23．（2012山東省濱州中考，23，9分）我們知道“連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫三角形的中位線”，“三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半”．類似的，我們把連接梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，那么EF就是梯形ABCD的中位線．通過(guò)觀察、測(cè)量，猜想EF和AD、BC有怎樣的位置和數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．
【解析】連接AF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，證明△ADF≌△GCF，容易看出EF為△ABG的中位線，所以 ，EF= （AD+BC）。
解：結(jié)論為：EF∥AD∥BC，EF= （AD+BC）．理由如下：
連接AF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G．
∵AD∥BC∴∠DAF=∠G，
在△ADF和△GCF中，
，
∴△ADF≌△GCF，
∴AF=FG，AD=CG．
又∵AE=EB，
∴ ，
即EF∥AD∥BC，EF= （AD+BC）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查梯形中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理．正確的添加輔助線是解決此題的關(guān)鍵，梯形的問(wèn)題常常轉(zhuǎn)化為三角形的問(wèn)題來(lái)解決．
26．（2012黑龍江省綏化市，26，8分）已知，點(diǎn)E是矩形ABCD的對(duì)角線BC上的一點(diǎn)，且BE=BC，AB=3，BC=4，點(diǎn)P為EC上的一動(dòng)點(diǎn)，且PQ⊥BC于點(diǎn)Q，PR⊥BD于點(diǎn)R．
⑴ 如圖（甲），當(dāng)點(diǎn)P為線段EC中點(diǎn)時(shí)，易證：PR+PQ= ；
⑵ 如圖（乙），當(dāng)點(diǎn)P為線段EC上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)E、點(diǎn)C重合）時(shí)，其它條件不變，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給與證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
⑶ 如圖（丙），當(dāng)點(diǎn)P為線段EC延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)時(shí)，其它條件不變，則PR與PQ之間又具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想．
【解析】解：（2）圖2中結(jié)論P(yáng)R+PQ= 仍成立．
證明：連接BP，過(guò)C點(diǎn)作CK⊥BD于點(diǎn)K．
∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠BCD=90°，
又∵CD=AB=3，BC=4，
∴BD=
∵S△BCD= BC•CD= BD•CK，
即3×4=5CK，
∴CK=
∵S△BCE= BE•CK，S△BEP= PR•BE，S△BCP= PQ•BC，且S△BCE=S△BEP+S△BCP，
∴ BE•CK= PR•BE+ PQ•BC
又∵BE=BC，
∴CK=PR+PQ，∴PR+PQ=
（3）圖3中的結(jié)論是PR-PQ= ．
【答案】⑵結(jié)論P(yáng)R+PQ= 仍然成立，理由見(jiàn)解析；⑶圖（丙）中的結(jié)論是PR-PQ= ．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了矩形的性質(zhì)及直角三角形的重要定理：勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握好矩形的性質(zhì)及以圖形面積的和差為平臺(tái)構(gòu)造出的等式關(guān)系．難度中等．
23. （2012山東省青島市，23，10）（10分）問(wèn)題提出：以n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的m個(gè)點(diǎn)，共（m+n）個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可把原n邊形分割成多少個(gè)互不重疊的小三角形？
問(wèn)題探究：為了解決上面的問(wèn)題，我們將采取一般問(wèn)題特殊化的策略，先從簡(jiǎn)單和具體的情形入手：
探究一：以△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的一個(gè)點(diǎn)P，共4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可把△ABC分割成多少個(gè)互不重疊的小三角形？
如圖①，顯然，此時(shí)可把△ABC分割成3個(gè)互不重疊的小三角形.
探究二：以△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的2個(gè)點(diǎn)P、Q，共5個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可把△ABC分割成多少個(gè)互不重疊的小三角形？
在探究一的基礎(chǔ)上，我們可看作在圖①△ABC的內(nèi)部，再添加1個(gè)點(diǎn)Q，那么點(diǎn)Q的位置會(huì)有兩種情況：
一種情況，點(diǎn)Q在圖①分割成的某個(gè)小三角形內(nèi)部，不妨假設(shè)點(diǎn)Q在△PAC內(nèi)部，如圖②；
另一種情況，點(diǎn)Q在圖①分割成的小三角形的某條公共邊上，不妨假設(shè)點(diǎn)Q在PA上，如圖③；
顯然，不管哪種情況，都可把△ABC分割成5個(gè)互不重疊的小三角形.
探究三：以△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的3個(gè)點(diǎn)P、Q、R，共6個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)可把△ABC分割成 個(gè)互不重疊的小三角形，并在圖④畫(huà)出一種分割示意圖.
