12．（2012山東省濱州，12，3分）求1+2+22+23+…+22012的值，可令S=1+2+22+23+…+22012，則2S=2+22+23+24+…+22013，因此2S﹣S=22013﹣1．仿照以上推理，計(jì)算出1+5+52+53+…+52012的值為（ ?。?BR> A．52012﹣1 B．52013﹣1 C． D．
【解析】設(shè)S=1+5+52+53+…+52012，則5S=5+52+53+54+…+52013，
因此，5S﹣S=52013﹣1，
S= ．
【答案】選C．
【點(diǎn)評】本題考查同底數(shù)冪的乘法，以及類比推理的能力．兩式同時乘以底數(shù)，再相減可得ｓ的值．
（2012廣東肇慶，15，3）觀察下列一組數(shù)： ， ， ， ， ，…… ，它們是按一定規(guī)律排列的，那么這一組數(shù)的第k個數(shù)是 ▲ ．
【解析】通過觀察不難發(fā)現(xiàn)，各分?jǐn)?shù)的分子與分母均相差1，分子為連續(xù)偶數(shù)，分母為連續(xù)奇數(shù)．
【答案】
【點(diǎn)評】本題是一道規(guī)律探索題目，考查了用代數(shù)式表示一般規(guī)律，難度較小．
18. ( 2012年四川省巴中市,18,3)觀察下列面一列數(shù)：1，-2，3，-4，5，-6，…根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，第2012個數(shù)是___________
【解析】觀察知: 下列面一列數(shù)中,它們的絕對值是連續(xù)正整數(shù),第2012個數(shù)的絕對值是2012,值偶數(shù)項(xiàng)是負(fù)數(shù),故填-2012.
【答案】-2012
【點(diǎn)評】本題是找規(guī)律的問題,確定符號是本題的難點(diǎn).
20.（2012貴州省畢節(jié)市，20，5分）在下圖中，每個圖案均由邊 長為1的小 正方形按一定的規(guī)律堆疊而成，照此規(guī)律，第10個圖案中共有 個小正方形。
解析：觀察圖案不難發(fā)現(xiàn)，圖案中的正方形按照從上到下成奇數(shù)列排布，寫出第n個圖案的正方形的個數(shù)，然后利用求和公式寫出表達(dá)式，再把n=10代入進(jìn)行計(jì)算即可得解．
答案：解：第1個圖案中共有1個小正方形，第2個圖案中共有1+3=4個小正方形，第3個圖案中共有1+3+5=9個小正方形，…，第n個圖案中共有1+3+5+…+（2n-1）= =n2個小正方形，所以，第10個圖案中共有102=100個小正方形．故答案為：100．
點(diǎn)評：本題是對圖形變化規(guī)律的考查，根據(jù)圖案從上到下的正方形的個數(shù)成奇數(shù)列排布，得到第n個圖案的正方形的個數(shù)的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．
18．(2012貴州六盤水，18，4分)圖7是我國古代數(shù)學(xué)家楊輝最早發(fā)現(xiàn)的，稱為“楊輝三角形”.它的發(fā)現(xiàn)比西方要早五百年左右，由此可見我國古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的！“楊輝三角形”中有許多規(guī)律，如它的每一行的數(shù)字正好對應(yīng)了 （ 為非負(fù)整數(shù)）的展開式中 按次數(shù)從大到小排列的項(xiàng)的系數(shù).例如 展開式中的系數(shù)1、2、1恰好對應(yīng)圖中第三行的數(shù)字；再入， 展開式中的系數(shù)1、3、3、1恰好對應(yīng)圖中第四行的數(shù)字.請認(rèn)真觀察此圖，寫出 的展開式. ▲ .
分析：該題屬規(guī)律型，通過觀察可發(fā)現(xiàn)第五行的系數(shù)是：1、4、6、4、1，再根據(jù)例子中字母的排列規(guī)律即得到答案．
解答：解：由題意， ，
故填 ．
點(diǎn)評：本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，從整體觀察還要考慮字母及字母指數(shù)的變化規(guī)律，從而得到答案．
17. （2012山東萊蕪， 17，4分） 將正方形ABCD的各邊按如圖所示延長，從射線AB開始，分別在各射線上標(biāo)記點(diǎn) ….,按此規(guī)律，則點(diǎn)A2012在射線 上.
【解析】
射線名稱 點(diǎn) 點(diǎn) 點(diǎn) 點(diǎn) 點(diǎn) 點(diǎn) 點(diǎn) 點(diǎn) 點(diǎn)
A1 A3 A10 A12 A17 A19 A26 A28 …
CD A2 A4 A9 A11 A18 A20 A25 A27 …
BC A5 A7 A14 A16 A21 A23 A30 A32 …
DA A6 A8 A13 A15 A22 A24 A29 A31 …
根據(jù)表格中點(diǎn)的排列規(guī)律，可以得到點(diǎn)的坐標(biāo)是每16個點(diǎn)排列的位置一循環(huán)，
2012=16×125+12，所以點(diǎn)A2012所在的射線和點(diǎn) 所在的直線一樣。
因?yàn)辄c(diǎn) 所在的射線是射線AB，所以點(diǎn)點(diǎn)A2012在射線AB上.
【答案】AB
【點(diǎn)評】本題是一個規(guī)律探索題，可以列出點(diǎn)的排列規(guī)律從中得到規(guī)律，在變化的點(diǎn)中找到其排列直線的不變的規(guī)律，此類問題的排列通常是具有周期性，按照周期循環(huán)，本題難度適中.
16、（2012，黔東南州，16）如圖，第（1）個圖有2個相同的小正方形，第（1）個圖有2個相同的小正方形，第（2）個圖有6個相同的小正方形，第（3）個圖有12個相同的小正方形，第（4）個圖有20個相同的小正方形，……，按此規(guī)律，那么第（ ）個圖有 個相同的小正方形。
（1） （2） （3） （4）
解析：因?yàn)?BR> ，故第（ ）個圖有 個小正方形 .
答案： 或n（n+1）
點(diǎn)評：本題是探索規(guī)律題，解題的關(guān)鍵是從已知圖形中找規(guī)律，難度中等.
