10．（2012湖北荊州，10，3分）已知：順次連結(jié)矩形各邊的中點(diǎn)，得到一個(gè)菱形，如圖①；再順次連結(jié)菱形各邊的中點(diǎn)，得到一個(gè)新的矩形，如圖②；然后順次連結(jié)新的矩形各邊的中點(diǎn)，得到一個(gè)新的菱形，如圖③；如此反復(fù)操作下去，則第2012個(gè)圖形中直角三角形的個(gè)數(shù)有( )
A．8048個(gè) B．4024個(gè) C．2012個(gè) D．1066個(gè)
【解析】本題是規(guī)律探索題。觀察圖①有4個(gè)直角三角形， 圖②有四個(gè)直角三角形，圖③有8個(gè)直角三角形，圖④有8個(gè)直角三角形，圖⑤圖⑥有12個(gè)直角三角形……
可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律圖②→圖④→圖⑥→圖⑧→……
4 → 8 → 12 → 16 →……
直角三角形的個(gè)數(shù)，依次增加4個(gè)，并且圖形中直角三角形的個(gè)數(shù)是圖形序號的2倍，
所以第2012個(gè)圖形中直角三角形的個(gè)數(shù)有4024個(gè)
【答案】B
【點(diǎn)評】對于規(guī)律探索題，關(guān)鍵是尋找變化圖形中的不變的規(guī)律。
（2012•哈爾濱，題號22分值 6）22． 圖l、圖2是兩張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長均為1．點(diǎn)A和點(diǎn)B在小 正方形的頂點(diǎn)上．
(1)在圖1中畫出△ABC(點(diǎn)C在小正方形的頂點(diǎn)上)，使△ABC為直角三角形(畫一個(gè)
即可)；
(2)在圖2中畫出△ABD(點(diǎn)D在小正方形的頂點(diǎn)上)，使△ABD為等腰三角形(畫一個(gè)
即可)；
【解析】本題考查網(wǎng)格中的作圖能力、勾股定理以及等腰三角形性質(zhì).
（1）可以分三種情況來考慮：
以A（Ｂ）為直角頂點(diǎn)，過A（Ｂ）作ＡＢ垂線（點(diǎn)Ｃ不能落在格點(diǎn)上）
以C為直角頂點(diǎn)：斜邊AB=5，因此兩直角邊可以是3、4或 、 ；
（2）也分可分三情況考慮：
以A（B）為等腰三角形頂點(diǎn)：以A（B）為圓心，以5為半徑畫弧來確定頂點(diǎn)C；
以Ｃ為等腰三角形頂點(diǎn)：作AB垂直平分線連確定點(diǎn)C（點(diǎn)Ｃ不能落在格點(diǎn)上）.
【答案】
【點(diǎn)評】本題屬于實(shí)際動手操作題，主要考查學(xué)生對格點(diǎn)這一新概念的理解能力、直角三角形、等腰三角形的概念及性質(zhì)的掌握情況和分類討論的數(shù)學(xué)思想，有一定的難度，容易錯(cuò)解和漏解．
25. ( 2012年四川省巴中市,25,9)①如圖5,在每個(gè)小方格都是邊長為1個(gè)單位長度的正方形方格紙中有△OAB,請將△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)900,畫出旋轉(zhuǎn)后的△OA′B′
②折紙:有一張矩形紙片如圖6,要將點(diǎn)D沿某直線翻折1800,恰好落在BC邊上的D′處,請?jiān)趫D中作出該直線.
【解析】①如圖△OA′B′即是旋轉(zhuǎn)900后的圖形，②折痕為直線DD′的垂直平分線EF.
【答案】畫圖見解析
【點(diǎn)評】本題是對圖形變換中的旋轉(zhuǎn)及軸對稱變換的考查.
24．(2012廣安中考試題第24題，8分)（8分）現(xiàn)有一塊等腰三角形紙板，量得周長為32cm，底比一腰多2cm。若把這個(gè)三角形紙板沿其對稱軸剪開，拼成一個(gè)四邊形，請畫出你能拼成的各種四邊形的示意圖，并計(jì)算拼成的各個(gè)四邊形的兩條對角線長的和。
思路導(dǎo)引：動手操作，注意分類討論，進(jìn)行長度計(jì)算問題，聯(lián)系平行四邊形的性質(zhì)：對角線互相平分，以及直角三角形中的勾股定理分別對每一種情況進(jìn)行解答
解析：設(shè)AB=AC=xcm，則BC=（x+2）cm，根據(jù)題意得出x＋2＋2x=32，解得x=10。因此AB=AC=10cm，BC=12cm，過點(diǎn)A做AD⊥BC于點(diǎn)D，
∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD=6cm，AD= =8cm，
可以拼成4種四邊形，如圖所示：圖（1）中兩條對角線之和是10＋10=20（cm），
圖（2）中兩條對角線之和是（ ）（cm），
圖（3）中，BO= = =
兩條對角線之和是（ ）（cm），
圖（4）中，S△ABC= AC×BC= AB×OC，所以O(shè)C= = ，
兩條對角線之和是 ×2＋10=19.6（cm）；
點(diǎn)評：幾何圖形的有關(guān)剪切、拼接的動手操作問題，往往多解，因此應(yīng)當(dāng)分類討論，分類個(gè)數(shù)根據(jù)得出的幾何圖形的判定方法以及性質(zhì)進(jìn)行，圖形的有關(guān)計(jì)算，往往聯(lián)系直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)進(jìn)行.
專項(xiàng)四 動手操作型問題（38 ）
22．（2012北京，22，5）操作與探究：
（1）對數(shù)軸上的點(diǎn) 進(jìn)行如下操作：先把點(diǎn) 表示的數(shù)乘以 ，再把所得數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)向右平移1個(gè)單位，得到點(diǎn) 的對應(yīng)點(diǎn) .