探究四：以△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的m個(gè)點(diǎn)，共（m+3）個(gè)頂點(diǎn)可把△ABC分割成
個(gè)互不重疊的小三角形。
探究拓展：以四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的m個(gè)點(diǎn)，共（m+4）個(gè)頂點(diǎn)，可把四邊形分割成 個(gè)互不重疊的小三角形。
問(wèn)題解決：以n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的m個(gè)點(diǎn)，共（m+n）個(gè)頂點(diǎn)，可把△ABC分割成 個(gè)互不重疊的小三角形。
實(shí)際應(yīng)用：以八邊形的8個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的2012個(gè)點(diǎn)，共2020個(gè)點(diǎn)，可把八邊形分割成多少個(gè)互不重疊的小三角形？（要求列式計(jì)算）
23. 【解析】觀察圖形發(fā)現(xiàn)：內(nèi)部每多一個(gè)點(diǎn)，則多2個(gè)三角形，從而得到一般規(guī)律為n+2(m-1)或2m+n-2.根據(jù)根據(jù)規(guī)律逐一解答.
【答案】探究三：7
分割示意圖.（答案不）.
探究四：3+2（m-1）或2m+1
探究拓展：4+2（m-1）或2m+2
問(wèn)題解決：n+2(m-1)或2m+n-2
實(shí)際應(yīng)用：把n=8,m=2012代入上述代數(shù)式，得2m+n-2=2×2012+8-2=4024+8-2=4030.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查規(guī)律型中的圖形變化問(wèn)題，解題關(guān)鍵是結(jié)合圖形，探尋其規(guī)律，發(fā)現(xiàn)規(guī)律才能順利解題，體現(xiàn)特殊到一般的數(shù)學(xué)思想．
16．（2012貴州遵義，16,4分）猜數(shù)字游戲中，小明寫(xiě)出如下一組數(shù)： ， ， ， ， …，小亮猜想出第六個(gè)數(shù)字是 ，根據(jù)此規(guī)律，第n個(gè)數(shù)是 ?。?BR> 解析： 根據(jù)分?jǐn)?shù)的分子是2n，分母是2n+3，進(jìn)而得出答案即可．
解：∵分?jǐn)?shù)的分子分別是：2 2=4，23=8，24=16，…
分?jǐn)?shù)的分母分別是：2 2+3=7，23+3=11，24+3=19，…
∴第n個(gè)數(shù)是 ．
故答案為： ．
答案：
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律，根據(jù)已知得出分子與分母的變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．
26. （2012年吉林省，第26題、10分．）
問(wèn)題情境
如圖，在x軸上有兩點(diǎn)A（m,0）,B(n, 0)(n＞m＞0).分別過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)B作x軸的垂線，交拋物線y=x²于點(diǎn)C，點(diǎn)D.直線OC交直線BD于點(diǎn)E，直線OD交直線AC于點(diǎn)F,點(diǎn)E,點(diǎn)F的縱坐標(biāo)分別記為 , .
特例探究
填空：
當(dāng)m=1,n=2時(shí)， =____, =______.
當(dāng)m=3,n=5時(shí)， =_____, =______.
歸納證明
對(duì)任意m, n（n>m>0）,猜想 與 的大小關(guān)系，并證明你的猜想
拓展應(yīng)用.
（1） 若將“拋物線y=x²”改為“拋物線y=ax²（a>0）”,其它條件不變，請(qǐng)直接寫(xiě)出 與 的大小關(guān)系.