15．（2012，湖北孝感，15，3分）2008年北京成功舉辦了xx屆舉世矚目的奧運(yùn)會，今年的奧運(yùn)會將在英國倫敦舉行，奧運(yùn)會的年份與屆數(shù)如下表所示：
年份 1896 1900 1904 … 2012
屆數(shù) 1 2 3 … n
表中n等于__________．
【解析】有表格可知，每四年舉辦一次奧運(yùn)會，由此可得(2012-1896)÷4+1=30
【答案】30
【點(diǎn)評】考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化，此題屬于規(guī)律性題目，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中的已知條件找出規(guī)律，按照此規(guī)律再進(jìn)行計(jì)算即可．
16. （2012•湖北省恩施市，題號16 分值 4）觀察下表：
根據(jù)表中數(shù)的排列規(guī)律，B+D=_________.
【解析】B所在行的規(guī)律是每個數(shù)字等于前兩個數(shù)字的和，所以A=3，B=8；D所在行的規(guī)律是關(guān)于數(shù)字20左右對稱，即D=15，所以B+D=23.
【答案】23
【點(diǎn)評】本題主要考查了學(xué)生觀察和歸納能力，會從所給的數(shù)據(jù)和表格中尋求規(guī)律進(jìn)行解題．找規(guī)律的問題，首先要從最基本的幾個數(shù)字或圖形中先求出數(shù)值，并進(jìn)一步觀察具體的變化情況，從中找出一般規(guī)律．
此類問題“橫看成嶺側(cè)成峰”，隨著觀察角度的不同可有不同的規(guī)律尋求途徑，但最總結(jié)果應(yīng)“殊途同歸”。
（2012河北省17,3分）17、某數(shù)學(xué)活動小組的20位同學(xué)站成一列做報數(shù)游戲，規(guī)則是：從前面第一位同學(xué)開始，每位同學(xué)依次報自己順序的倒數(shù)加1，第1位同學(xué)報 ，第2位同學(xué)報 ，…這樣得到的20個數(shù)的積為_________________.
【解析】化簡各位同學(xué)的報數(shù)，可得第1一位同學(xué)報2，第2位同學(xué)報 ，第3位同學(xué)報 ，…第20個同學(xué)報 ，根據(jù)觀察得到的規(guī)律，便可求出它們的乘機(jī)。
【答案】21
【點(diǎn)評】本題是一道找規(guī)律的題型，在教學(xué)中，要讓學(xué)生了解解題的過程，知道來龍去脈，才能增加自己的能力。難度中等。
20. （2012珠海，20，9分）觀察下列等式：
12×231=132×21，
13×341=143×31，
23×352=253×32，
34×473=374×43，
62×286=682×26，
……
以上每個等式中兩邊數(shù)字是分別對稱的，且每個等式中組成兩位數(shù)與三位數(shù)的數(shù)字之間具有相同規(guī)律，我們稱這類等式為“數(shù)字對稱等式”.
（1）根據(jù)上述各式反映的規(guī)律填空，使式子稱為“數(shù)字對稱等式”：
①52× ＝ ×25；
② ×396＝693× .
（2）設(shè)這類等式左邊兩位數(shù)的十位數(shù)字為 ，個位數(shù)字為 ，且2≤ ≤9，寫出表示“數(shù)字對稱等式”一般規(guī)律的式子（含 、 ），并證明.
【解析】觀察上面的等式,發(fā)現(xiàn)“數(shù)字對稱等式”基本特征,猜想并證明表示“數(shù)字對稱等式”一般規(guī)律的式子.
【答案】（1）①275,572; ②63,36;
（2）(10a+b)[100b+10(a+b)+a]＝[100a+10(a+b)+b](10b+a)
證明:∵左邊＝(10a+b)[100b+10(a+b)+a]＝11(10a+b)(10b+a)
右邊＝[100a+10(a+b)+b](10b+a)＝11(10a+b)(10b+a)
∴左邊＝右邊,原等式成立.
【點(diǎn)評】本是規(guī)律探索題.考查學(xué)生閱讀理解,觀察發(fā)現(xiàn),推理證明的學(xué)習(xí)能力.
14（2012云南省，14 ，3分）觀察下列圖形的排列規(guī)律（其中 分別表示三角形、正方形、五角星）.若第一個圖形是三角形，則第18個圖形是 （填圖形名稱）
【解析】主要的是要看清只有三個基本的圖形來組成一個規(guī)律，三個一組，而且五角星都在最后，前邊兩個相鄰組之間它兩的位置互換，三個一組，恰好18個是6組，第18個剛好是第6組最后一個，五角星。
【答案】五角星
【點(diǎn)評】主要考查考生的觀察能力和細(xì)心程度，要素簡單，但要很快找出規(guī)律，也要細(xì)心揣摩。此題不難。
16．（2012山西，16，3分）如圖，是由形狀相同的正六邊形和正三角形鑲嵌而成的一組有規(guī)律的圖案，則第n個圖案中陰影小三角形的個數(shù)是 ．
【解析】解：由圖可知：第一個圖案有陰影小三角形2個．第二圖案有陰影小三角形2+4=6個．第三個圖案有陰影小三角形2+8=12個，那么第n個就有陰影小三角形2+4（n﹣1）=4n﹣2個，
故答案為：4n﹣2（或2+4（n﹣1））
【答案】4n﹣2（或2+4（n﹣1））
【點(diǎn)評】本題主要考查了圖形有規(guī)律的變化，再由圖形的規(guī)律變化挖掘出規(guī)律，解決此種類型的關(guān)鍵是分別數(shù)清每一個圖形中的三角形個數(shù)，再由此猜想發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而寫出最終結(jié)果.難度中等．
17．（2012山東東營，17，4分）在平面直角坐標(biāo)系 中，點(diǎn) ， ，
，…和 ， ， ，…分別在直線
和 軸上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…
都是等腰直角三角形，如果A1（1，1），
A2（ ），那么點(diǎn) 的縱坐標(biāo)是_ _____．
【解析】把A1（1，1），A2（ ）分別代入 ，可求得k= ,b= ,,所以 ，與x軸交點(diǎn)代坐標(biāo)為（-4，0），設(shè)A3的縱坐標(biāo)為m,則 ，解得m= ,同理可得A4的縱坐標(biāo)為 ，……， 的縱坐標(biāo)是 。