點(diǎn) 在數(shù)軸上，對線段 上的每個(gè)點(diǎn)進(jìn)行上述操作后得到線段 ，其中點(diǎn) 的對應(yīng)點(diǎn)分別為 ．如圖1，若點(diǎn) 表示的數(shù)是 ，則點(diǎn) 表示的數(shù)是 ；若點(diǎn) 表示的數(shù)是2，則點(diǎn) 表示的數(shù)是 ；已知線段 上的點(diǎn) 經(jīng)過上述操作后得到的對應(yīng)點(diǎn) 與點(diǎn) 重合，則點(diǎn) 表示的數(shù)是 ；
（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系 中，對正方形 及其內(nèi)部的每個(gè)點(diǎn)進(jìn)行如下操作：把每個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都乘以同一種實(shí)數(shù) ，將得到的點(diǎn)先向右平移 個(gè)單位，再向上平移 個(gè)單位（ ），得到正方形 及其內(nèi)部的點(diǎn)，其中點(diǎn) 的對應(yīng)點(diǎn)分別為 。已知正方形 內(nèi)部的一個(gè)點(diǎn) 經(jīng)過上述操作后得到的對應(yīng)點(diǎn) 與點(diǎn) 重合，求點(diǎn) 的坐標(biāo)。
【解析】（1）–3× +1=0；設(shè)B點(diǎn)表示的數(shù)為a， a+1=2，a=3；設(shè)點(diǎn)E表示的數(shù)為a, a+1=a，解得a=
(2)由點(diǎn)A到A’，可得方程組 ；由B到B’，可得方程組 ，解得
設(shè)F點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y），點(diǎn)F’與點(diǎn)F重合得到方程組 ，解得 ，即F（1，4）
【答案】（1）0，3， （2）F（1，4）
【點(diǎn)評】本題考查了根據(jù)給出的條件列出方程或方程組，并解方程組的知識。
五、解答題（本題共22分，第23題7分，第24題7分，第25題8分）
23．（2012北京，23，7）已知二次函數(shù)
在 和 時(shí)的函數(shù)值相等。
（1） 求二次函數(shù)的解析式；
（2） 若函數(shù) 的圖象與二次函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn) ，求 和 的值；
（3） 設(shè)二次函數(shù)的圖象與 軸交于點(diǎn) （點(diǎn) 在點(diǎn) 的左側(cè)），將二次函數(shù)的圖象在點(diǎn) 間的部分（含點(diǎn) 和點(diǎn) ）向左平移 個(gè)單位后得到的圖象記為 ，同時(shí)將（2）中得到的直線 向上平移 個(gè)單位。請結(jié)合圖象回答：當(dāng)平移后的直線與圖象 有公共點(diǎn)時(shí)， 的取值范圍。
【解析】利用已知條件求二次函數(shù)及函數(shù)解析式。平移后的臨界點(diǎn)討論。
【答案】解：
（1）由題意 和 時(shí)的函數(shù)值相等可知，
解得 ，∴二次函數(shù)的解析式為
（2）∵二次函數(shù)圖象必經(jīng)過點(diǎn)A
∴
∵函數(shù)y=kx+6的圖象經(jīng)過點(diǎn)A
∴–3k+6= –6，∴k=4
（3）由題意可知，點(diǎn) 間的部分圖象的解析式為 ，
則向左平移后得到的圖象 的解析式為
此時(shí)平移后的解析式為
由圖象可知，平移后的直線與圖象 有公共點(diǎn)，
則兩個(gè)臨界的交點(diǎn)為 與
則
∴
【點(diǎn)評】前兩問都比較簡單，第三問有一定難度，考察學(xué)生對于函數(shù)圖象平移的理解，以及對于直線與拋物線位置關(guān)系的運(yùn)用。此題的關(guān)鍵在于臨界點(diǎn)討論需要同學(xué)們能夠表示出臨界點(diǎn)的坐標(biāo)，帶入直線解析式即可得到n的取值范圍。
24．（2012北京，24，7）在 中， ， 是 的中點(diǎn)， 是線段 上的動點(diǎn)，將線段 繞點(diǎn) 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 得到線段 。
（1） 若 且點(diǎn) 與點(diǎn) 重合（如圖1），線段 的延長線交射線 于點(diǎn) ，請補(bǔ)全圖形，并寫出 的度數(shù)；
（2） 在圖2中，點(diǎn) 不與點(diǎn) 重合，線段 的延長線與射線 交于點(diǎn) ，猜想 的大?。ㄓ煤?的代數(shù)式表示），并加以證明；
（3） 對于適當(dāng)大小的 ，當(dāng)點(diǎn) 在線段 上運(yùn)動到某一位置（不與點(diǎn) ， 重合）時(shí)，能使得線段 的延長線與射線 交于點(diǎn) ，且 ，請直接寫出 的范圍。
【解析】動點(diǎn)問題和幾何變換結(jié)合
【答案】⑴
⑵ 連接 ，易證
∴
又∵
∴ ，
⑶ ∵ 且
∴
∵點(diǎn) 不與點(diǎn) 重合
∴
∴
∴
【點(diǎn)評】此題并沒有考察常見的動點(diǎn)問題，而是將動點(diǎn)問題和幾何變換結(jié)合在一起，應(yīng)用一個(gè)點(diǎn)構(gòu)造2倍角。需要同學(xué)們注意圖形運(yùn)動過程中的不變量，此題可以用倒角（上述答案的方法）或是構(gòu)造輔助圓的方法解決。
25．（2012北京，25，8）在平面直角坐標(biāo)系 中，對于任意兩點(diǎn) 與 的“非常距離”，給出如下定義：
若 ，則點(diǎn) 與點(diǎn) 的“非常距離”為 ；
若 ，則點(diǎn) 與點(diǎn) 的“非常距離”為 .
例如：點(diǎn) ，點(diǎn) ，因?yàn)?，所以點(diǎn) 與點(diǎn) 的“非常距離”為 ，也就是圖1中線段 與線段 長度的較大值（點(diǎn) 為垂直于 軸的直線 與垂直于 軸的直線 的交點(diǎn)）。
（1）已知點(diǎn) ， 為 軸上的一個(gè)動點(diǎn)，
①若點(diǎn) 與點(diǎn) 的“非常距離”為2，寫出一個(gè)滿足條件的點(diǎn) 的坐標(biāo)；
②直接寫出點(diǎn) 與點(diǎn) 的“非常距離”的小值；
（2）已知 是直線 上的一個(gè)動點(diǎn)，
①如圖2，點(diǎn) 的坐標(biāo)是（0，1），求點(diǎn) 與點(diǎn) 的“非常距離”的小值及相應(yīng)的點(diǎn) 的坐標(biāo)；
②如圖3， 是以原點(diǎn) 為圓心，1為半徑的圓上的一個(gè)動點(diǎn)，求點(diǎn) 與點(diǎn) 的“非常距離”
的小值及相應(yīng)的點(diǎn) 和點(diǎn) 的坐標(biāo)。
【解析】幾何圖形值問題
【答案】⑴ ① 或
②
⑵ ①設(shè) 坐標(biāo)
∴當(dāng)
此時(shí)
∴距離為
此時(shí) .
