最值問題是國考每年的必考題型，華圖教育考試研究中心提醒考生考生備考中需要重點(diǎn)突破的題型。本文就最值問題的題型與知識點(diǎn)進(jìn)行梳理。
題型識別
當(dāng)題干中出現(xiàn)“至少……(才)保證……”、“至少……都”、“最……最多(少)……”、“排名第……最多(少)”等字眼時，均可判定該題為最值問題。
題型分類
最值問題重點(diǎn)考察最值思想。根據(jù)題目特點(diǎn)，最值問題可以分為三類，且每類的解答方法不同。
表1：最值問題各題型及對應(yīng)解法
題型名稱 識別特征 方法 重難點(diǎn)
抽屜原理 “至少……保證” 最不利的情況+1 找到最不利的情況
多
集
合
問
題 （滿足）A的有……，（滿足）B的有……，（滿足）C的有……，（問）滿足A、B和C的至少有……？ 構(gòu)造反向
最不利 正確識別題型
構(gòu)造數(shù)列
或不等式 “最（多）的……最（少）”、“排名第……最多（少）……” 構(gòu)造數(shù)列
或不等式 注意題干中“互不相等”與隱藏的“等”
考務(wù)考情
這三類題型在國考中均有考察，2008到2012年國考最值問題的分布見表2。
表2:2008-2012年國考最值問題題型分布
題型 考察年份
抽屜原理 2012
多集合問題 2008
構(gòu)造數(shù)列或不等式 2011、2010、2009
由表2可以看出，構(gòu)造數(shù)列或不等式為最值問題考核的重點(diǎn)。
典型例題詳解
抽屜原理
【例1】(2012-國家-66)有300名求職者參加高端人才專場招聘會，其中軟件設(shè)計(jì)類、市場營銷類、財務(wù)管理類和人力資源管理類分別有100、80、70和50人。問至少有多少人找到工作，才能保證一定有70名找到工作的人專業(yè)相同?()
A.71 B.119
C.258 D.277
【答案】C
【題眼】“至少……保證……”
【解析】本題屬于抽屜原理。最不利的情況是人力資源管理類50個人都找到工作，其他專業(yè)各69人找到工作。此時，再多一人，必然有一類達(dá)到70人，因此所求人數(shù)為69×3+50+1=258人。因此，本題答案為C選項(xiàng)。
【例2】(2012-深圳-16)有形狀、大小、材料完全相同的黑筷、白筷、紅筷各4雙，混雜在一起，要求閉著眼睛，保證從中摸出不同顏色的2雙筷子，則至少要摸出()根。
A.8 B.9
C.10 D.11
【答案】D
【題眼】“保證……至少……”
【解析】本題考察抽屜原理。最不利的情形是一種顏色的筷子摸出8支，其他兩種顏色每種摸出1支，此時只要再摸出一支，就能保證有兩雙不同顏色的筷子。因此至少要摸出8+2+1=11支筷子。因此，答案選擇D選項(xiàng)。
【點(diǎn)撥】抽屜原理問題難度較小，找出“最不利的條件”即可。
多集合問題
【例3】(2010-聯(lián)考918-40)某社團(tuán)共有46人，其中35人愛好戲劇，30人愛好體育，38人愛好寫作，40人愛好收藏，這個社團(tuán)至少有多少人以上四項(xiàng)活動都喜歡?()
A.5 B.6
C.7 D.8
【答案】A
【題眼】“至少……四項(xiàng)都……”
【解析】若“四項(xiàng)都喜歡的最少”，可考慮四項(xiàng)都不喜歡的最多。不愛好戲劇的有46-25=11人，不愛好體育的有46-30=16人，不愛好寫作的有46-38=8人，不愛好收藏的有46-40=6人，因此不全愛好的人最多有11+16+8+6=41人，全愛好的就有46-41=5人。因此，答案選擇A選項(xiàng)。
【點(diǎn)撥】本題根據(jù)最值思想，反向構(gòu)造。
【例4】(2008-國家-56)共有100個人參加某公司的招聘考試，考試的內(nèi)容共有5道題，1～5題分別有80人、92人、86人、78人和74人答對。答對3道和3道以上的人員能通過考試，請問至少有多少人能通過這次考試?()
A.30 B.55
C.70 D.74
【答案】C
【題眼】“至少……能”