【答案】
【點(diǎn)評】抓住坐標(biāo)間的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵，解此類規(guī)律探索題一般可采用從特殊一般的歸納法。
21．(2012廣東汕頭，21，7分)觀察下列等式：
第1個等式：a1= = ×（1﹣ ）；
第2個等式：a2= = ×（ ﹣ ）；
第3個等式：a3= = ×（ ﹣ ）；
第4個等式：a4= = ×（ ﹣ ）；
…
請解答下列問題：
（1）按以上規(guī)律列出第5個等式：a5= = ；
（2）用含有n的代數(shù)式表示第n個等式：an= = ?。╪為正整數(shù)）；
（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．
分析： （1）（2）觀察知，找第一個等號后面的式子規(guī)律是關(guān)鍵：分子不變，為1；分母是兩個連續(xù)奇數(shù)的乘積，它們與式子序號之間的關(guān)系為 序號的2倍減1和序號的2倍加1．
（3）運(yùn)用變化規(guī)律計(jì)算．
解答： 解：根據(jù)觀察知答案分別為：
（1） ； ；
（2） ； ；
（3）a1+a2+a3+a4+…+a100的
= ×（1﹣ ）+ ×（ ﹣ ）+ ×（ ﹣ ）+ ×（ ﹣ ）+…+ ×
= （1﹣ + ﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）
= （1﹣ ）
= ×
= ．
點(diǎn)評： 此題考查尋找數(shù)字的規(guī)律及運(yùn)用規(guī)律計(jì)算．尋找規(guī)律大致可分為2個步驟：不變的和變化的；變化的部分與序號的關(guān)系．
專項(xiàng)二 規(guī)律探索型問題
（2011山東省濰坊市，題號17，分值3）17、右圖中每一個小方格的面積為1，則可根據(jù)面積計(jì)算得到如下算式：
= .
考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法，規(guī)律探索題
解答：當(dāng) 時：
當(dāng) 時：
當(dāng) 時：
猜想： =
點(diǎn)評：在求解規(guī)律探索問題時，常常通過特殊到一般，通過特殊值時的結(jié)論，總結(jié)一般的結(jié)論。
16．（湖南株洲市3,16）一組數(shù)據(jù)為： 觀察其規(guī)律，推斷第n個數(shù)據(jù)應(yīng)為 .
【解析】從一組數(shù)據(jù)第一個數(shù)據(jù)的系數(shù)是正數(shù)，第二個數(shù)據(jù)的系數(shù)是負(fù)數(shù)，字母的次數(shù)從1，2，3依次排列，所以
【答案】
【點(diǎn)評】根據(jù)題目的條件列出算式，找出算式中的規(guī)律得出乘積。
10. （2012浙江麗水3分，10題）小明用棋子擺放圖形來研究數(shù)的規(guī)律.圖1中棋子圍成三角形，其顆數(shù)3，6，9，12，•••成為三角形數(shù)，類似地，圖2中的4，8，12，16，•••稱為正方形數(shù).下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是（ ）
A.2010 B.2012 C.2014 D.2016
【解析】：圖1中棋子顆數(shù)都是3的倍數(shù)，圖2中棋子顆數(shù)都是4的倍數(shù)，要使棋子顆數(shù)既是3的倍數(shù)又是4的倍數(shù)，也即棋子顆數(shù)是12的倍數(shù)，通過計(jì)算可知，只有2016=168×4能被4整除.
【答案】：D
【點(diǎn)評】：本題主要考查規(guī)律探索，做此類問題關(guān)鍵在細(xì)心觀察、認(rèn)真分析.找出既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的數(shù)是12的倍數(shù)是解題的突破口.
9(2012重慶，9，4分)下列圖形都是由同樣大小的五角星按一定的規(guī)律組成，其中第①個圖形一共有2個五角星，第②個圖形一共有8個五角星，第③個圖形一共有18個五角星，…，則第⑥個圖形中五角星的個數(shù)為( )
解析：仔細(xì)觀察圖形的特點(diǎn)，它們都是軸對稱圖形，每一排的個數(shù)都是偶數(shù)，分別是2，4，6，…6,4,2,故第六個圖形五角星個數(shù)可列式為：2+4+6+8+10+12+10+8+6+4+2=72.
答案：D
點(diǎn)評：觀察圖形，尋找規(guī)律，是解決此類問題的關(guān)鍵，本題也可觀察每一列的特點(diǎn)，求出答案。
14.（2012山東省荷澤市，14，3）一個自然數(shù)的立方，可以分裂成若干個連續(xù)奇數(shù)的和，例如：23，33，和43分別可以按如圖所示的方式“分裂”成2個、3個和4個連續(xù)奇數(shù)的和，即23=3+5;33=7+9+11;43=13+15+17+19;……;若63也按照此規(guī)律來進(jìn)行“分裂”，則63“分裂”出的奇數(shù)中，的那個奇數(shù)是_____.
【解析】根據(jù)題意，得53=21+23+25+27+29，63=31+33+35+37+39+41，所填41.
【答案】41
【點(diǎn)評】根據(jù)題目所提供的規(guī)律，繼續(xù)出探索出符合題意的一些特征，最終得出符合條件的數(shù)據(jù).
16.（2012廣州市，16， 3分）如圖5，在標(biāo)有刻度的直線L上，從點(diǎn)A開始，以AB=1為直徑畫半圓，記為第1個半圓；以AB=1為直徑畫半圓，記為第1個半圓；以BC=2為直徑畫半圓，記為第2個半圓；以CD=4為直徑畫半圓，記為第3個半圓；以DE=8為直徑畫半圓，記為第4個半圓；……，按此規(guī)律，繼續(xù)畫半圓，則第4個半圓的面積是第3個半圓面積的 倍，第n個半圓的面積為 。（結(jié)果保留π）
【解析】根據(jù)規(guī)律找出每個半圓的半徑，第n個半圓的直徑為2n－1。
【答案】第4個半圓的面積:第3個半圓面積= π（ ×8）2： π（ ×8）2=4.