②從第二題第一問的作圖中可以發(fā)現(xiàn)，過C點(diǎn)向x、y軸作垂線，當(dāng)CP和CQ長度相等的時(shí)候“非常距離”短，理由是，如果向下（如左圖）或向上（如右圖）移動C點(diǎn)到達(dá)C’點(diǎn)，其與點(diǎn)D的“非常距離”都會增大。故而C、D為正方形相對的兩個(gè)頂點(diǎn)時(shí)有小的非常距離。
過O作直線 的垂線，交⊙O于點(diǎn)E，此時(shí)點(diǎn)E離直線近，易得
設(shè)D（x0, x0+3）
根據(jù)分析得知EF=EF
∴
∴
小值1。
【點(diǎn)評】此題是第在代數(shù)題目中用到了定義新運(yùn)算，題目很新穎。知識點(diǎn)融合度較高。需要同學(xué)們有較強(qiáng)的閱讀理解題目的能力和數(shù)形結(jié)合能力。計(jì)算并不復(fù)雜，關(guān)鍵在于對于幾何圖形值問題的探討。
18．（2012浙江省溫州市，18，8分）如圖，在方格紙中，的三個(gè)頂點(diǎn)及A、B、C、D、E五個(gè)點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)上。現(xiàn)以A、B、C、D、E中的三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)畫三角形。
（1）在圖甲中畫出一個(gè)三角形與△PQR全等；
（2）在圖乙中畫出一個(gè)三角形與△PQR面△PQR積相等但不全等
【解析】一定要牢牢把握全等三角形的判定條件。全等三角形的條件必須有一個(gè)邊作為條件，然后通過觀察，找到其他合適的邊和角．面積相等的條件一般是等底，等高。
【答案】
【點(diǎn)評】本題是一道方案設(shè)計(jì)題，考察了學(xué)生的應(yīng)用知識的能力，考查的方式比較靈活．
23. （2012浙江省衢州，23，10分）課本中，把長與寬之比為 的矩形紙片稱為標(biāo)準(zhǔn)紙.請思考解決下列問題：
（1）將一張標(biāo)準(zhǔn)紙ABCD(AB＜BC)對開，如圖1所示，所得的矩形紙片ABEF是標(biāo)準(zhǔn)紙.請給予證明.
（2）在綜合實(shí)踐課上，小明嘗試著將矩形紙片ABCD(AB＜BC)進(jìn)行如下操作：
第一步：沿過A點(diǎn)的直線折疊，使B點(diǎn)落在AD邊上點(diǎn)F處，折痕為AE(如圖2甲)；
第二步：沿過D點(diǎn)的直線折疊，使C點(diǎn)落在AD邊上點(diǎn)N處，折痕為DG(如圖2乙) .此時(shí)E點(diǎn)恰好落在AE邊上的點(diǎn)M處；
第三步：沿直線DM折疊(如圖2丙)，此時(shí)點(diǎn)G恰好與N點(diǎn)重合.
請你研究，矩形紙片ABCD是否是一張標(biāo)準(zhǔn)紙？請說明理由.
（3）不難發(fā)現(xiàn)，將一張標(biāo)準(zhǔn)紙如圖3又對開后，所得的矩形紙片都是標(biāo)準(zhǔn)紙.現(xiàn)有一張標(biāo)準(zhǔn)紙ABCD，AB＝1，BC＝ ，問第5次對開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長是多少？探索并直接寫出第2012次對開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長.
【解析】（1）證明矩形ABEF長與寬之比為 ；
（2）利用△ABE≌△AFE和勾股定理證明矩形ABCD長與寬之比為 ；
（3）利用第（1）的結(jié)論進(jìn)行規(guī)律探索.
【答案】解：（1）是標(biāo)準(zhǔn)紙.理由如下：
∵矩形ABCD是標(biāo)準(zhǔn)紙，∴
由對開的含義知：AF＝ …1分
∴
∴矩形紙片ABEF也是標(biāo)準(zhǔn)紙. …2分
（2）是標(biāo)準(zhǔn)紙.理由如下：設(shè)AB＝CD＝a
由圖形折疊可知：DN＝CD＝DG＝a …3分
DG⊥EM
∵由圖形折疊可知：△ABE≌△AFE
∴∠DAE＝ ∠BAD＝45°
∴△ADG是等腰直角三角形 …4分
∴在Rt△ADG中，AD＝ …5分
∴
∴矩形紙片ABCD是一張標(biāo)準(zhǔn)紙 …6分
（3）
對開次數(shù) 第 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 …
周長 2(1+ ) 2( + ) 2( + ) 2( + ) 2( + ) 2( + ) …
∴第5次對開后所得的標(biāo)準(zhǔn)紙的周長為： …8分
∴ 第2012次對開后所得的標(biāo)準(zhǔn)紙的周長為： …10分
【點(diǎn)評】本題著重考查了線段的比，圖形的折疊，三角形全等的判定和勾股定理以及規(guī)律探索問題，主要培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力、觀察能力和歸納總結(jié)能力．找規(guī)律的題目，應(yīng)以第一個(gè)圖形為基準(zhǔn)，細(xì)心觀察，得到第n個(gè)圖形與第一個(gè)圖形之間的關(guān)系．解題的關(guān)鍵是認(rèn)真閱讀題目，從中找出相關(guān)的知識點(diǎn)運(yùn)用定義和定理進(jìn)行解答.
專項(xiàng)四 動手操作型問題（38 ）
10．（2012四川內(nèi)江，10，3分）如圖3，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，點(diǎn)E、F分別在AB、CD上，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)A、D分別落在矩形ABCD外部的點(diǎn)A1、D1處，則陰影部分圖形的周長為
A．15 B．20 C．25 D．30
【解析】由折疊，知陰影部分圖形的周長＝EA1＋A1D1＋BC＋FC＋EB＋D1F＝EA＋AD＋BC＋FC＋EB＋DF＝(EA＋EB)＋AD＋BC＋(FC＋DF)＝AB＋AD＋BC＋CD＝2(AB＋BC)＝2(10＋5)＝30．
【答案】D
【點(diǎn)評】折疊問題中蘊(yùn)涵軸對稱的數(shù)學(xué)道理，解決時(shí)往往需要從線，角，形三方面考慮．此題是單從線的方面發(fā)現(xiàn)折疊前后的相等線段，結(jié)合矩形的性質(zhì)考查學(xué)生“做數(shù)學(xué)，學(xué)數(shù)學(xué)”的能力，并從中滲透整體思想．
16. （2012江蘇鹽城，16，3分）如圖，在△ABC中，D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，∠B=500，現(xiàn)將△ADE沿DE折疊，點(diǎn)A落在三角形所在平面內(nèi)的點(diǎn)為A1，則∠BDA1的度數(shù)為 .
【解析】本題考查了角的計(jì)算.掌握折疊的性質(zhì)是關(guān)鍵.先由中位線定理證明DE∥BC，得到∠ADE=∠B=500，再由折疊可知：∠ADE=∠EDA1，再利用鄰補(bǔ)角就可以計(jì)算出∠BDA1的度數(shù).
【答案】因?yàn)镈、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，所以DE∥BC，所以∠ADE=∠B=500，再由折疊可知：∠ADE=∠EDA1，所以∠BDA1=1800-500-500=800.
【點(diǎn)評】本題以折紙為背景，考查了鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)、三角形中位線定理以及折疊后角重合等問題，考查了同學(xué)們的分析問題、解決問題的綜合能力.