（2） 連接EF， AE．當(dāng) 時(shí)，直接寫(xiě)出m和n的關(guān)系及四邊形OFEA的形狀．
【解析】【特例探究】【歸納證明】都是【拓展應(yīng)用】（1）的特殊情況，因此以【拓展】（1）為例說(shuō)明前三小問(wèn)的思路：已知A、B的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的解析式，能得到C、D的坐標(biāo)，進(jìn)而能求出直線OC、OD的解析式，也就能得出E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再進(jìn)行比較即可．最后一小題也比較簡(jiǎn)單：總結(jié)前面的結(jié)論，能得出EF∥x軸的結(jié)論，那么直角梯形OFEB的面積和△OFE的面積比例關(guān)系，能判斷出EF、OA的比例關(guān)系，進(jìn)而得出m、n的關(guān)系，再對(duì)四邊形OFEA的形狀進(jìn)行判定．
【答案】
解：特例探究
當(dāng)m=1，n=2時(shí)，A（1，0）、B（2，0）、C（1，1）、D（2，4）；
則：直線OC的解析式為：y=x；直線OD解析式為：y=2x；
∴F（1，2）、E（2，2）；
即 ．
同理：當(dāng)m=3，n=5時(shí)， ． 歸納證明
猜想：
證明：
則，C ， D
OD的解析式為y=nx
OC的解析式為y=mx
E在OC上，橫坐標(biāo)為n，
當(dāng)x=n時(shí)，
F在OD上，橫坐標(biāo)為m
當(dāng)x=m時(shí)，
∴
拓展應(yīng)用
（1） 設(shè)
則
OD的解析式為
當(dāng)x=n時(shí)， ；當(dāng)x=m時(shí)．
∴
(2)∵四邊形OFEB是直角梯形，EF=n-m,OB=n, BE=mn
又
∴
可得， EF=m, OA=m
∴EF‖OA且EF=OA.
∴四邊形OFEA是平行四邊形．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是一次函數(shù)解析式的確定和二次函數(shù)的性質(zhì)、圖形面積的解法、平行四邊形的判定等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，本題由特殊到一般、由淺入深的引導(dǎo)方式進(jìn)一步降低了題目的難度，對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)的掌握是解題的關(guān)鍵．
28．（2012黑龍江省綏化市，28，10分）如圖，四邊形ABCD為矩形，C點(diǎn)在x軸上，A點(diǎn)在y軸上，D點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，4），矩形ABCD沿直線EF折疊，點(diǎn)A落在BC邊上的G處，E、F分別在AD和AB上，且F點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，4）．
⑴ 求G點(diǎn)坐標(biāo)；
⑵ 求直線EF的解析式；
⑶ 點(diǎn)N在x軸上，直線EF上是否存在點(diǎn)M，使以M、N、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】解：⑴由已知得，F(xiàn)G=AF=2，F(xiàn)B=1
∵四邊形ABCD為矩形
∴∠B=900
∴BG=
∴點(diǎn)G坐標(biāo)為（3，4 - ）
⑵設(shè)：直線EF的解析式是
∵在Rt△BFG中，cos∠BFG=FBFG=12
∴∠BFG=600，∴∠AFE=∠EFG=600
∴AE=AFtan∠AFE=2tan600=23
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)是（0， ）
又∵F點(diǎn)的坐標(biāo)是（2,4）
∴ 解得
∴直線EF的解析式是 ；
⑶．存在：
、 、 ．
【答案】 ⑴G點(diǎn)坐標(biāo)（3， ）；
⑵ ；
⑶ 、 、 ．
【點(diǎn)評(píng)】 本題綜合考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、待定系數(shù)法求直線解析式、三角函數(shù)及特殊角的三角函數(shù)值、平行四邊形的性質(zhì)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)．還考查了考生數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等多個(gè)常見(jiàn)的初中數(shù)學(xué)思想．對(duì)考生在知識(shí)、方法及能力方面均有較高的要求．難度較大．
21．（2012四川省資陽(yáng)市，21，8分）已知 、 是正實(shí)數(shù)，那么， 是恒成立的．
（1）(3分)由 恒成立，說(shuō)明 恒成立；
（2）(3分)填空：已知 、 、 是正實(shí)數(shù)，由 恒成立，
猜測(cè)： 也恒成立；
（3）(2分)如圖，已知AB是直徑，點(diǎn)P是弧上異于點(diǎn)A和點(diǎn)B的一點(diǎn)，PC⊥AB，垂足為C，AC＝ ，ＢC＝ ，由此圖說(shuō)明 恒成立．
【解析】（1）由完全平方的非負(fù)性及完全平方公式展開(kāi)再運(yùn)用不等式性質(zhì)1即可證得.
（2）由（1）得出：“兩正實(shí)數(shù)的平均數(shù)不小于這兩正實(shí)數(shù)積的算術(shù)平方根”，挖掘規(guī)律得出答案.
（3）由“點(diǎn)到直線上所有點(diǎn)的連線段中垂線段最短”的性質(zhì)及相似構(gòu)造出不等式的形式.