第n個半圓的面積為 π（ ×2n－1）2=π22n－5。
【點(diǎn)評】本題主要根據(jù)每個半圓的直徑與第n個半圓的關(guān)系求出直徑的規(guī)律。
專項(xiàng)二 規(guī)律探索型問題
8.（2012江蘇鹽城，8，3分）已知整數(shù)a1,，a2，a3，a4，…滿足下列條件：a1=0，a2=- ,a3=- ,a4=- ,…依次類推，則a2012的值為
A．-1005 B．-1006 C．-1007 D． -2012
【解析】本題考查了有理數(shù)的計(jì)算規(guī)律.掌握探索規(guī)律的方法是關(guān)鍵.先由已知條件分別計(jì)算出a1,，a2，a3，a4…的值，再尋找規(guī)律
【答案】由于a1=0，a2=- =-1，a3=- =-1，a4=- =-2，a5=-2,a6=-3,a7=-3,a8=-4,a9=-4,a10=-5,a11=-5,a12=-6, ……,所以a2012=- =-1006,故選B．
【點(diǎn)評】題考查探索、歸納和猜想的能力．探索應(yīng)從簡單到復(fù)雜、從特殊到一般、從具體到抽象進(jìn)行歸納與猜想．
10. （2012浙江省紹興，10，3分）如圖，直角三角形紙片ABC中，AB=3，AC=4D為斜邊BC中點(diǎn)，第1次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，折痕與AD交于點(diǎn)P1；設(shè)P1D的中點(diǎn)為D1，第2次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D1重合，折痕與AD交于P2；設(shè)P2D1的中點(diǎn)為D2，第3次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D2重合，折痕與AD交于點(diǎn)P3；…；設(shè)Pn-1Dn-2的中點(diǎn)為Dn-1，第n次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)Dn-1重合，折痕與AD交于點(diǎn)Pn（n＞2），則AP6的長為（ ）
第10題圖
A. B. C. D.
【解析】解析：在Rt△ABC中，AC=4，AB=3，所以BC=5，又D是BC的中點(diǎn)，所以AD= ，因?yàn)辄c(diǎn)A、D是一組對稱點(diǎn)，所以AP1= × ，因?yàn)槭荄1是D P1的中點(diǎn)，所以A D1= × × ，即AP2= × × × ，同理AP3= × ×（ × ）2，…APn= × ×（ × ）n-1，所以AP6= × ×（ × ）5= ，故應(yīng)選A ．
【答案】A
【點(diǎn)評】找規(guī)律的問題，首先要從最基本的幾個圖形中先求出數(shù)值，并進(jìn)一步觀察具體的變化情況，從中找出一般規(guī)律．
10. （2012浙江麗水3分，10題）小明用棋子擺放圖形來研究數(shù)的規(guī)律.圖1中棋子圍成三角形，其顆數(shù)3，6，9，12，•••成為三角形數(shù)，類似地，圖2中的4，8，12，16，•••稱為正方形數(shù).下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是（ ）
A.2010 B.2012 C.2014 D.2016
【解析】：圖1中棋子顆數(shù)都是3的倍數(shù)，圖2中棋子顆數(shù)都是4的倍數(shù)，要使棋子顆數(shù)既是3的倍數(shù)又是4的倍數(shù)，也即棋子顆數(shù)是12的倍數(shù)，通過計(jì)算可知，只有2016=168×4能被4整除.
【答案】：D
【點(diǎn)評】：本題主要考查規(guī)律探索，做此類問題關(guān)鍵在細(xì)心觀察、認(rèn)真分析.找出既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的數(shù)是12的倍數(shù)是解題的突破口.
14．（2012江蘇泰州市，14,3分）根據(jù)排列規(guī)律，在橫線上填上合適的代數(shù)式：x，3x2，5x3， ，9x5，…．
【解析】看系數(shù)是1,3,5,7，…，第四項(xiàng)應(yīng)是7，看指數(shù)第第四項(xiàng)是x4第四項(xiàng)是7x4
【答案】7x4
【點(diǎn)評】本題主要考查規(guī)律探索，做此類問題關(guān)鍵在細(xì)心觀察、認(rèn)真分析，如果次數(shù)較少可按規(guī)律一次寫下去
10．（2012貴州銅仁，10，4分如圖，第①個圖形中一共有1個平行四邊形，第②個圖形中一共有5個平行四邊形，第③個圖形中一共有11個平行四邊形，……則第⑩個圖形中平行四邊形的個數(shù)是（ ）
A.54 B.110 C.19 D.109
【解析】仔細(xì)觀察圖形可得，圖形①中1=1×1+0，圖形②中5=2×2+1，圖形③中 11=3×3+2，……，依次類推，∴第⑩個圖形中平行四邊形的個數(shù)是10×10+9=109
【解答】D.
【點(diǎn)評】本題考查了圖形的變化規(guī)律，較難.探索規(guī)律的問題是近幾年數(shù)學(xué)中考的一個“熱門”題型.解決這類問題的基本思路是：通過觀察、分析若干特殊情形，歸納總結(jié)出一般性結(jié)論，然后驗(yàn)證其結(jié)論的正確性.
15．（2012湖北隨州，15,4分）平面內(nèi)不同的兩點(diǎn)確定一條直線，不同的三點(diǎn)最多確定三條直線。若平面內(nèi)的不同的n個點(diǎn)最多可確定15條直線，則n的值為______________。6
解析：設(shè)有n個點(diǎn)時， ，解得n=6或n=-5（舍去）．
答案：6
點(diǎn)評：本題是個規(guī)律性題目，關(guān)鍵知道當(dāng)不在同一平面上的n個點(diǎn)時，可確定 條直線，再代入15可求出解．
16．(2012山東德州中考,16,4,)如圖，在一單位為1的方格紙上，△ ，△ ，△ ，……，都是斜邊在x軸上、斜邊長分別為2，4，6，……的等腰直角三角形．若△ 的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 (2，0)， (1，-1)，
(0，0)，則依圖中所示規(guī)律， 的坐標(biāo)為 ．
16．【解析】畫出圖像可找到規(guī)律，下標(biāo)為4n(n為非負(fù)整數(shù))的A點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，縱坐標(biāo)為2n,則 的坐標(biāo)為（2，1006）．
【答案】（2，1006）
【點(diǎn)評】這類問題要善于總結(jié)，正確分析出題中所隱含的規(guī)律．
24．（2012四川內(nèi)江，24，6分）設(shè)ai≠0（i＝1，2，……2012），且滿足 ＋ ＋…＋ ＝1968，則直線y＝aix＋i（i＝1，2，…2012）的圖象經(jīng)過第一、二、四象限的概率為 .
