初一奧數(shù)期末自測題(三)及答案解析

    2．解方程
    

    其中a＋b＋c≠0．
    3．求(8x3-6x2+4x-7)3(2x5-3)2的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和．
    4．液態(tài)農(nóng)藥一桶，倒出8升后用水灌滿，再倒出混合溶液4升，再用水灌滿，這時農(nóng)藥的濃度為72％，求桶的容量．
    5．滿足[-1.77x]=-2x的自然數(shù)x共有幾個？這里[x]表示不超過x的整數(shù)，例如[-5.6]=-6，[3]=3．
    6．設(shè)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)．求：P到△ABC三頂點(diǎn)的距離和與三角形周長之比的取值范圍．
    7．甲乙兩人同時從東西兩站相向步行，相會時，甲比乙多行24千米，甲經(jīng)過9小時到東站，乙經(jīng)過16小時到西站，求兩站距離．
    8．黑板上寫著三個數(shù)，任意擦去其中一個，將它改寫成其他兩數(shù)的和減1，這樣繼續(xù)下去，最后得到19，1997，1999，問原來的三個數(shù)能否是2，2，2？
    9．設(shè)有n個實(shí)數(shù)x1，x2，…，xn，其中每一個不是+1就是-1，且
    

    求證：n是4的倍數(shù)．
     
     
    答案解析：
    1．化簡得
    

6(a-1)x=3-6b+4ab，
    當(dāng)a≠1時，
    

　 　
     　
    2．將原方程變形為
    

    由此可解得
    

x=a＋b+c．
    3．當(dāng)x=1時，
    

(8-6+4-7)3(2-1)2=1．
    即所求展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為1．
    依題意得
    

　
     　　
    去分母、化簡得
    

7x2-300x+800=0，
    即 　　　　　　　　　　　　　　(7x-20)(x-40)=0，
    
    5．若n為整數(shù)，有[n＋x]=n＋[x]，所以
    

[-1.77x]=[-2x＋0.23x]
    

=-2x+[0.23x]．
    由已知[-1.77x]=-2x，所以
    

-2x=-2x+[0.23x]，
    所以 [0.23x]=0．
    又因?yàn)閤為自然數(shù)，所以0≤0.23x＜1，經(jīng)試驗(yàn)，可知x可取1，2，3，4，共4個．
    6．如圖1－105所示．在△PBC中有
    

BC＜PB＋PC， ①
    延長BP交AC于D．易證
    

PB＋PC＜AB＋AC． ②
    由①，②
    

BC＜PB＋PC＜AB+AC， ③
    同理
    

AC＜PA＋PC＜AC＋BC， ④
    

AB＜PA＋PB＜AC＋AB． ⑤
    ③＋④＋⑤得
    

AB＋BC＋CA＜2(PA＋PB＋PC)＜2(AB＋BC＋CA)．
    所以
    

 來
    7．設(shè)甲步行速度為x千米/小時，乙步行速度為y千米/小時，則所求距離為(9x+16y)千米．依題意得
    

    由①得
    

16y2=9x2， ③
    由②得16y=24＋9x，將之代入③得
    

    即 　　　　　　　　　　　　　　　　　(24＋9x)2=(12x)2．
    解之得
    

    于是
    

    所以兩站距離為
    

9×8＋16×6=168(千米)．
    8．答案是否定的．對于2，2，2，首先變?yōu)?，2，3，其中兩個偶數(shù)，一個奇數(shù)．以后無論改變多少次，總是兩個偶數(shù)，一個奇數(shù)(數(shù)值可以改變，但奇偶性不變)，所以，不可能變?yōu)?9，1997，1999這三個奇數(shù)．
     　。
    又因?yàn)?BR>    

    所以，k是偶數(shù)，從而n是4的倍數(shù)．