【答案】
（1）由 得， ………1分
于是 ………………………………2分
∴ ……………………………………3分
（2） ……………………………………6分
（3）連結(jié)OP，
∵AB是直徑，∴∠APB=90°，又∵PC⊥AB，∴Rt△APC∽R(shí)t△PBC，∴ ， ， ……………………………………………………………7分
又∵ ，由垂線段最短，得 ，∴ …………………………8分
【點(diǎn)評(píng)】本題主要是將高中不等式知識(shí)通過(guò)初中的知識(shí)去理解證明，主要考查了考生觀察、類比、歸納的能力.解決此種題型的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用初數(shù)的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)及了解初高中數(shù)學(xué)知識(shí)的銜接.難度較大.
（2012浙江省衢州，19，6分）如圖，在□ABCD中，E、F是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，且BE=DF，連接AE、CF.請(qǐng)你猜想：AE與CF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并對(duì)你的猜想加以證明.
【解析】AE與CF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，可從AE與CF所在的△ABE和△CDF是否全等來(lái)考慮，先由平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD，∠ABE=∠CDF，再加上已知BE=DF，可推出△ABE≌△CDF，得證．
【答案】猜想：AE＝CF
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB＝CD …2分
∴∠ABE＝∠CDF …3分
又∵BE=DF
∴△ABE≌△CDF …5分
∴AE＝CF …6分
【點(diǎn)評(píng)】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是平行四邊形的性質(zhì)與全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是證明AF與CF所在的三角形全等．全等三角形的判定，常見(jiàn)的判斷方法有5種，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對(duì)應(yīng)相等，則必須再找一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個(gè)角的另一組對(duì)應(yīng)鄰邊．
24．（2012湖南湘潭，24，8分）如圖， 是邊長(zhǎng)為 的等邊三角形，將 沿直線 向右平移,使 點(diǎn)與 點(diǎn)重合，得到 ，連結(jié) ，交 于 .
（1）猜想 與 的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）求線段 的長(zhǎng).
【解析】用平行四邊形和菱形的判斷方法和性質(zhì)進(jìn)行推理，
將 沿直線 向右平移,CD∥AB，且CD=AB，
則四邊形ABCD是平行四邊形，又有AB=BC，則四邊形ABCD是菱形，
菱形的對(duì)角線互相垂直平分。
（2）用勾股定理或三角函數(shù)求出等邊三角形的高BF= ，由菱形的性質(zhì)得BD=2BF= 。
【答案】（1）猜想 與 的位置關(guān)系是互相垂直平分，證明如:下：
因 是等邊三角形，則AB=BC=AC=3，將 沿直線 向右平移后,CD∥AB，且CD=AB，則四邊形ABCD是平行四邊形，又有AB=BC，則四邊形ABCD是菱形，菱形ABCD的對(duì)角線 與 互相垂直平分。
（2）BC=3，CF= ，∠BFC=900，BF= = ，由菱形的性質(zhì)得BD=2BF= 。
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查菱形和平行四邊形的性質(zhì)和判斷方法，對(duì)角線互相垂直平分，是菱形的性質(zhì)。
17. （2012安徽，17，8分）在由m×n（m×n＞1）個(gè)小正方形組成的矩形網(wǎng)格中，研究它的一條對(duì)角線所穿過(guò)的小正方形個(gè)數(shù)f，
（1）當(dāng)m、n互質(zhì)（m、n除1外無(wú)其他公因數(shù)）時(shí)，觀察下列圖形并完成下表：
1 2 3 2
1 3 4 3
2 3 5 4
2 4 7
3 5 7
猜想：當(dāng)m、n互質(zhì)時(shí)，在m×n的矩形網(wǎng)格中，一條對(duì)角線所穿過(guò)的小正方形的個(gè)數(shù)f與m、n的關(guān)系式是______________________________（不需要證明）；
解：
（2）當(dāng)m、n不互質(zhì)時(shí)，請(qǐng)畫(huà)圖驗(yàn)證你猜想的關(guān)系式是否依然成立，
17：解析：（1）通過(guò)題中所給網(wǎng)格圖形，先計(jì)算出2×5，3×4，對(duì)角線所穿過(guò)的小正方形個(gè)數(shù)f，再對(duì)照表中數(shù)值歸納f與m、n的關(guān)系式.
（2）根據(jù)題意，畫(huà)出當(dāng)m、n不互質(zhì)時(shí)，結(jié)論不成立的反例即可.
解：（1）如表：
1 2 3 2
1 3 4 3
2 3 5 4
2 4 7 6
3 5 7 6
f=m+n-1
（2）當(dāng)m、n不互質(zhì)時(shí)，上述結(jié)論不成立，如圖2×4
2×4
點(diǎn)評(píng)：本題是操作探究題，根據(jù)操作規(guī)則得出數(shù)據(jù)，并歸納總結(jié)其中規(guī)律，對(duì)于錯(cuò)誤結(jié)論的證明，只要舉出反例即可.