【解析】因?yàn)?可能等于1，也可能等于－1，類似的 ，…， 都具有這種現(xiàn)象，而 ＋ ＋…＋ ＝1968，從 到 又有2012個比值，2012－1968＝44，所以 ， ，…， 中一定有22個1和22個－1之間相加產(chǎn)生22個0，那么 ， ，…， 這些比值中會有22個－1，所以ai（i＝1，2，…2012）中會有22個負(fù)數(shù)，則直線y＝aix＋i（i＝1，2，…2012）的圖象經(jīng)過第一、二、四象限的概率為 ＝ ．
【答案】
【點(diǎn)評】直線y＝aix＋i（i＝1，2，…2012）經(jīng)過第一、二、四象限要求ai＜0，i＞0，只要判斷出ai（i＝1，2，…2012）中有多少個負(fù)數(shù)，然后利用簡易概率求法公式：P（A）＝ ，求解即可．另外，解答此題需要良好的邏輯推理能力，對學(xué)生的思維能力要求較高，啟示平時學(xué)習(xí)中要注意將數(shù)學(xué)思考變成習(xí)慣．
9(2012重慶，9，4分)下列圖形都是由同樣大小的五角星按一定的規(guī)律組成，其中第①個圖形一共有2個五角星，第②個圖形一共有8個五角星，第③個圖形一共有18個五角星，…，則第⑥個圖形中五角星的個數(shù)為( )
解析：仔細(xì)觀察圖形的特點(diǎn)，它們都是軸對稱圖形，每一排的個數(shù)都是偶數(shù)，分別是2，4，6，…6,4,2,故第六個圖形五角星個數(shù)可列式為：2+4+6+8+10+12+10+8+6+4+2=72.
答案：D
點(diǎn)評：觀察圖形，尋找規(guī)律，是解決此類問題的關(guān)鍵，本題也可觀察每一列的特點(diǎn)，求出答案。
23．（2012四川內(nèi)江，23，6分）如圖12，已知A1，A2，A3，…An，…是x軸上的點(diǎn)，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An-1An…＝1，分別過點(diǎn)A1，A2，A3，…An，…作x軸的垂線交反比例函數(shù)y＝ (x＞0)的圖象于點(diǎn)B1，B2，B3，…Bn，…，過點(diǎn)B2作B2P1⊥A1B1于點(diǎn)P1，過點(diǎn)B3作B3P2⊥A2B2于點(diǎn)P2……，記△B1P1B2的面積為S1，△B2P2B3的面積為S2……，△BnPnBn+1的面積為Sn，則S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝ .
【解析】由OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An-1An…＝1，可得P1B2＝P2B3＝P3B4＝…＝PnBn+1＝1，以及B1（1，1），B2（2， ），B3（3， ），…，Bn（n， ），Bn+1（n＋1， ），所以S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝ B1P1•P1B2＋ B2P2•P2B3＋… BnPn•PnBn+1＝ ( B1P1＋B2P2＋…BnPn)＝ ( 1－ ＋ － ＋…＋ － )＝ ( 1－ )＝ ．
【答案】
【點(diǎn)評】各地中考經(jīng)常將反比例函數(shù)與三角形、矩形的面積結(jié)合在一起考查，本題屬于這類問題中的較難問題．解答時需注意：1.耐心、認(rèn)真閱讀題意，抓住各三角形的水平直角邊都等于1這一特征，從而將面積和轉(zhuǎn)化為豎直直角邊和的一半；2.能用解析思想表達(dá)出B1，B2，B3，…，Bn的坐標(biāo)，進(jìn)而表達(dá)出所有直角三角形豎直直角邊的長；3.具有一定的數(shù)式規(guī)律探究能力．
14.（2012山東省荷澤市，14，3）一個自然數(shù)的立方，可以分裂成若干個連續(xù)奇數(shù)的和，例如：23，33，和43分別可以按如圖所示的方式“分裂”成2個、3個和4個連續(xù)奇數(shù)的和，即23=3+5;33=7+9+11;43=13+15+17+19;……;若63也按照此規(guī)律來進(jìn)行“分裂”，則63“分裂”出的奇數(shù)中，的那個奇數(shù)是_____.
【解析】根據(jù)題意，得53=21+23+25+27+29，63=31+33+35+37+39+41，所填41.
【答案】41
【點(diǎn)評】根據(jù)題目所提供的規(guī)律，繼續(xù)出探索出符合題意的一些特征，最終得出符合條件的數(shù)據(jù).
16.（2012廣州市，16， 3分）如圖5，在標(biāo)有刻度的直線L上，從點(diǎn)A開始，以AB=1為直徑畫半圓，記為第1個半圓；以AB=1為直徑畫半圓，記為第1個半圓；以BC=2為直徑畫半圓，記為第2個半圓；以CD=4為直徑畫半圓，記為第3個半圓；以DE=8為直徑畫半圓，記為第4個半圓；……，按此規(guī)律，繼續(xù)畫半圓，則第4個半圓的面積是第3個半圓面積的 倍，第n個半圓的面積為 。（結(jié)果保留π）
【解析】根據(jù)規(guī)律找出每個半圓的半徑，第n個半圓的直徑為2n－1。
【答案】第4個半圓的面積:第3個半圓面積= π（ ×8）2： π（ ×8）2=4.