（2012四川成都，25，4分）如圖，長方形紙片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步驟進(jìn)行裁剪和拼圖：
第一步：如圖①，在線段AD上任意取一點(diǎn)E，沿EB，EC剪下一個(gè)三角形紙片EBC(余下部分不再使用)；
第二步：如圖②，沿三角形EBC的中位線GH將紙片剪成兩部分，并在線段GH上任意取一點(diǎn)M，線段BC上任意取一點(diǎn)N，沿MN將梯形紙片GBCH剪成兩部分；
第三步：如圖③，將MN左側(cè)紙片繞G點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°，使線段GB與GE重合，將MN右側(cè)紙片繞H點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°，使線段HC與HE重合，拼成一個(gè)與三角形紙片EBC面積相等的四邊形紙片．
(注：裁剪和拼圖過程均無縫且不重疊)
則拼成的這個(gè)四邊形紙片的周長的小值為________cm，大值為________cm．
解析：通過操作，我們可以看到后所得的四邊形紙片是一個(gè)平行四邊形，其上下兩條邊的長度等于原來矩形的邊AD=6，左右兩邊的長等于線段MN的長，當(dāng)MN垂直于BC時(shí)，其長度短，等于原來矩形的邊AB的一半，等于4，于是這個(gè)平行四邊形的周長的小值為2（6+4）=20；當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，點(diǎn)M與點(diǎn)G重合，點(diǎn)N與點(diǎn)C重合時(shí)，線段MN長，等于 ，此時(shí)，這個(gè)四邊形的周長大，其值為2（6+ ）=12+ 。
答案：20；12+ .
點(diǎn)評：本題需要較好的空間想象能力和探究能力，解題時(shí)可以邊操作邊探究。將終的四邊形的一周的線段分成長度不變的和可以變化的，然后研究變化的邊相關(guān)的邊的變化范圍，這是一種轉(zhuǎn)化思想。
23. （2012浙江省衢州，23，10分）課本中，把長與寬之比為 的矩形紙片稱為標(biāo)準(zhǔn)紙.請思考解決下列問題：
（1）將一張標(biāo)準(zhǔn)紙ABCD(AB＜BC)對開，如圖1所示，所得的矩形紙片ABEF是標(biāo)準(zhǔn)紙.請給予證明.
（2）在綜合實(shí)踐課上，小明嘗試著將矩形紙片ABCD(AB＜BC)進(jìn)行如下操作：
第一步：沿過A點(diǎn)的直線折疊，使B點(diǎn)落在AD邊上點(diǎn)F處，折痕為AE(如圖2甲)；
第二步：沿過D點(diǎn)的直線折疊，使C點(diǎn)落在AD邊上點(diǎn)N處，折痕為DG(如圖2乙) .此時(shí)E點(diǎn)恰好落在AE邊上的點(diǎn)M處；
第三步：沿直線DM折疊(如圖2丙)，此時(shí)點(diǎn)G恰好與N點(diǎn)重合.
請你研究，矩形紙片ABCD是否是一張標(biāo)準(zhǔn)紙？請說明理由.
（3）不難發(fā)現(xiàn)，將一張標(biāo)準(zhǔn)紙如圖3又對開后，所得的矩形紙片都是標(biāo)準(zhǔn)紙.現(xiàn)有一張標(biāo)準(zhǔn)紙ABCD，AB＝1，BC＝ ，問第5次對開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長是多少？探索并直接寫出第2012次對開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長.
【解析】（1）證明矩形ABEF長與寬之比為 ；
（2）利用△ABE≌△AFE和勾股定理證明矩形ABCD長與寬之比為 ；
（3）利用第（1）的結(jié)論進(jìn)行規(guī)律探索.
【答案】解：（1）是標(biāo)準(zhǔn)紙.理由如下：
∵矩形ABCD是標(biāo)準(zhǔn)紙，∴
由對開的含義知：AF＝ …1分
∴
∴矩形紙片ABEF也是標(biāo)準(zhǔn)紙. …2分
（2）是標(biāo)準(zhǔn)紙.理由如下：設(shè)AB＝CD＝a
由圖形折疊可知：DN＝CD＝DG＝a …3分
DG⊥EM
∵由圖形折疊可知：△ABE≌△AFE
∴∠DAE＝ ∠BAD＝45°
∴△ADG是等腰直角三角形 …4分
∴在Rt△ADG中，AD＝ …5分
∴
∴矩形紙片ABCD是一張標(biāo)準(zhǔn)紙 …6分
（3）
對開次數(shù) 第 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 …
周長 2(1+ ) 2( + ) 2( + ) 2( + ) 2( + ) 2( + ) …
∴第5次對開后所得的標(biāo)準(zhǔn)紙的周長為： …8分
∴ 第2012次對開后所得的標(biāo)準(zhǔn)紙的周長為： …10分
【點(diǎn)評】本題著重考查了線段的比，圖形的折疊，三角形全等的判定和勾股定理以及規(guī)律探索問題，主要培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力、觀察能力和歸納總結(jié)能力．找規(guī)律的題目，應(yīng)以第一個(gè)圖形為基準(zhǔn)，細(xì)心觀察，得到第n個(gè)圖形與第一個(gè)圖形之間的關(guān)系．解題的關(guān)鍵是認(rèn)真閱讀題目，從中找出相關(guān)的知識點(diǎn)運(yùn)用定義和定理進(jìn)行解答.
25. ( 2012年浙江省寧波市,25,10)鄰邊不相等的平行四邊形紙片，剪去一個(gè)菱形，余下一個(gè)四邊形，稱為第操作，在余下的四邊形紙片中再剪去一個(gè)菱形，余下一個(gè)四邊形，稱為第二次操作，……依次類推，若第n次余下的四邊形是菱形，則稱原平行四邊形為n階準(zhǔn)菱形，如圖1，□ABCD中，若AB=1,BC=2,則□ABCD為1階準(zhǔn)菱形.
(1)判斷現(xiàn)推理:
①鄰邊長分別為2和3的平行四邊形是____階準(zhǔn)菱形;
②小明為了得剪去一個(gè)菱形,進(jìn)行如下操作:如圖2,把□ABCD沿BE折疊(點(diǎn)E在AD上),使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)F,,得到四邊形,請證明四邊形是菱形.