【解析】連接AF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，證明△ADF≌△GCF，容易看出EF為△ABG的中位線，所以 ，EF= （AD+BC）。
解：結(jié)論為：EF∥AD∥BC，EF= （AD+BC）．理由如下：
連接AF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G．
∵AD∥BC∴∠DAF=∠G，
在△ADF和△GCF中，
，
∴△ADF≌△GCF，
∴AF=FG，AD=CG．
又∵AE=EB，
∴ ，
即EF∥AD∥BC，EF= （AD+BC）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查梯形中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理．正確的添加輔助線是解決此題的關(guān)鍵，梯形的問(wèn)題常常轉(zhuǎn)化為三角形的問(wèn)題來(lái)解決．
26．（2012黑龍江省綏化市，26，8分）已知，點(diǎn)E是矩形ABCD的對(duì)角線BC上的一點(diǎn)，且BE=BC，AB=3，BC=4，點(diǎn)P為EC上的一動(dòng)點(diǎn)，且PQ⊥BC于點(diǎn)Q，PR⊥BD于點(diǎn)R．
⑴ 如圖（甲），當(dāng)點(diǎn)P為線段EC中點(diǎn)時(shí)，易證：PR+PQ= ；
⑵ 如圖（乙），當(dāng)點(diǎn)P為線段EC上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)E、點(diǎn)C重合）時(shí)，其它條件不變，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給與證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
⑶ 如圖（丙），當(dāng)點(diǎn)P為線段EC延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)時(shí)，其它條件不變，則PR與PQ之間又具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想．
【解析】解：（2）圖2中結(jié)論P(yáng)R+PQ= 仍成立．
證明：連接BP，過(guò)C點(diǎn)作CK⊥BD于點(diǎn)K．
∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠BCD=90°，
又∵CD=AB=3，BC=4，
∴BD=
∵S△BCD= BC•CD= BD•CK，
即3×4=5CK，
∴CK=
∵S△BCE= BE•CK，S△BEP= PR•BE，S△BCP= PQ•BC，且S△BCE=S△BEP+S△BCP，
∴ BE•CK= PR•BE+ PQ•BC
又∵BE=BC，
∴CK=PR+PQ，∴PR+PQ=
（3）圖3中的結(jié)論是PR-PQ= ．
【答案】⑵結(jié)論P(yáng)R+PQ= 仍然成立，理由見(jiàn)解析；⑶圖（丙）中的結(jié)論是PR-PQ= ．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了矩形的性質(zhì)及直角三角形的重要定理：勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握好矩形的性質(zhì)及以圖形面積的和差為平臺(tái)構(gòu)造出的等式關(guān)系．難度中等．
23. （2012山東省青島市，23，10）（10分）問(wèn)題提出：以n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的m個(gè)點(diǎn)，共（m+n）個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可把原n邊形分割成多少個(gè)互不重疊的小三角形？
問(wèn)題探究：為了解決上面的問(wèn)題，我們將采取一般問(wèn)題特殊化的策略，先從簡(jiǎn)單和具體的情形入手：
探究一：以△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的一個(gè)點(diǎn)P，共4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可把△ABC分割成多少個(gè)互不重疊的小三角形？
如圖①，顯然，此時(shí)可把△ABC分割成3個(gè)互不重疊的小三角形.
探究二：以△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的2個(gè)點(diǎn)P、Q，共5個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可把△ABC分割成多少個(gè)互不重疊的小三角形？
在探究一的基礎(chǔ)上，我們可看作在圖①△ABC的內(nèi)部，再添加1個(gè)點(diǎn)Q，那么點(diǎn)Q的位置會(huì)有兩種情況：
一種情況，點(diǎn)Q在圖①分割成的某個(gè)小三角形內(nèi)部，不妨假設(shè)點(diǎn)Q在△PAC內(nèi)部，如圖②；
另一種情況，點(diǎn)Q在圖①分割成的小三角形的某條公共邊上，不妨假設(shè)點(diǎn)Q在PA上，如圖③；
顯然，不管哪種情況，都可把△ABC分割成5個(gè)互不重疊的小三角形.
探究三：以△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的3個(gè)點(diǎn)P、Q、R，共6個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)可把△ABC分割成 個(gè)互不重疊的小三角形，并在圖④畫(huà)出一種分割示意圖.