第n個半圓的面積為 π（ ×2n－1）2=π22n－5。
【點(diǎn)評】本題主要根據(jù)每個半圓的直徑與第n個半圓的關(guān)系求出直徑的規(guī)律。
20. ( 2012年浙江省寧波市,20,6)同樣大小的黑色棋子按如圖所示的規(guī)律擺放：
（1） 第5個圖形有多少顆黑色棋子？
（2） 第幾個圖形有2013顆棋子？說明理由。
【解析】（1）根據(jù)圖中所給的黑色棋子的顆數(shù)，找出其中的規(guī)律，即可得出答案；
（2）根據(jù)（1）所找出的規(guī)律，列出式子，即可求出答案．：（1）第一個圖需棋子6，
第二個圖需棋子9，
第三個圖需棋子12，
第四個圖需棋子15，
第五個圖需棋子18，
…
第n個圖需棋子3（n+1）枚．
答：第5個圖形有18顆黑色棋子．
（2）設(shè)第n個圖形有2013顆黑色棋子，
根據(jù)（1）得3（n+1）=2013
解得n=670，
所以第670個圖形有2013顆黑色棋子．
【答案】(1)18；(2)第670個圖形
【點(diǎn)評】此題考查了圖形的變化類，是一道關(guān)于數(shù)字猜想的問題，關(guān)鍵是通過歸納與總結(jié)，得到其中的規(guī)律．
19．（2012湖南益陽，19，10分）觀察圖形，解答問題：
（1）按下表已填寫的形 式填寫表中的空格：
圖① 圖② 圖③
三個角上三個數(shù)的積 1×(－1)×2=－2 (－3)×(－4)×(－5)=－60
三個角上三個數(shù)的和 1＋(－1)＋2=2 (－3)＋(－4)＋(－5)=－12
積與和的商 －2÷2=－1,
（2）請用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律求出圖④中的數(shù)y和圖⑤中的數(shù)x．
【解析】⑴模仿圖①中的第三格（三個角上三個數(shù)的積與三個角上三個數(shù)的和的商）圖②的第三格：(－60)÷(－12)=5圖③的第三格170÷10=17，模仿前面的得到圖③的第一格（三個角上三個數(shù)的積）(－2)×(―5)×17=170第二格（三個角上三個數(shù)的和）(－2)＋(―5)＋17=10；
（2）發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是：中間的數(shù) 所以圖④
圖⑤中： 解之得：
【答案】解: ⑴圖②：(－60)÷(－12)=5 ……………………………………………1分
圖③：(－2)×(―5)×17=170，………………………………………2分
(－2)＋(―5)＋17=10， ………………………………………3分
170÷10=17 . ………………………………………4分
⑵圖④：5×(―8)×(―9)=360………………………………… …………5分
5＋(―8)＋(―9)=－17……………………………………………6分
y=360÷(－12)=－30.…………………………………… ………7分
圖⑤： ， ……………………………………………9分
解得 ……………………………………………10分
【點(diǎn)評】本題主要考查考生對所給圖形的觀察、理解和模仿能力，同時也考查了有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算能力。難度中等。
【解析】設(shè)S=1+5+52+53+…+52012，則5S=5+52+53+54+…+52013，
因此，5S﹣S=52013﹣1，
S= ．
【答案】選C．
【點(diǎn)評】本題考查同底數(shù)冪的乘法，以及類比推理的能力．兩式同時乘以底數(shù)，再相減可得ｓ的值．
（2012廣東肇慶，15，3）觀察下列一組數(shù)： ， ， ， ， ，…… ，它們是按一定規(guī)律排列的，那么這一組數(shù)的第k個數(shù)是 ▲ ．
【解析】通過觀察不難發(fā)現(xiàn)，各分?jǐn)?shù)的分子與分母均相差1，分子為連續(xù)偶數(shù)，分母為連續(xù)奇數(shù)．
【答案】
【點(diǎn)評】本題是一道規(guī)律探索題目，考查了用代數(shù)式表示一般規(guī)律，難度較小．
18. ( 2012年四川省巴中市,18,3)觀察下列面一列數(shù)：1，-2，3，-4，5，-6，…根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，第2012個數(shù)是___________
【解析】觀察知: 下列面一列數(shù)中,它們的絕對值是連續(xù)正整數(shù),第2012個數(shù)的絕對值是2012,值偶數(shù)項(xiàng)是負(fù)數(shù),故填-2012.
【答案】-2012
【點(diǎn)評】本題是找規(guī)律的問題,確定符號是本題的難點(diǎn).
20.（2012貴州省畢節(jié)市，20，5分）在下圖中，每個圖案均由邊 長為1的小 正方形按一定的規(guī)律堆疊而成，照此規(guī)律，第10個圖案中共有 個小正方形。
解析：觀察圖案不難發(fā)現(xiàn)，圖案中的正方形按照從上到下成奇數(shù)列排布，寫出第n個圖案的正方形的個數(shù)，然后利用求和公式寫出表達(dá)式，再把n=10代入進(jìn)行計(jì)算即可得解．
答案：解：第1個圖案中共有1個小正方形，第2個圖案中共有1+3=4個小正方形，第3個圖案中共有1+3+5=9個小正方形，…，第n個圖案中共有1+3+5+…+（2n-1）= =n2個小正方形，所以，第10個圖案中共有102=100個小正方形．故答案為：100．
點(diǎn)評：本題是對圖形變化規(guī)律的考查，根據(jù)圖案從上到下的正方形的個數(shù)成奇數(shù)列排布，得到第n個圖案的正方形的個數(shù)的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．
18．(2012貴州六盤水，18，4分)圖7是我國古代數(shù)學(xué)家楊輝最早發(fā)現(xiàn)的，稱為“楊輝三角形”.它的發(fā)現(xiàn)比西方要早五百年左右，由此可見我國古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的！“楊輝三角形”中有許多規(guī)律，如它的每一行的數(shù)字正好對應(yīng)了 （ 為非負(fù)整數(shù)）的展開式中 按次數(shù)從大到小排列的項(xiàng)的系數(shù).例如 展開式中的系數(shù)1、2、1恰好對應(yīng)圖中第三行的數(shù)字；再入， 展開式中的系數(shù)1、3、3、1恰好對應(yīng)圖中第四行的數(shù)字.請認(rèn)真觀察此圖，寫出 的展開式. ▲ .