(2)操作、探究、計(jì)算：
①已知的邊長分別為1，a(a﹥1)且是3階準(zhǔn)菱形，請畫出□ABCD及裁剪線的示意圖，并在下方寫出的a值
②已知□ABCD的鄰邊長分別為a,b(a﹥b),滿足a=6b+r,b=5r,請寫出□ABCD是幾階準(zhǔn)菱形
【解析】（1）①根據(jù)鄰邊長分別為2和3的平行四邊形進(jìn)過兩次操作即可得出所剩四邊形是菱形，即可得出答案；②根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AE∥BF，進(jìn)而得出AE=BF，即可得出答案；（2）①如圖所示：
②∵a=6b+r，b=5r，∴a=6×5r+r=31r；
如圖所示：故□ABCD是10階準(zhǔn)菱形．
（2）①利用3階準(zhǔn)菱形的定義，即可得出答案；②根據(jù)a=6b+r，b=5r，用r表示出各邊長，進(jìn)而利用圖形得出□ABCD是幾階準(zhǔn)菱形．
【答案】(1) ①2，②由折疊知：∠ABE=∠FBE,AB=BF
∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AE∥BF
∴∠AEB=∠FBE,∴∠AEB=∠ABE,
∴四邊形ABFE是平行四邊形,
∴四邊形ABFE是菱形,
(2)a=4,a=52 ,a=43 ,a=53 .(圖同解析)
【點(diǎn)評】此題主要考查了圖形的剪拼以及菱形的判定，根據(jù)已知n階準(zhǔn)菱形定義正確將平行四邊形分割是解題關(guān)鍵．
A．8048個(gè) B．4024個(gè) C．2012個(gè) D．1066個(gè)
【解析】本題是規(guī)律探索題。觀察圖①有4個(gè)直角三角形， 圖②有四個(gè)直角三角形，圖③有8個(gè)直角三角形，圖④有8個(gè)直角三角形，圖⑤圖⑥有12個(gè)直角三角形……
可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律圖②→圖④→圖⑥→圖⑧→……
4 → 8 → 12 → 16 →……
直角三角形的個(gè)數(shù)，依次增加4個(gè)，并且圖形中直角三角形的個(gè)數(shù)是圖形序號的2倍，
所以第2012個(gè)圖形中直角三角形的個(gè)數(shù)有4024個(gè)
【答案】B
【點(diǎn)評】對于規(guī)律探索題，關(guān)鍵是尋找變化圖形中的不變的規(guī)律。
（2012•哈爾濱，題號22分值 6）22． 圖l、圖2是兩張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長均為1．點(diǎn)A和點(diǎn)B在小 正方形的頂點(diǎn)上．
(1)在圖1中畫出△ABC(點(diǎn)C在小正方形的頂點(diǎn)上)，使△ABC為直角三角形(畫一個(gè)
即可)；
(2)在圖2中畫出△ABD(點(diǎn)D在小正方形的頂點(diǎn)上)，使△ABD為等腰三角形(畫一個(gè)
即可)；
【解析】本題考查網(wǎng)格中的作圖能力、勾股定理以及等腰三角形性質(zhì).
（1）可以分三種情況來考慮：
以A（Ｂ）為直角頂點(diǎn)，過A（Ｂ）作ＡＢ垂線（點(diǎn)Ｃ不能落在格點(diǎn)上）
以C為直角頂點(diǎn)：斜邊AB=5，因此兩直角邊可以是3、4或 、 ；
（2）也分可分三情況考慮：
以A（B）為等腰三角形頂點(diǎn)：以A（B）為圓心，以5為半徑畫弧來確定頂點(diǎn)C；
以Ｃ為等腰三角形頂點(diǎn)：作AB垂直平分線連確定點(diǎn)C（點(diǎn)Ｃ不能落在格點(diǎn)上）.
【答案】
【點(diǎn)評】本題屬于實(shí)際動手操作題，主要考查學(xué)生對格點(diǎn)這一新概念的理解能力、直角三角形、等腰三角形的概念及性質(zhì)的掌握情況和分類討論的數(shù)學(xué)思想，有一定的難度，容易錯(cuò)解和漏解．
25. ( 2012年四川省巴中市,25,9)①如圖5,在每個(gè)小方格都是邊長為1個(gè)單位長度的正方形方格紙中有△OAB,請將△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)900,畫出旋轉(zhuǎn)后的△OA′B′
②折紙:有一張矩形紙片如圖6,要將點(diǎn)D沿某直線翻折1800,恰好落在BC邊上的D′處,請?jiān)趫D中作出該直線.
【解析】①如圖△OA′B′即是旋轉(zhuǎn)900后的圖形，②折痕為直線DD′的垂直平分線EF.
【答案】畫圖見解析
【點(diǎn)評】本題是對圖形變換中的旋轉(zhuǎn)及軸對稱變換的考查.
24．(2012廣安中考試題第24題，8分)（8分）現(xiàn)有一塊等腰三角形紙板，量得周長為32cm，底比一腰多2cm。若把這個(gè)三角形紙板沿其對稱軸剪開，拼成一個(gè)四邊形，請畫出你能拼成的各種四邊形的示意圖，并計(jì)算拼成的各個(gè)四邊形的兩條對角線長的和。
思路導(dǎo)引：動手操作，注意分類討論，進(jìn)行長度計(jì)算問題，聯(lián)系平行四邊形的性質(zhì)：對角線互相平分，以及直角三角形中的勾股定理分別對每一種情況進(jìn)行解答
解析：設(shè)AB=AC=xcm，則BC=（x+2）cm，根據(jù)題意得出x＋2＋2x=32，解得x=10。因此AB=AC=10cm，BC=12cm，過點(diǎn)A做AD⊥BC于點(diǎn)D，
∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD=6cm，AD= =8cm，
可以拼成4種四邊形，如圖所示：圖（1）中兩條對角線之和是10＋10=20（cm），
圖（2）中兩條對角線之和是（ ）（cm），
圖（3）中，BO= = =
兩條對角線之和是（ ）（cm），
圖（4）中，S△ABC= AC×BC= AB×OC，所以O(shè)C= = ，
兩條對角線之和是 ×2＋10=19.6（cm）；
點(diǎn)評：幾何圖形的有關(guān)剪切、拼接的動手操作問題，往往多解，因此應(yīng)當(dāng)分類討論，分類個(gè)數(shù)根據(jù)得出的幾何圖形的判定方法以及性質(zhì)進(jìn)行，圖形的有關(guān)計(jì)算，往往聯(lián)系直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)進(jìn)行.
專項(xiàng)四 動手操作型問題（38 ）
22．（2012北京，22，5）操作與探究：
（1）對數(shù)軸上的點(diǎn) 進(jìn)行如下操作：先把點(diǎn) 表示的數(shù)乘以 ，再把所得數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)向右平移1個(gè)單位，得到點(diǎn) 的對應(yīng)點(diǎn) .
