初一奧數(shù)期末自測(cè)題(三)及答案解析

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    1.解關(guān)于x的方程
    


    2.解方程
    


    其中a+b+c≠0.
    3.求(8x3-6x2+4x-7)3(2x5-3)2的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和.
    4.液態(tài)農(nóng)藥一桶,倒出8升后用水灌滿,再倒出混合溶液4升,再用水灌滿,這時(shí)農(nóng)藥的濃度為72%,求桶的容量.
    5.滿足[-1.77x]=-2x的自然數(shù)x共有幾個(gè)?這里[x]表示不超過(guò)x的整數(shù),例如[-5.6]=-6,[3]=3.
    6.設(shè)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn).求:P到△ABC三頂點(diǎn)的距離和與三角形周長(zhǎng)之比的取值范圍.
    7.甲乙兩人同時(shí)從東西兩站相向步行,相會(huì)時(shí),甲比乙多行24千米,甲經(jīng)過(guò)9小時(shí)到東站,乙經(jīng)過(guò)16小時(shí)到西站,求兩站距離.
    8.黑板上寫著三個(gè)數(shù),任意擦去其中一個(gè),將它改寫成其他兩數(shù)的和減1,這樣繼續(xù)下去,最后得到19,1997,1999,問(wèn)原來(lái)的三個(gè)數(shù)能否是2,2,2?
    9.設(shè)有n個(gè)實(shí)數(shù)x1,x2,…,xn,其中每一個(gè)不是+1就是-1,且
    


    求證:n是4的倍數(shù).
     
     
    答案解析:
    1.化簡(jiǎn)得
    

6(a-1)x=3-6b+4ab,
    當(dāng)a≠1時(shí),
    

   
      
    2.將原方程變形為
    


    由此可解得
    

x=a+b+c.
    3.當(dāng)x=1時(shí),
    

(8-6+4-7)3(2-1)2=1.
    即所求展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為1.
    依題意得
    

 
       
    去分母、化簡(jiǎn)得
    

7x2-300x+800=0,
    即               (7x-20)(x-40)=0,
    
    5.若n為整數(shù),有[n+x]=n+[x],所以
    

[-1.77x]=[-2x+0.23x]
    

=-2x+[0.23x].
    由已知[-1.77x]=-2x,所以
    

-2x=-2x+[0.23x],
    所以 [0.23x]=0.
    又因?yàn)閤為自然數(shù),所以0≤0.23x<1,經(jīng)試驗(yàn),可知x可取1,2,3,4,共4個(gè).
    6.如圖1-105所示.在△PBC中有
    

BC<PB+PC, ①
    延長(zhǎng)BP交AC于D.易證
    

PB+PC<AB+AC. ②
    由①,②
    

BC<PB+PC<AB+AC, ③
    同理
    


    

AC<PA+PC<AC+BC, ④
    

AB<PA+PB<AC+AB. ⑤
    ③+④+⑤得
    

AB+BC+CA<2(PA+PB+PC)<2(AB+BC+CA).
    所以
    

 來(lái)
    7.設(shè)甲步行速度為x千米/小時(shí),乙步行速度為y千米/小時(shí),則所求距離為(9x+16y)千米.依題意得
    


    由①得
    

16y2=9x2, ③
    由②得16y=24+9x,將之代入③得
    


    即                  (24+9x)2=(12x)2.
    解之得
    


    于是
    


    所以兩站距離為
    

9×8+16×6=168(千米).
    8.答案是否定的.對(duì)于2,2,2,首先變?yōu)?,2,3,其中兩個(gè)偶數(shù),一個(gè)奇數(shù).以后無(wú)論改變多少次,總是兩個(gè)偶數(shù),一個(gè)奇數(shù)(數(shù)值可以改變,但奇偶性不變),所以,不可能變?yōu)?9,1997,1999這三個(gè)奇數(shù).
      。
    又因?yàn)?BR>    


    所以,k是偶數(shù),從而n是4的倍數(shù).