分析：該題屬規(guī)律型，通過觀察可發(fā)現(xiàn)第五行的系數(shù)是：1、4、6、4、1，再根據(jù)例子中字母的排列規(guī)律即得到答案．
解答：解：由題意， ，
故填 ．
點(diǎn)評：本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，從整體觀察還要考慮字母及字母指數(shù)的變化規(guī)律，從而得到答案．
17. （2012山東萊蕪， 17，4分） 將正方形ABCD的各邊按如圖所示延長，從射線AB開始，分別在各射線上標(biāo)記點(diǎn) ….,按此規(guī)律，則點(diǎn)A2012在射線 上.
【解析】
射線名稱 點(diǎn) 點(diǎn) 點(diǎn) 點(diǎn) 點(diǎn) 點(diǎn) 點(diǎn) 點(diǎn) 點(diǎn)
A1 A3 A10 A12 A17 A19 A26 A28 …
CD A2 A4 A9 A11 A18 A20 A25 A27 …
BC A5 A7 A14 A16 A21 A23 A30 A32 …
DA A6 A8 A13 A15 A22 A24 A29 A31 …
根據(jù)表格中點(diǎn)的排列規(guī)律，可以得到點(diǎn)的坐標(biāo)是每16個點(diǎn)排列的位置一循環(huán)，
2012=16×125+12，所以點(diǎn)A2012所在的射線和點(diǎn) 所在的直線一樣。
因?yàn)辄c(diǎn) 所在的射線是射線AB，所以點(diǎn)點(diǎn)A2012在射線AB上.
【答案】AB
【點(diǎn)評】本題是一個規(guī)律探索題，可以列出點(diǎn)的排列規(guī)律從中得到規(guī)律，在變化的點(diǎn)中找到其排列直線的不變的規(guī)律，此類問題的排列通常是具有周期性，按照周期循環(huán)，本題難度適中.
16、（2012，黔東南州，16）如圖，第（1）個圖有2個相同的小正方形，第（1）個圖有2個相同的小正方形，第（2）個圖有6個相同的小正方形，第（3）個圖有12個相同的小正方形，第（4）個圖有20個相同的小正方形，……，按此規(guī)律，那么第（ ）個圖有 個相同的小正方形。
（1） （2） （3） （4）
解析：因?yàn)?BR> ，故第（ ）個圖有 個小正方形 .
答案： 或n（n+1）
點(diǎn)評：本題是探索規(guī)律題，解題的關(guān)鍵是從已知圖形中找規(guī)律，難度中等.
15．（2012，湖北孝感，15，3分）2008年北京成功舉辦了xx屆舉世矚目的奧運(yùn)會，今年的奧運(yùn)會將在英國倫敦舉行，奧運(yùn)會的年份與屆數(shù)如下表所示：
年份 1896 1900 1904 … 2012
屆數(shù) 1 2 3 … n
表中n等于__________．
【解析】有表格可知，每四年舉辦一次奧運(yùn)會，由此可得(2012-1896)÷4+1=30
【答案】30
【點(diǎn)評】考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化，此題屬于規(guī)律性題目，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中的已知條件找出規(guī)律，按照此規(guī)律再進(jìn)行計(jì)算即可．
16. （2012•湖北省恩施市，題號16 分值 4）觀察下表：
根據(jù)表中數(shù)的排列規(guī)律，B+D=_________.
【解析】B所在行的規(guī)律是每個數(shù)字等于前兩個數(shù)字的和，所以A=3，B=8；D所在行的規(guī)律是關(guān)于數(shù)字20左右對稱，即D=15，所以B+D=23.
【答案】23
【點(diǎn)評】本題主要考查了學(xué)生觀察和歸納能力，會從所給的數(shù)據(jù)和表格中尋求規(guī)律進(jìn)行解題．找規(guī)律的問題，首先要從最基本的幾個數(shù)字或圖形中先求出數(shù)值，并進(jìn)一步觀察具體的變化情況，從中找出一般規(guī)律．
此類問題“橫看成嶺側(cè)成峰”，隨著觀察角度的不同可有不同的規(guī)律尋求途徑，但最總結(jié)果應(yīng)“殊途同歸”。
（2012河北省17,3分）17、某數(shù)學(xué)活動小組的20位同學(xué)站成一列做報數(shù)游戲，規(guī)則是：從前面第一位同學(xué)開始，每位同學(xué)依次報自己順序的倒數(shù)加1，第1位同學(xué)報 ，第2位同學(xué)報 ，…這樣得到的20個數(shù)的積為_________________.
【解析】化簡各位同學(xué)的報數(shù)，可得第1一位同學(xué)報2，第2位同學(xué)報 ，第3位同學(xué)報 ，…第20個同學(xué)報 ，根據(jù)觀察得到的規(guī)律，便可求出它們的乘機(jī)。
【答案】21
【點(diǎn)評】本題是一道找規(guī)律的題型，在教學(xué)中，要讓學(xué)生了解解題的過程，知道來龍去脈，才能增加自己的能力。難度中等。
20. （2012珠海，20，9分）觀察下列等式：
12×231=132×21，
13×341=143×31，
23×352=253×32，
34×473=374×43，
62×286=682×26，
……
以上每個等式中兩邊數(shù)字是分別對稱的，且每個等式中組成兩位數(shù)與三位數(shù)的數(shù)字之間具有相同規(guī)律，我們稱這類等式為“數(shù)字對稱等式”.
（1）根據(jù)上述各式反映的規(guī)律填空，使式子稱為“數(shù)字對稱等式”：
①52× ＝ ×25；
② ×396＝693× .
（2）設(shè)這類等式左邊兩位數(shù)的十位數(shù)字為 ，個位數(shù)字為 ，且2≤ ≤9，寫出表示“數(shù)字對稱等式”一般規(guī)律的式子（含 、 ），并證明.
【解析】觀察上面的等式,發(fā)現(xiàn)“數(shù)字對稱等式”基本特征,猜想并證明表示“數(shù)字對稱等式”一般規(guī)律的式子.
【答案】（1）①275,572; ②63,36;
（2）(10a+b)[100b+10(a+b)+a]＝[100a+10(a+b)+b](10b+a)
證明:∵左邊＝(10a+b)[100b+10(a+b)+a]＝11(10a+b)(10b+a)
右邊＝[100a+10(a+b)+b](10b+a)＝11(10a+b)(10b+a)
∴左邊＝右邊,原等式成立.