點(diǎn) 在數(shù)軸上，對線段 上的每個(gè)點(diǎn)進(jìn)行上述操作后得到線段 ，其中點(diǎn) 的對應(yīng)點(diǎn)分別為 ．如圖1，若點(diǎn) 表示的數(shù)是 ，則點(diǎn) 表示的數(shù)是 ；若點(diǎn) 表示的數(shù)是2，則點(diǎn) 表示的數(shù)是 ；已知線段 上的點(diǎn) 經(jīng)過上述操作后得到的對應(yīng)點(diǎn) 與點(diǎn) 重合，則點(diǎn) 表示的數(shù)是 ；
（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系 中，對正方形 及其內(nèi)部的每個(gè)點(diǎn)進(jìn)行如下操作：把每個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都乘以同一種實(shí)數(shù) ，將得到的點(diǎn)先向右平移 個(gè)單位，再向上平移 個(gè)單位（ ），得到正方形 及其內(nèi)部的點(diǎn)，其中點(diǎn) 的對應(yīng)點(diǎn)分別為 。已知正方形 內(nèi)部的一個(gè)點(diǎn) 經(jīng)過上述操作后得到的對應(yīng)點(diǎn) 與點(diǎn) 重合，求點(diǎn) 的坐標(biāo)。
【解析】（1）–3× +1=0；設(shè)B點(diǎn)表示的數(shù)為a， a+1=2，a=3；設(shè)點(diǎn)E表示的數(shù)為a, a+1=a，解得a=
(2)由點(diǎn)A到A’，可得方程組 ；由B到B’，可得方程組 ，解得
設(shè)F點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y），點(diǎn)F’與點(diǎn)F重合得到方程組 ，解得 ，即F（1，4）
【答案】（1）0，3， （2）F（1，4）
【點(diǎn)評】本題考查了根據(jù)給出的條件列出方程或方程組，并解方程組的知識。
五、解答題（本題共22分，第23題7分，第24題7分，第25題8分）
23．（2012北京，23，7）已知二次函數(shù)
在 和 時(shí)的函數(shù)值相等。
（1） 求二次函數(shù)的解析式；
（2） 若函數(shù) 的圖象與二次函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn) ，求 和 的值；
（3） 設(shè)二次函數(shù)的圖象與 軸交于點(diǎn) （點(diǎn) 在點(diǎn) 的左側(cè)），將二次函數(shù)的圖象在點(diǎn) 間的部分（含點(diǎn) 和點(diǎn) ）向左平移 個(gè)單位后得到的圖象記為 ，同時(shí)將（2）中得到的直線 向上平移 個(gè)單位。請結(jié)合圖象回答：當(dāng)平移后的直線與圖象 有公共點(diǎn)時(shí)， 的取值范圍。
【解析】利用已知條件求二次函數(shù)及函數(shù)解析式。平移后的臨界點(diǎn)討論。
【答案】解：
（1）由題意 和 時(shí)的函數(shù)值相等可知，
解得 ，∴二次函數(shù)的解析式為
（2）∵二次函數(shù)圖象必經(jīng)過點(diǎn)A
∴
∵函數(shù)y=kx+6的圖象經(jīng)過點(diǎn)A
∴–3k+6= –6，∴k=4
（3）由題意可知，點(diǎn) 間的部分圖象的解析式為 ，
則向左平移后得到的圖象 的解析式為
此時(shí)平移后的解析式為
由圖象可知，平移后的直線與圖象 有公共點(diǎn)，
則兩個(gè)臨界的交點(diǎn)為 與
則
∴
【點(diǎn)評】前兩問都比較簡單，第三問有一定難度，考察學(xué)生對于函數(shù)圖象平移的理解，以及對于直線與拋物線位置關(guān)系的運(yùn)用。此題的關(guān)鍵在于臨界點(diǎn)討論需要同學(xué)們能夠表示出臨界點(diǎn)的坐標(biāo)，帶入直線解析式即可得到n的取值范圍。
24．（2012北京，24，7）在 中， ， 是 的中點(diǎn)， 是線段 上的動點(diǎn)，將線段 繞點(diǎn) 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 得到線段 。
（1） 若 且點(diǎn) 與點(diǎn) 重合（如圖1），線段 的延長線交射線 于點(diǎn) ，請補(bǔ)全圖形，并寫出 的度數(shù)；
（2） 在圖2中，點(diǎn) 不與點(diǎn) 重合，線段 的延長線與射線 交于點(diǎn) ，猜想 的大?。ㄓ煤?的代數(shù)式表示），并加以證明；
（3） 對于適當(dāng)大小的 ，當(dāng)點(diǎn) 在線段 上運(yùn)動到某一位置（不與點(diǎn) ， 重合）時(shí)，能使得線段 的延長線與射線 交于點(diǎn) ，且 ，請直接寫出 的范圍。
【解析】動點(diǎn)問題和幾何變換結(jié)合
【答案】⑴
⑵ 連接 ，易證
∴
又∵
∴ ，
⑶ ∵ 且
∴
∵點(diǎn) 不與點(diǎn) 重合
∴
∴
∴
【點(diǎn)評】此題并沒有考察常見的動點(diǎn)問題，而是將動點(diǎn)問題和幾何變換結(jié)合在一起，應(yīng)用一個(gè)點(diǎn)構(gòu)造2倍角。需要同學(xué)們注意圖形運(yùn)動過程中的不變量，此題可以用倒角（上述答案的方法）或是構(gòu)造輔助圓的方法解決。
25．（2012北京，25，8）在平面直角坐標(biāo)系 中，對于任意兩點(diǎn) 與 的“非常距離”，給出如下定義：
若 ，則點(diǎn) 與點(diǎn) 的“非常距離”為 ；
若 ，則點(diǎn) 與點(diǎn) 的“非常距離”為 .
例如：點(diǎn) ，點(diǎn) ，因?yàn)?，所以點(diǎn) 與點(diǎn) 的“非常距離”為 ，也就是圖1中線段 與線段 長度的較大值（點(diǎn) 為垂直于 軸的直線 與垂直于 軸的直線 的交點(diǎn)）。
（1）已知點(diǎn) ， 為 軸上的一個(gè)動點(diǎn)，
①若點(diǎn) 與點(diǎn) 的“非常距離”為2，寫出一個(gè)滿足條件的點(diǎn) 的坐標(biāo)；
②直接寫出點(diǎn) 與點(diǎn) 的“非常距離”的小值；
（2）已知 是直線 上的一個(gè)動點(diǎn)，
①如圖2，點(diǎn) 的坐標(biāo)是（0，1），求點(diǎn) 與點(diǎn) 的“非常距離”的小值及相應(yīng)的點(diǎn) 的坐標(biāo)；
②如圖3， 是以原點(diǎn) 為圓心，1為半徑的圓上的一個(gè)動點(diǎn)，求點(diǎn) 與點(diǎn) 的“非常距離”
的小值及相應(yīng)的點(diǎn) 和點(diǎn) 的坐標(biāo)。
【解析】幾何圖形值問題
【答案】⑴ ① 或
②
⑵ ①設(shè) 坐標(biāo)
∴當(dāng)
此時(shí)
∴距離為
此時(shí) .
②從第二題第一問的作圖中可以發(fā)現(xiàn)，過C點(diǎn)向x、y軸作垂線，當(dāng)CP和CQ長度相等的時(shí)候“非常距離”短，理由是，如果向下（如左圖）或向上（如右圖）移動C點(diǎn)到達(dá)C’點(diǎn)，其與點(diǎn)D的“非常距離”都會增大。故而C、D為正方形相對的兩個(gè)頂點(diǎn)時(shí)有小的非常距離。
過O作直線 的垂線，交⊙O于點(diǎn)E，此時(shí)點(diǎn)E離直線近，易得
設(shè)D（x0, x0+3）
根據(jù)分析得知EF=EF
∴
∴
小值1。
【點(diǎn)評】此題是第在代數(shù)題目中用到了定義新運(yùn)算，題目很新穎。知識點(diǎn)融合度較高。需要同學(xué)們有較強(qiáng)的閱讀理解題目的能力和數(shù)形結(jié)合能力。計(jì)算并不復(fù)雜，關(guān)鍵在于對于幾何圖形值問題的探討。
18．（2012浙江省溫州市，18，8分）如圖，在方格紙中，的三個(gè)頂點(diǎn)及A、B、C、D、E五個(gè)點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)上。現(xiàn)以A、B、C、D、E中的三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)畫三角形。
（1）在圖甲中畫出一個(gè)三角形與△PQR全等；
（2）在圖乙中畫出一個(gè)三角形與△PQR面△PQR積相等但不全等
【解析】一定要牢牢把握全等三角形的判定條件。全等三角形的條件必須有一個(gè)邊作為條件，然后通過觀察，找到其他合適的邊和角．面積相等的條件一般是等底，等高。
【答案】
【點(diǎn)評】本題是一道方案設(shè)計(jì)題，考察了學(xué)生的應(yīng)用知識的能力，考查的方式比較靈活．
23. （2012浙江省衢州，23，10分）課本中，把長與寬之比為 的矩形紙片稱為標(biāo)準(zhǔn)紙.請思考解決下列問題：
（1）將一張標(biāo)準(zhǔn)紙ABCD(AB＜BC)對開，如圖1所示，所得的矩形紙片ABEF是標(biāo)準(zhǔn)紙.請給予證明.