【解析】1~5題答錯的人數(shù)分別有100-80=20、100-92=8、100-86=14、100-78=22、100-74=26人。則所有人錯題的數(shù)目=20+8+14+22+26=90，根據(jù)題意，答錯3道題目的人就不能通過考試，那么錯3題的人數(shù)最多=90÷3=30。則至少通過考試的人=100-30=70人。因此，答案選擇B選項(xiàng)。
【點(diǎn)撥】本題難度比上題稍大。首先根據(jù)逆向思維，將題目轉(zhuǎn)化為“錯3道題目的人數(shù)”的值，再根據(jù)錯題的總數(shù)目，最終求解。
構(gòu)造數(shù)列
【例5】(2009-國家-118)100人參加7項(xiàng)活動，已知每個人只參加一項(xiàng)活動，而且每項(xiàng)活動參加的人數(shù)都不一樣，那么，參加人數(shù)第四多的活動最多有幾個人參加?()
A.22 B.21
C.24 D.23
【答案】A
【題眼】“第四多……最多……”
【解析】參加第四多的活動的人數(shù)最多，就要保證參與其他活動的人最少，那么排名五、六、七的參加人數(shù)最少為3、2、1人，設(shè)參加第四多的人數(shù)為X人，則排名第三、二、一的參加人數(shù)至少為X+1、X+2、X+3，根據(jù)題意可得1+2+3+X+(X+1)+(X+2)+(X+3)=100，解得X=22。因此，答案選擇A選項(xiàng)。
【點(diǎn)撥】此題有三個關(guān)鍵點(diǎn)。一是“每項(xiàng)活動參加的人數(shù)都不一樣”是明確的“不等”。二是假定排名第四的參與人數(shù)確定，則排名第三、二、一的也可確定最小值。三是排名第七、六、五的參加人數(shù)為1、2和3。
【例6】(2010-國家-55)某機(jī)關(guān)20人參加百分制的普法考試，及格線為60分，20人的平均成績?yōu)?8分，及格率為95%。所有人得分均為整數(shù)，且彼此得分不同。問成績排名第十的人最低考了多少分?
A.89 B.88
C.91 D.90
【答案】A
【題眼】“第十的人……最低……”
【解析】20人總共失分(100-88)×20=240。根據(jù)20×95%=19，即只有1人不及格，要使第十名失分盡量多(得分盡量低)，則要保證其他人失分最少。則前9名分別失分0、1、…、8分，設(shè)第十名最少失分X，則第11名至第19名失分分別為X+1、X+2、…，X+9，第20名不及格，最少失分100-59=41，根據(jù)題意可得(0+1+…+8)+[X+(X+1)+(X+2)+…(X+9)]+41=240，解得X=11.8，則第10名最多失分11，得分89。因此，答案選擇A選項(xiàng)。
【點(diǎn)撥】本題和上題有相似之處，思路一致，但運(yùn)算難度大。題目與等差數(shù)列結(jié)合，需要運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式。難點(diǎn)一是根據(jù)總的失分確定(總分?jǐn)?shù)也可，但運(yùn)算量加大)，由排名第十的分?jǐn)?shù)，分別構(gòu)造排名1~9、11~19和第20名的分?jǐn)?shù)。難點(diǎn)二是求解結(jié)果為小數(shù)，注意取整。最多失分為11.8，取整為11。
【例7】(2011-聯(lián)考-46)10個箱子總重100公斤，且重量排在前三位的箱子總重不超過重量排在后三位的箱子總重的1.5倍。問最重的箱子重量最多是多少公斤?()
A.200/11 B.500/23
C.20 D.25
【答案】B
【題眼】“最重的……最多……”
【解析】要保證最重的最重，就要使其他的箱子最輕。設(shè)最重的箱子重為Y，最輕的箱子重X，為保證除最重的箱子外，其他箱子最輕，則其他九個箱子重量均為X，根據(jù)題意，9X+Y=500，Y+2X=1.5×3X，解得Y=2.5X=500/23。因此，答案選擇B選項(xiàng)。
【點(diǎn)撥】本題的難點(diǎn)在于正確構(gòu)造“最重的箱子最重”的情況，題干沒有明確的“不等”，需要去挖掘暗含的“等”。