的長度的積為10500，則線段AB的長度是       。
    

    【答案】5
    【解】由A，B，C，D四個點(diǎn)所構(gòu)成的線段有：AB，AC，AD，BC，BD和CD，由于點(diǎn)B是線段AD的中點(diǎn)，可以設(shè)線段AB和BD的長是x，AD=2x，因此在乘積中一定有x³。
    對10500做質(zhì)因數(shù)分解：
    10500=2²×3×5³×7，
    所以，x=5,AB×BD×AD=5³×2,AC×BC×CD=2×3×7,
    所以，AC=7，BC=2,CD=3,AD=10.
     
     
    5．設(shè)有十個人各拿著一只提桶同時到水龍頭前打水，設(shè)水龍頭注滿第一個人的桶需要1分鐘，注滿第二個人的桶需要2分鐘，…….如此下去，當(dāng)只有兩個水龍頭時，巧妙安排這十個人打水，使他們總的費(fèi)時時間最少.這時間等于_________分鐘.
    【答案】125分鐘
    【解】  不難得知應(yīng)先安排所需時間較短的人打水．
    不妨假設(shè)為：
    

    顯然計(jì)算總時間時，A、F計(jì)算了5次，B、G計(jì)算了4次，C、H計(jì)算了3次，D、I計(jì)算了2次，E、J計(jì)算了1次．
    那么A、F為1、2，B、G為3、4，C、H為5、6，D、I為7、8，E、J為9、10．
    所以有最短時間為(1+2)×5+(3+4)×4+(5+6)×3+(7+8)×2+(9+10)×1＝125分鐘．
    評注：下面給出一排隊(duì)方式：
    
    【提示】想象一下，如果你去理發(fā)店理發(fā)，只需要一分鐘，可能這時已有一位阿姨排在你的前面，她需要1小時。這時，你請她讓你先理，她可能很輕松地答應(yīng)你了。
    可是，如果反過來，你排隊(duì)在前，這位阿姨請你讓她先理，你很難同意她的要求，而且大家都認(rèn)為她的要求不合理，這是為什么呢？
     
    可以看到，一個水龍頭時的等待總時間算法是：
                S＝A+A+B+A+B+C+A+B+C+D+A+B+C+D+E=5A+4B+3C+2D+E
    所以，要想使總時間S最小，則要A<B<C<D<E.
     
    兩個水龍頭可參見排隊(duì)方法，但排隊(duì)方法不。有一個原則:
    （A+F）<(B+G)<(C+H)<(D+I)<(E+J)
     
    6. 一輛汽車把貨物從城市運(yùn)往山區(qū)，往返共用了20小時，去時所用時間是回來的1.5倍，去時每小時比回來時慢12公里.這輛汽車往返共行駛了  _____  公里.
    【答案】576
    【解】  記去時時間為“1.5”，那么回來的時間為“1”．
    所以回來時間為20÷(1.5+1)＝8小時，則去時時間為1.5×8＝12小時．
    根據(jù)反比關(guān)系，往返時間比為1.5︰1＝3︰2,則往返速度為2：3,
    按比例分配，知道去的速度為12÷（3-2）×2＝24（千米）
    所以往返路程為24×12×2＝576（千米）。
     
    7. 有70個數(shù)排成一排，除兩頭兩個數(shù)外，每個數(shù)的3倍恰好等于它兩邊兩個數(shù)之和.已知前兩個數(shù)是0和1，則最后一個數(shù)除以6的余數(shù)是  ______ .
    【答案】4
    【解】  顯然我們只關(guān)系除以6的余數(shù)，有0，1，3，2，3，1，0，5，3，，3，5，0，1，3，……
    有從第1數(shù)開始，每12個數(shù)對于6的余數(shù)一循環(huán)，
    因?yàn)?0÷12＝5……10，
    所以第70個數(shù)除以6的余數(shù)為循環(huán)中的第10個數(shù)，即4．
    【提示】找規(guī)律，原始數(shù)據(jù)的生成也是關(guān)鍵，細(xì)節(jié)決定成敗。
     
    8. 老師在黑板上寫了一個自然數(shù)。第一個同學(xué)說：“這個數(shù)是2的倍數(shù)?！钡诙€同學(xué)說：“這個數(shù)是3的倍數(shù)?！钡谌齻€同學(xué)說：“這個數(shù)是4的倍數(shù)?！薄谑膫€同學(xué)說：“這個數(shù)是15的倍數(shù)。”最后，老師說：“在所有14個陳述中，只有兩個連續(xù)的陳述是錯誤的?！崩蠋煂懗龅淖钚〉淖匀粩?shù)是       。
    【答案】60060
    【解】2，3，4，5，6，7的2倍是4，6，8，10，12，14，如果這個數(shù)不是2，3，4，5，6，7的倍數(shù)，那么這個數(shù)也不是4，6，8，10，12，14的倍數(shù)，錯誤的陳述不是連續(xù)的，與題意不符。所以這個數(shù)是2，3，4，5，6，7的倍數(shù)。由此推知，這個數(shù)也是（2×5=）10，（3×4=）12，（2×7）14，（3×5=）15的倍
     
