不定方程問(wèn)題是近年來(lái)國(guó)考數(shù)量關(guān)系的常考重點(diǎn)題型，華圖教育提醒廣大考生在備考過(guò)程中應(yīng)該對(duì)該問(wèn)題引起足夠的認(rèn)識(shí)，而不定方程問(wèn)題在國(guó)考數(shù)量關(guān)系中又屬于難點(diǎn)題型，因此考生更要在備考過(guò)程中做足準(zhǔn)備，熟悉?？碱}型及常見(jiàn)解題思路，并且靈活運(yùn)用常用方法進(jìn)行解題。下面我們就從題型和方法入手，回顧歷年真題，并且給大家一些解決不定方程問(wèn)題行之有效的方法。
一、不定方程問(wèn)題在國(guó)考中的?？碱}型
不定方程(組)是指未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程的個(gè)數(shù)的一個(gè)(或幾個(gè))方程組成的方程(組)。不定方程(組)的解一般有無(wú)數(shù)個(gè)，而根據(jù)不定方程(組)的這一特性，常見(jiàn)的命題方式有兩大類(lèi)：1.根據(jù)題目要求(如整數(shù)、質(zhì)數(shù)、范圍約束及條件約束等)求解不定方程(滿足以上要求的一組解)，而在求解過(guò)程中經(jīng)常會(huì)運(yùn)用到數(shù)字特性思想。2.根據(jù)題目要求列出不定方程組，直接進(jìn)行對(duì)某一整體求解(如多個(gè)未知數(shù)的和的解、兩個(gè)未知數(shù)之間的差值等)。
在了解了不定方程問(wèn)題的基本題型之后，我們通過(guò)幾道國(guó)考真題來(lái)講解以上兩類(lèi)固定題型的解題方法。
二、真題回顧
【例1】(2012-國(guó)家-68)某兒童藝術(shù)培訓(xùn)中心有5名鋼琴教師和6名拉丁舞教師，培訓(xùn)中心將所有的鋼琴學(xué)員和拉丁舞學(xué)員共76人分別平均地分給各個(gè)老師帶領(lǐng)，剛好能夠分完，且每位老師所帶的學(xué)生數(shù)量都是質(zhì)數(shù)。后來(lái)由于學(xué)生人數(shù)減少，培訓(xùn)中心只保留了4名鋼琴教師和3名拉丁舞教師，但每名教師所帶的學(xué)生數(shù)量不變，那么目前培訓(xùn)中心還剩下學(xué)員多少人?
A.36 B.37 C.39 D.41
分析：讀題之后我們?cè)O(shè)每位鋼琴老師帶x人，拉丁老師帶y人，由題意有5x+6y=76。兩個(gè)未知數(shù)，一個(gè)方程——不定方程問(wèn)題。屬于題型1，首先觀察上式：6y是偶數(shù)，76是偶數(shù)，由奇偶特性可知x必然為偶數(shù)。我們?cè)偃ヮ}干中尋找限制條件：題目要求每位老師所帶的人數(shù)是質(zhì)數(shù)，既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)的數(shù)字只有2。因此x=2，進(jìn)而解得y=11。于是現(xiàn)在有4×2+3×11=41人。
【例2】(2012-國(guó)家-76)超市將99個(gè)蘋(píng)果裝進(jìn)兩種包裝盒，大包裝盒每個(gè)裝12個(gè)蘋(píng)果，小包裝盒每個(gè)裝5個(gè)蘋(píng)果，共用了十多個(gè)盒子剛好裝完。問(wèn)兩種包裝盒相差多少個(gè)?()
A.3 B.4 C.7 D.13
分析：讀完題目后我們可設(shè)大盒x個(gè)，小盒y個(gè)，則由題意12x+5y=99。和例1一樣，首先由奇偶特性：12x為偶數(shù)，99為奇數(shù)，所以5y是奇數(shù)，因此5y的尾數(shù)只能是5，再由尾數(shù)特性12x的尾數(shù)只能是4。因此x=2或x=7，代入可得：當(dāng)x=2時(shí)y=15;當(dāng)x=7時(shí)y=3，x+y=10，不合題意，舍去。所以兩種包裝盒相差15-2=13個(gè)。
小結(jié)：例1和例2都是有題目所給條件，列出一個(gè)二元不定方程，再結(jié)合題目限制要求和數(shù)字特性的思想找出滿足題意的一組解，進(jìn)而得到答案。因此，我們?cè)诮鉀Q這類(lèi)問(wèn)題時(shí)要充分利用數(shù)字特性的思想，縮小滿足題意的解得范圍，在結(jié)合題意，終確定符合題目要求的解。另外，需要注意的是當(dāng)答案給出的完備的若干組解時(shí)，我們?cè)诹谐龇匠毯笾苯硬捎么肱懦ù_定答案即可。
【例3】(2009-國(guó)家-112)甲買(mǎi)了3支簽字筆、7支圓珠筆和1支鉛筆，共花了32元，乙買(mǎi)了4支同樣的簽字筆、10支圓珠筆和1支鉛筆，共花了43元。如果同樣的簽字筆、圓珠筆、鉛筆各買(mǎi)一支，共用多少錢(qián)?()
A.21元 B.11元 C.10元 D.17元
分析：設(shè)簽字筆每支x元，圓珠筆每支y元，鉛筆每支z元，則可得
，與之前兩道例題有所不同，本題由題意列出的方程為三元方程組，且方程個(gè)數(shù)為兩個(gè)，依然為不定方程(組)問(wèn)題。而設(shè)問(wèn)方式與之前也截然不同，所求為三種物品價(jià)格之和。因此在解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)我們直接將x+y+z作為一個(gè)整體進(jìn)行化簡(jiǎn)運(yùn)算，原方程組可轉(zhuǎn)化為：
，令a=x+y+z,b=x+3y;則方程組可轉(zhuǎn)化為：
，解得
。因此，簽字筆、圓珠筆、鉛筆各買(mǎi)一支需要10元。拓展：賦“0”法。設(shè)簽字筆每支x元，圓珠筆每支y元，鉛筆每支z元，可得
。我們無(wú)法求解出所有的未知數(shù)，因此我們不妨假設(shè)y=0，然后可求出
，x+y+z=10。需要注意的是，賦值的過(guò)程中我們可以對(duì)任一未知數(shù)進(jìn)行賦值，且只能進(jìn)行賦值。此方法適合在考試中迅速的解決此類(lèi)問(wèn)題，適用于絕大多數(shù)情況，解決問(wèn)題的本質(zhì)是運(yùn)用的所求之?dāng)?shù)為定值。當(dāng)所求不為定值，而是在題干中對(duì)未知數(shù)有某些限制時(shí)，我們就要運(yùn)用到例1和例2中的思想進(jìn)行分類(lèi)討論來(lái)解決了。