（2）在綜合實(shí)踐課上，小明嘗試著將矩形紙片ABCD(AB＜BC)進(jìn)行如下操作：
第一步：沿過A點(diǎn)的直線折疊，使B點(diǎn)落在AD邊上點(diǎn)F處，折痕為AE(如圖2甲)；
第二步：沿過D點(diǎn)的直線折疊，使C點(diǎn)落在AD邊上點(diǎn)N處，折痕為DG(如圖2乙) .此時(shí)E點(diǎn)恰好落在AE邊上的點(diǎn)M處；
第三步：沿直線DM折疊(如圖2丙)，此時(shí)點(diǎn)G恰好與N點(diǎn)重合.
請你研究，矩形紙片ABCD是否是一張標(biāo)準(zhǔn)紙？請說明理由.
（3）不難發(fā)現(xiàn)，將一張標(biāo)準(zhǔn)紙如圖3又對開后，所得的矩形紙片都是標(biāo)準(zhǔn)紙.現(xiàn)有一張標(biāo)準(zhǔn)紙ABCD，AB＝1，BC＝ ，問第5次對開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長是多少？探索并直接寫出第2012次對開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長.
【解析】（1）證明矩形ABEF長與寬之比為 ；
（2）利用△ABE≌△AFE和勾股定理證明矩形ABCD長與寬之比為 ；
（3）利用第（1）的結(jié)論進(jìn)行規(guī)律探索.
【答案】解：（1）是標(biāo)準(zhǔn)紙.理由如下：
∵矩形ABCD是標(biāo)準(zhǔn)紙，∴
由對開的含義知：AF＝ …1分
∴
∴矩形紙片ABEF也是標(biāo)準(zhǔn)紙. …2分
（2）是標(biāo)準(zhǔn)紙.理由如下：設(shè)AB＝CD＝a
由圖形折疊可知：DN＝CD＝DG＝a …3分
DG⊥EM
∵由圖形折疊可知：△ABE≌△AFE
∴∠DAE＝ ∠BAD＝45°
∴△ADG是等腰直角三角形 …4分
∴在Rt△ADG中，AD＝ …5分
∴
∴矩形紙片ABCD是一張標(biāo)準(zhǔn)紙 …6分
（3）
對開次數(shù) 第 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 …
周長 2(1+ ) 2( + ) 2( + ) 2( + ) 2( + ) 2( + ) …
∴第5次對開后所得的標(biāo)準(zhǔn)紙的周長為： …8分
∴ 第2012次對開后所得的標(biāo)準(zhǔn)紙的周長為： …10分
【點(diǎn)評】本題著重考查了線段的比，圖形的折疊，三角形全等的判定和勾股定理以及規(guī)律探索問題，主要培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力、觀察能力和歸納總結(jié)能力．找規(guī)律的題目，應(yīng)以第一個(gè)圖形為基準(zhǔn)，細(xì)心觀察，得到第n個(gè)圖形與第一個(gè)圖形之間的關(guān)系．解題的關(guān)鍵是認(rèn)真閱讀題目，從中找出相關(guān)的知識點(diǎn)運(yùn)用定義和定理進(jìn)行解答.
專項(xiàng)四 動手操作型問題（38 ）
10．（2012四川內(nèi)江，10，3分）如圖3，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，點(diǎn)E、F分別在AB、CD上，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)A、D分別落在矩形ABCD外部的點(diǎn)A1、D1處，則陰影部分圖形的周長為
A．15 B．20 C．25 D．30
【解析】由折疊，知陰影部分圖形的周長＝EA1＋A1D1＋BC＋FC＋EB＋D1F＝EA＋AD＋BC＋FC＋EB＋DF＝(EA＋EB)＋AD＋BC＋(FC＋DF)＝AB＋AD＋BC＋CD＝2(AB＋BC)＝2(10＋5)＝30．
【答案】D
【點(diǎn)評】折疊問題中蘊(yùn)涵軸對稱的數(shù)學(xué)道理，解決時(shí)往往需要從線，角，形三方面考慮．此題是單從線的方面發(fā)現(xiàn)折疊前后的相等線段，結(jié)合矩形的性質(zhì)考查學(xué)生“做數(shù)學(xué)，學(xué)數(shù)學(xué)”的能力，并從中滲透整體思想．
16. （2012江蘇鹽城，16，3分）如圖，在△ABC中，D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，∠B=500，現(xiàn)將△ADE沿DE折疊，點(diǎn)A落在三角形所在平面內(nèi)的點(diǎn)為A1，則∠BDA1的度數(shù)為 .
【解析】本題考查了角的計(jì)算.掌握折疊的性質(zhì)是關(guān)鍵.先由中位線定理證明DE∥BC，得到∠ADE=∠B=500，再由折疊可知：∠ADE=∠EDA1，再利用鄰補(bǔ)角就可以計(jì)算出∠BDA1的度數(shù).
【答案】因?yàn)镈、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，所以DE∥BC，所以∠ADE=∠B=500，再由折疊可知：∠ADE=∠EDA1，所以∠BDA1=1800-500-500=800.
【點(diǎn)評】本題以折紙為背景，考查了鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)、三角形中位線定理以及折疊后角重合等問題，考查了同學(xué)們的分析問題、解決問題的綜合能力.
（2012四川成都，25，4分）如圖，長方形紙片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步驟進(jìn)行裁剪和拼圖：
第一步：如圖①，在線段AD上任意取一點(diǎn)E，沿EB，EC剪下一個(gè)三角形紙片EBC(余下部分不再使用)；
第二步：如圖②，沿三角形EBC的中位線GH將紙片剪成兩部分，并在線段GH上任意取一點(diǎn)M，線段BC上任意取一點(diǎn)N，沿MN將梯形紙片GBCH剪成兩部分；
第三步：如圖③，將MN左側(cè)紙片繞G點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°，使線段GB與GE重合，將MN右側(cè)紙片繞H點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°，使線段HC與HE重合，拼成一個(gè)與三角形紙片EBC面積相等的四邊形紙片．
(注：裁剪和拼圖過程均無縫且不重疊)
則拼成的這個(gè)四邊形紙片的周長的小值為________cm，大值為________cm．
解析：通過操作，我們可以看到后所得的四邊形紙片是一個(gè)平行四邊形，其上下兩條邊的長度等于原來矩形的邊AD=6，左右兩邊的長等于線段MN的長，當(dāng)MN垂直于BC時(shí)，其長度短，等于原來矩形的邊AB的一半，等于4，于是這個(gè)平行四邊形的周長的小值為2（6+4）=20；當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，點(diǎn)M與點(diǎn)G重合，點(diǎn)N與點(diǎn)C重合時(shí)，線段MN長，等于 ，此時(shí)，這個(gè)四邊形的周長大，其值為2（6+ ）=12+ 。
答案：20；12+ .