探究四：以△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的m個(gè)點(diǎn)，共（m+3）個(gè)頂點(diǎn)可把△ABC分割成
個(gè)互不重疊的小三角形。
探究拓展：以四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的m個(gè)點(diǎn)，共（m+4）個(gè)頂點(diǎn)，可把四邊形分割成 個(gè)互不重疊的小三角形。
問(wèn)題解決：以n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的m個(gè)點(diǎn)，共（m+n）個(gè)頂點(diǎn)，可把△ABC分割成 個(gè)互不重疊的小三角形。
實(shí)際應(yīng)用：以八邊形的8個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的2012個(gè)點(diǎn)，共2020個(gè)點(diǎn)，可把八邊形分割成多少個(gè)互不重疊的小三角形？（要求列式計(jì)算）
23. 【解析】觀察圖形發(fā)現(xiàn)：內(nèi)部每多一個(gè)點(diǎn)，則多2個(gè)三角形，從而得到一般規(guī)律為n+2(m-1)或2m+n-2.根據(jù)根據(jù)規(guī)律逐一解答.
【答案】探究三：7
分割示意圖.（答案不）.
探究四：3+2（m-1）或2m+1
探究拓展：4+2（m-1）或2m+2
問(wèn)題解決：n+2(m-1)或2m+n-2
實(shí)際應(yīng)用：把n=8,m=2012代入上述代數(shù)式，得2m+n-2=2×2012+8-2=4024+8-2=4030.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查規(guī)律型中的圖形變化問(wèn)題，解題關(guān)鍵是結(jié)合圖形，探尋其規(guī)律，發(fā)現(xiàn)規(guī)律才能順利解題，體現(xiàn)特殊到一般的數(shù)學(xué)思想．
16．（2012貴州遵義，16,4分）猜數(shù)字游戲中，小明寫(xiě)出如下一組數(shù)： ， ， ， ， …，小亮猜想出第六個(gè)數(shù)字是 ，根據(jù)此規(guī)律，第n個(gè)數(shù)是 ?。?BR> 解析： 根據(jù)分?jǐn)?shù)的分子是2n，分母是2n+3，進(jìn)而得出答案即可．
解：∵分?jǐn)?shù)的分子分別是：2 2=4，23=8，24=16，…
分?jǐn)?shù)的分母分別是：2 2+3=7，23+3=11，24+3=19，…
∴第n個(gè)數(shù)是 ．
故答案為： ．
答案：
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律，根據(jù)已知得出分子與分母的變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．
26. （2012年吉林省，第26題、10分．）
問(wèn)題情境
如圖，在x軸上有兩點(diǎn)A（m,0）,B(n, 0)(n＞m＞0).分別過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)B作x軸的垂線，交拋物線y=x²于點(diǎn)C，點(diǎn)D.直線OC交直線BD于點(diǎn)E，直線OD交直線AC于點(diǎn)F,點(diǎn)E,點(diǎn)F的縱坐標(biāo)分別記為 , .
特例探究
填空：
當(dāng)m=1,n=2時(shí)， =____, =______.
當(dāng)m=3,n=5時(shí)， =_____, =______.
歸納證明
對(duì)任意m, n（n>m>0）,猜想 與 的大小關(guān)系，并證明你的猜想
拓展應(yīng)用.
（1） 若將“拋物線y=x²”改為“拋物線y=ax²（a>0）”,其它條件不變，請(qǐng)直接寫(xiě)出 與 的大小關(guān)系.
（2） 連接EF， AE．當(dāng) 時(shí)，直接寫(xiě)出m和n的關(guān)系及四邊形OFEA的形狀．
【解析】【特例探究】【歸納證明】都是【拓展應(yīng)用】（1）的特殊情況，因此以【拓展】（1）為例說(shuō)明前三小問(wèn)的思路：已知A、B的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的解析式，能得到C、D的坐標(biāo)，進(jìn)而能求出直線OC、OD的解析式，也就能得出E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再進(jìn)行比較即可．最后一小題也比較簡(jiǎn)單：總結(jié)前面的結(jié)論，能得出EF∥x軸的結(jié)論，那么直角梯形OFEB的面積和△OFE的面積比例關(guān)系，能判斷出EF、OA的比例關(guān)系，進(jìn)而得出m、n的關(guān)系，再對(duì)四邊形OFEA的形狀進(jìn)行判定．
【答案】
解：特例探究
當(dāng)m=1，n=2時(shí)，A（1，0）、B（2，0）、C（1，1）、D（2，4）；
則：直線OC的解析式為：y=x；直線OD解析式為：y=2x；
∴F（1，2）、E（2，2）；
即 ．
同理：當(dāng)m=3，n=5時(shí)， ． 歸納證明
猜想：
證明：
則，C ， D
OD的解析式為y=nx
OC的解析式為y=mx
E在OC上，橫坐標(biāo)為n，
當(dāng)x=n時(shí)，
F在OD上，橫坐標(biāo)為m
當(dāng)x=m時(shí)，
∴
拓展應(yīng)用
（1） 設(shè)
則
OD的解析式為
當(dāng)x=n時(shí)， ；當(dāng)x=m時(shí)．
∴
(2)∵四邊形OFEB是直角梯形，EF=n-m,OB=n, BE=mn
又
∴
可得， EF=m, OA=m
∴EF‖OA且EF=OA.