     
    數(shù)。在剩下的8,9,11,13中，只有8和9是連續(xù)的，所以這個數(shù)不是8和9的倍數(shù)。2，3，4，5，6，7，10，11，12，，13，14，15的最小公倍數(shù)是2²×3×5×7×11×13=60060。
     
    11.小王和小李平時酷愛打牌，而且推理能力都很強(qiáng)。一天，他們和華教授圍著桌子打
    華教授給他們出了道推理題。
    華教授從桌子上抽取了如下18張撲克牌：
      紅桃A，Q，4    黑桃J，8，4，2，7，3，5
      草花K，Q，9，4，6，lO    方塊A，9
        華教授從這18張牌中挑出一張牌來，并把這張牌的點(diǎn)數(shù)告訴小王，把這張牌的花色告訴小李。然后，華教授問小王和小李，“你們能從已知的點(diǎn)數(shù)或花色中推斷出這張牌是什么牌嗎?
      小王：“我不知道這張牌。”
      小李：“我知道你不知道這張牌?！?BR>      小王：“現(xiàn)在我知道這張牌了?！?BR>      小李：“我也知道了?！?BR>      請問：這張牌是什么牌?
    【答案】方塊9。
    【解】小王知道這張牌的點(diǎn)數(shù)，小王說：“我不知道這張牌”，說明這張牌的點(diǎn)數(shù)只能是A，Q，4，9中的一個，因?yàn)槠渌狞c(diǎn)數(shù)都只有一張牌。
        如果這張牌的點(diǎn)數(shù)不是A，Q，4，9，那么小王就知道這張牌了，因?yàn)锳，Q，4，9以外的點(diǎn)數(shù)全部在黑桃與草花中，如果這張牌是黑桃或草花，小王就有可能知道這張牌，所以小李說：“我知道你不知道這張牌”，說明這張牌的花色是紅桃或方塊。
        現(xiàn)在的問題集中在紅桃和方塊的5張牌上。
        因?yàn)樾⊥踔肋@張牌的點(diǎn)數(shù)，小王說：“現(xiàn)在我知道這張牌了”，說明這張牌的點(diǎn)數(shù)不是A，否則小王還是判斷不出是紅桃A還是方塊A。
        因?yàn)樾±钪肋@張牌的花色，小李說：“我也知道了”，說明這張牌是方塊9。否則，花色是紅桃的話，小李判斷不出是紅桃Q還是紅桃4。
     
    【提示】在邏輯推理中，要注意一個命題真時指向一個結(jié)論，而其逆命題也是明確的結(jié)論。
     
    

10. 　
    

【答案】
    

【解】將分子、分母分解因數(shù)：9633＝3×3211，35321=11×3211
    

【提示】用輾轉(zhuǎn)相除法更妙了。
     
    12.已知三位數(shù)的各位數(shù)字之積等于10，則這樣的三位數(shù)的個數(shù)是  _____ 個.
    【答案】6
    【解】  因?yàn)?0＝2×5，所以這些三位數(shù)只能由1、2、5組成，于是共有 ＝6個．
     
    12. 下圖中有五個三角形，每個小三角形中的三個數(shù)的和都等于50，其中A₇＝25，A₁＋A₂＋A₃＋A₄＝74，A₉＋A₃＋A₅＋A₁₀＝76，那么A₂與A₅的和是多少？
    

                       
    

【答案】25
    【解】       有A₁+A₂+A₈＝50，
                    A₉+A₂+A₃＝50，
                    A₄+A₃+A₅＝50，
                    A₁₀+A₅+A₆＝50，
                    A₇+A₈+A₆＝50，
    于是有A₁+A₂+A₈+A₉+A₂+A₃+A₄+A₃+A₅+A₁₀+A₅+A₆+A₇+A₈+A₆＝250，
    即(A₁+A₂+A₃+A₄)+(A₉+A₃+A₅+A₁₀)+A₂+A₅+2A₆+2A₈+ A₇＝250.
    有74+76+A₂+A₅+2(A₆+A₈) + A₇＝250，而三角形A₆A₇A₈中有A₆+A₇+A₈＝50，其中A₇＝25，所以A₆+A₈＝50－25＝25.
    那么有A₂+A₅＝250－74－76－50－25＝25.
    【提示】上面的推導(dǎo)完全正確，但我們?nèi)狈Ψ较蚋泻涂傮w把握性。
    其實(shí)，我們看到這樣的數(shù)陣，第一感覺是看到這里5個50并不表示10個數(shù)之和，而是這10個數(shù)再加上內(nèi)圈5個數(shù)的和。這一點(diǎn)是最明顯的感覺，也是重要的等量關(guān)系。
    再“看問題定方向”，要求第2個數(shù)和第5個數(shù)的和，
    說明跟內(nèi)圈另外三個數(shù)有關(guān)系，而其中第6個數(shù)和第8個數(shù)的和是50-25＝25,
    再看第3個數(shù)，在加兩條直線第1、2、3、4個數(shù)和第9、3、5、10個數(shù)時，重復(fù)算到第3個數(shù)，
    好戲開演：
    74+76+50＋25+第2個數(shù)＋第5個數(shù)＝50×5
    所以  第2個數(shù)＋第5個數(shù)＝25