點(diǎn)評：本題需要較好的空間想象能力和探究能力，解題時(shí)可以邊操作邊探究。將終的四邊形的一周的線段分成長度不變的和可以變化的，然后研究變化的邊相關(guān)的邊的變化范圍，這是一種轉(zhuǎn)化思想。
23. （2012浙江省衢州，23，10分）課本中，把長與寬之比為 的矩形紙片稱為標(biāo)準(zhǔn)紙.請思考解決下列問題：
（1）將一張標(biāo)準(zhǔn)紙ABCD(AB＜BC)對開，如圖1所示，所得的矩形紙片ABEF是標(biāo)準(zhǔn)紙.請給予證明.
（2）在綜合實(shí)踐課上，小明嘗試著將矩形紙片ABCD(AB＜BC)進(jìn)行如下操作：
第一步：沿過A點(diǎn)的直線折疊，使B點(diǎn)落在AD邊上點(diǎn)F處，折痕為AE(如圖2甲)；
第二步：沿過D點(diǎn)的直線折疊，使C點(diǎn)落在AD邊上點(diǎn)N處，折痕為DG(如圖2乙) .此時(shí)E點(diǎn)恰好落在AE邊上的點(diǎn)M處；
第三步：沿直線DM折疊(如圖2丙)，此時(shí)點(diǎn)G恰好與N點(diǎn)重合.
請你研究，矩形紙片ABCD是否是一張標(biāo)準(zhǔn)紙？請說明理由.
（3）不難發(fā)現(xiàn)，將一張標(biāo)準(zhǔn)紙如圖3又對開后，所得的矩形紙片都是標(biāo)準(zhǔn)紙.現(xiàn)有一張標(biāo)準(zhǔn)紙ABCD，AB＝1，BC＝ ，問第5次對開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長是多少？探索并直接寫出第2012次對開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長.
【解析】（1）證明矩形ABEF長與寬之比為 ；
（2）利用△ABE≌△AFE和勾股定理證明矩形ABCD長與寬之比為 ；
（3）利用第（1）的結(jié)論進(jìn)行規(guī)律探索.
【答案】解：（1）是標(biāo)準(zhǔn)紙.理由如下：
∵矩形ABCD是標(biāo)準(zhǔn)紙，∴
由對開的含義知：AF＝ …1分
∴
∴矩形紙片ABEF也是標(biāo)準(zhǔn)紙. …2分
（2）是標(biāo)準(zhǔn)紙.理由如下：設(shè)AB＝CD＝a
由圖形折疊可知：DN＝CD＝DG＝a …3分
DG⊥EM
∵由圖形折疊可知：△ABE≌△AFE
∴∠DAE＝ ∠BAD＝45°
∴△ADG是等腰直角三角形 …4分
∴在Rt△ADG中，AD＝ …5分
∴
∴矩形紙片ABCD是一張標(biāo)準(zhǔn)紙 …6分
（3）
對開次數(shù) 第 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 …
周長 2(1+ ) 2( + ) 2( + ) 2( + ) 2( + ) 2( + ) …
∴第5次對開后所得的標(biāo)準(zhǔn)紙的周長為： …8分
∴ 第2012次對開后所得的標(biāo)準(zhǔn)紙的周長為： …10分
【點(diǎn)評】本題著重考查了線段的比，圖形的折疊，三角形全等的判定和勾股定理以及規(guī)律探索問題，主要培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力、觀察能力和歸納總結(jié)能力．找規(guī)律的題目，應(yīng)以第一個(gè)圖形為基準(zhǔn)，細(xì)心觀察，得到第n個(gè)圖形與第一個(gè)圖形之間的關(guān)系．解題的關(guān)鍵是認(rèn)真閱讀題目，從中找出相關(guān)的知識點(diǎn)運(yùn)用定義和定理進(jìn)行解答.
25. ( 2012年浙江省寧波市,25,10)鄰邊不相等的平行四邊形紙片，剪去一個(gè)菱形，余下一個(gè)四邊形，稱為第操作，在余下的四邊形紙片中再剪去一個(gè)菱形，余下一個(gè)四邊形，稱為第二次操作，……依次類推，若第n次余下的四邊形是菱形，則稱原平行四邊形為n階準(zhǔn)菱形，如圖1，□ABCD中，若AB=1,BC=2,則□ABCD為1階準(zhǔn)菱形.
(1)判斷現(xiàn)推理:
①鄰邊長分別為2和3的平行四邊形是____階準(zhǔn)菱形;
②小明為了得剪去一個(gè)菱形,進(jìn)行如下操作:如圖2,把□ABCD沿BE折疊(點(diǎn)E在AD上),使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)F,,得到四邊形,請證明四邊形是菱形.
(2)操作、探究、計(jì)算：
①已知的邊長分別為1，a(a﹥1)且是3階準(zhǔn)菱形，請畫出□ABCD及裁剪線的示意圖，并在下方寫出的a值
②已知□ABCD的鄰邊長分別為a,b(a﹥b),滿足a=6b+r,b=5r,請寫出□ABCD是幾階準(zhǔn)菱形
【解析】（1）①根據(jù)鄰邊長分別為2和3的平行四邊形進(jìn)過兩次操作即可得出所剩四邊形是菱形，即可得出答案；②根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AE∥BF，進(jìn)而得出AE=BF，即可得出答案；（2）①如圖所示：
②∵a=6b+r，b=5r，∴a=6×5r+r=31r；
如圖所示：故□ABCD是10階準(zhǔn)菱形．
（2）①利用3階準(zhǔn)菱形的定義，即可得出答案；②根據(jù)a=6b+r，b=5r，用r表示出各邊長，進(jìn)而利用圖形得出□ABCD是幾階準(zhǔn)菱形．
【答案】(1) ①2，②由折疊知：∠ABE=∠FBE,AB=BF
∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AE∥BF
∴∠AEB=∠FBE,∴∠AEB=∠ABE,
∴四邊形ABFE是平行四邊形,
∴四邊形ABFE是菱形,
(2)a=4,a=52 ,a=43 ,a=53 .(圖同解析)
【點(diǎn)評】此題主要考查了圖形的剪拼以及菱形的判定，根據(jù)已知n階準(zhǔn)菱形定義正確將平行四邊形分割是解題關(guān)鍵．