∴四邊形OFEA是平行四邊形．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是一次函數(shù)解析式的確定和二次函數(shù)的性質(zhì)、圖形面積的解法、平行四邊形的判定等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，本題由特殊到一般、由淺入深的引導(dǎo)方式進(jìn)一步降低了題目的難度，對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)的掌握是解題的關(guān)鍵．
28．（2012黑龍江省綏化市，28，10分）如圖，四邊形ABCD為矩形，C點(diǎn)在x軸上，A點(diǎn)在y軸上，D點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，4），矩形ABCD沿直線EF折疊，點(diǎn)A落在BC邊上的G處，E、F分別在AD和AB上，且F點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，4）．
⑴ 求G點(diǎn)坐標(biāo)；
⑵ 求直線EF的解析式；
⑶ 點(diǎn)N在x軸上，直線EF上是否存在點(diǎn)M，使以M、N、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】解：⑴由已知得，F(xiàn)G=AF=2，F(xiàn)B=1
∵四邊形ABCD為矩形
∴∠B=900
∴BG=
∴點(diǎn)G坐標(biāo)為（3，4 - ）
⑵設(shè)：直線EF的解析式是
∵在Rt△BFG中，cos∠BFG=FBFG=12
∴∠BFG=600，∴∠AFE=∠EFG=600
∴AE=AFtan∠AFE=2tan600=23
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)是（0， ）
又∵F點(diǎn)的坐標(biāo)是（2,4）
∴ 解得
∴直線EF的解析式是 ；
⑶．存在：
、 、 ．
【答案】 ⑴G點(diǎn)坐標(biāo)（3， ）；
⑵ ；
⑶ 、 、 ．
【點(diǎn)評(píng)】 本題綜合考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、待定系數(shù)法求直線解析式、三角函數(shù)及特殊角的三角函數(shù)值、平行四邊形的性質(zhì)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)．還考查了考生數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等多個(gè)常見(jiàn)的初中數(shù)學(xué)思想．對(duì)考生在知識(shí)、方法及能力方面均有較高的要求．難度較大．
21．（2012四川省資陽(yáng)市，21，8分）已知 、 是正實(shí)數(shù)，那么， 是恒成立的．
（1）(3分)由 恒成立，說(shuō)明 恒成立；
（2）(3分)填空：已知 、 、 是正實(shí)數(shù)，由 恒成立，
猜測(cè)： 也恒成立；
（3）(2分)如圖，已知AB是直徑，點(diǎn)P是弧上異于點(diǎn)A和點(diǎn)B的一點(diǎn)，PC⊥AB，垂足為C，AC＝ ，ＢC＝ ，由此圖說(shuō)明 恒成立．
【解析】（1）由完全平方的非負(fù)性及完全平方公式展開(kāi)再運(yùn)用不等式性質(zhì)1即可證得.
（2）由（1）得出：“兩正實(shí)數(shù)的平均數(shù)不小于這兩正實(shí)數(shù)積的算術(shù)平方根”，挖掘規(guī)律得出答案.
（3）由“點(diǎn)到直線上所有點(diǎn)的連線段中垂線段最短”的性質(zhì)及相似構(gòu)造出不等式的形式.
【答案】
（1）由 得， ………1分
于是 ………………………………2分
∴ ……………………………………3分
（2） ……………………………………6分
（3）連結(jié)OP，
∵AB是直徑，∴∠APB=90°，又∵PC⊥AB，∴Rt△APC∽R(shí)t△PBC，∴ ， ， ……………………………………………………………7分
又∵ ，由垂線段最短，得 ，∴ …………………………8分
【點(diǎn)評(píng)】本題主要是將高中不等式知識(shí)通過(guò)初中的知識(shí)去理解證明，主要考查了考生觀察、類比、歸納的能力.解決此種題型的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用初數(shù)的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)及了解初高中數(shù)學(xué)知識(shí)的銜接.難度較大.
（2012浙江省衢州，19，6分）如圖，在□ABCD中，E、F是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，且BE=DF，連接AE、CF.請(qǐng)你猜想：AE與CF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并對(duì)你的猜想加以證明.
【解析】AE與CF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，可從AE與CF所在的△ABE和△CDF是否全等來(lái)考慮，先由平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD，∠ABE=∠CDF，再加上已知BE=DF，可推出△ABE≌△CDF，得證．
【答案】猜想：AE＝CF
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB＝CD …2分
∴∠ABE＝∠CDF …3分
又∵BE=DF
∴△ABE≌△CDF …5分
∴AE＝CF …6分
【點(diǎn)評(píng)】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是平行四邊形的性質(zhì)與全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是證明AF與CF所在的三角形全等．全等三角形的判定，常見(jiàn)的判斷方法有5種，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對(duì)應(yīng)相等，則必須再找一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個(gè)角的另一組對(duì)應(yīng)鄰邊．
24．（2012湖南湘潭，24，8分）如圖， 是邊長(zhǎng)為 的等邊三角形，將 沿直線 向右平移,使 點(diǎn)與 點(diǎn)重合，得到 ，連結(jié) ，交 于 .
（1）猜想 與 的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）求線段 的長(zhǎng).
【解析】用平行四邊形和菱形的判斷方法和性質(zhì)進(jìn)行推理，
將 沿直線 向右平移,CD∥AB，且CD=AB，
則四邊形ABCD是平行四邊形，又有AB=BC，則四邊形ABCD是菱形，
菱形的對(duì)角線互相垂直平分。
（2）用勾股定理或三角函數(shù)求出等邊三角形的高BF= ，由菱形的性質(zhì)得BD=2BF= 。
【答案】（1）猜想 與 的位置關(guān)系是互相垂直平分，證明如:下：
因 是等邊三角形，則AB=BC=AC=3，將 沿直線 向右平移后,CD∥AB，且CD=AB，則四邊形ABCD是平行四邊形，又有AB=BC，則四邊形ABCD是菱形，菱形ABCD的對(duì)角線 與 互相垂直平分。
（2）BC=3，CF= ，∠BFC=900，BF= = ，由菱形的性質(zhì)得BD=2BF= 。
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查菱形和平行四邊形的性質(zhì)和判斷方法，對(duì)角線互相垂直平分，是菱形的性質(zhì)。
17. （2012安徽，17，8分）在由m×n（m×n＞1）個(gè)小正方形組成的矩形網(wǎng)格中，研究它的一條對(duì)角線所穿過(guò)的小正方形個(gè)數(shù)f，
（1）當(dāng)m、n互質(zhì)（m、n除1外無(wú)其他公因數(shù)）時(shí)，觀察下列圖形并完成下表：
1 2 3 2
1 3 4 3
2 3 5 4
2 4 7
3 5 7
猜想：當(dāng)m、n互質(zhì)時(shí)，在m×n的矩形網(wǎng)格中，一條對(duì)角線所穿過(guò)的小正方形的個(gè)數(shù)f與m、n的關(guān)系式是______________________________（不需要證明）；
解：
（2）當(dāng)m、n不互質(zhì)時(shí)，請(qǐng)畫(huà)圖驗(yàn)證你猜想的關(guān)系式是否依然成立，
17：解析：（1）通過(guò)題中所給網(wǎng)格圖形，先計(jì)算出2×5，3×4，對(duì)角線所穿過(guò)的小正方形個(gè)數(shù)f，再對(duì)照表中數(shù)值歸納f與m、n的關(guān)系式.
（2）根據(jù)題意，畫(huà)出當(dāng)m、n不互質(zhì)時(shí)，結(jié)論不成立的反例即可.
解：（1）如表：
1 2 3 2
1 3 4 3
2 3 5 4
2 4 7 6
3 5 7 6
f=m+n-1
（2）當(dāng)m、n不互質(zhì)時(shí)，上述結(jié)論不成立，如圖2×4
2×4
點(diǎn)評(píng)：本題是操作探究題，根據(jù)操作規(guī)則得出數(shù)據(jù)，并歸納總結(jié)其中規(guī)律，對(duì)于錯(cuò)誤結(jié)論的證明，只要舉出反例即可.