【點(diǎn)評】本是規(guī)律探索題.考查學(xué)生閱讀理解,觀察發(fā)現(xiàn),推理證明的學(xué)習(xí)能力.
14（2012云南省，14 ，3分）觀察下列圖形的排列規(guī)律（其中 分別表示三角形、正方形、五角星）.若第一個圖形是三角形，則第18個圖形是 （填圖形名稱）
【解析】主要的是要看清只有三個基本的圖形來組成一個規(guī)律，三個一組，而且五角星都在最后，前邊兩個相鄰組之間它兩的位置互換，三個一組，恰好18個是6組，第18個剛好是第6組最后一個，五角星。
【答案】五角星
【點(diǎn)評】主要考查考生的觀察能力和細(xì)心程度，要素簡單，但要很快找出規(guī)律，也要細(xì)心揣摩。此題不難。
16．（2012山西，16，3分）如圖，是由形狀相同的正六邊形和正三角形鑲嵌而成的一組有規(guī)律的圖案，則第n個圖案中陰影小三角形的個數(shù)是 ．
【解析】解：由圖可知：第一個圖案有陰影小三角形2個．第二圖案有陰影小三角形2+4=6個．第三個圖案有陰影小三角形2+8=12個，那么第n個就有陰影小三角形2+4（n﹣1）=4n﹣2個，
故答案為：4n﹣2（或2+4（n﹣1））
【答案】4n﹣2（或2+4（n﹣1））
【點(diǎn)評】本題主要考查了圖形有規(guī)律的變化，再由圖形的規(guī)律變化挖掘出規(guī)律，解決此種類型的關(guān)鍵是分別數(shù)清每一個圖形中的三角形個數(shù)，再由此猜想發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而寫出最終結(jié)果.難度中等．
17．（2012山東東營，17，4分）在平面直角坐標(biāo)系 中，點(diǎn) ， ，
，…和 ， ， ，…分別在直線
和 軸上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…
都是等腰直角三角形，如果A1（1，1），
A2（ ），那么點(diǎn) 的縱坐標(biāo)是_ _____．
【解析】把A1（1，1），A2（ ）分別代入 ，可求得k= ,b= ,,所以 ，與x軸交點(diǎn)代坐標(biāo)為（-4，0），設(shè)A3的縱坐標(biāo)為m,則 ，解得m= ,同理可得A4的縱坐標(biāo)為 ，……， 的縱坐標(biāo)是 。
【答案】
【點(diǎn)評】抓住坐標(biāo)間的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵，解此類規(guī)律探索題一般可采用從特殊一般的歸納法。
21．(2012廣東汕頭，21，7分)觀察下列等式：
第1個等式：a1= = ×（1﹣ ）；
第2個等式：a2= = ×（ ﹣ ）；
第3個等式：a3= = ×（ ﹣ ）；
第4個等式：a4= = ×（ ﹣ ）；
…
請解答下列問題：
（1）按以上規(guī)律列出第5個等式：a5= = ；
（2）用含有n的代數(shù)式表示第n個等式：an= = ?。╪為正整數(shù)）；
（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．
分析： （1）（2）觀察知，找第一個等號后面的式子規(guī)律是關(guān)鍵：分子不變，為1；分母是兩個連續(xù)奇數(shù)的乘積，它們與式子序號之間的關(guān)系為 序號的2倍減1和序號的2倍加1．
（3）運(yùn)用變化規(guī)律計(jì)算．
解答： 解：根據(jù)觀察知答案分別為：
（1） ； ；
（2） ； ；
（3）a1+a2+a3+a4+…+a100的
= ×（1﹣ ）+ ×（ ﹣ ）+ ×（ ﹣ ）+ ×（ ﹣ ）+…+ ×
= （1﹣ + ﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）
= （1﹣ ）
= ×
= ．
點(diǎn)評： 此題考查尋找數(shù)字的規(guī)律及運(yùn)用規(guī)律計(jì)算．尋找規(guī)律大致可分為2個步驟：不變的和變化的；變化的部分與序號的關(guān)系．
專項(xiàng)二 規(guī)律探索型問題
（2011山東省濰坊市，題號17，分值3）17、右圖中每一個小方格的面積為1，則可根據(jù)面積計(jì)算得到如下算式：
= .
考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法，規(guī)律探索題
解答：當(dāng) 時：
當(dāng) 時：
當(dāng) 時：
猜想： =
點(diǎn)評：在求解規(guī)律探索問題時，常常通過特殊到一般，通過特殊值時的結(jié)論，總結(jié)一般的結(jié)論。
16．（湖南株洲市3,16）一組數(shù)據(jù)為： 觀察其規(guī)律，推斷第n個數(shù)據(jù)應(yīng)為 .
【解析】從一組數(shù)據(jù)第一個數(shù)據(jù)的系數(shù)是正數(shù)，第二個數(shù)據(jù)的系數(shù)是負(fù)數(shù)，字母的次數(shù)從1，2，3依次排列，所以
【答案】
【點(diǎn)評】根據(jù)題目的條件列出算式，找出算式中的規(guī)律得出乘積。
10. （2012浙江麗水3分，10題）小明用棋子擺放圖形來研究數(shù)的規(guī)律.圖1中棋子圍成三角形，其顆數(shù)3，6，9，12，•••成為三角形數(shù)，類似地，圖2中的4，8，12，16，•••稱為正方形數(shù).下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是（ ）
A.2010 B.2012 C.2014 D.2016
【解析】：圖1中棋子顆數(shù)都是3的倍數(shù)，圖2中棋子顆數(shù)都是4的倍數(shù)，要使棋子顆數(shù)既是3的倍數(shù)又是4的倍數(shù)，也即棋子顆數(shù)是12的倍數(shù)，通過計(jì)算可知，只有2016=168×4能被4整除.
【答案】：D
【點(diǎn)評】：本題主要考查規(guī)律探索，做此類問題關(guān)鍵在細(xì)心觀察、認(rèn)真分析.找出既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的數(shù)是12的倍數(shù)是解題的突破口.
9(2012重慶，9，4分)下列圖形都是由同樣大小的五角星按一定的規(guī)律組成，其中第①個圖形一共有2個五角星，第②個圖形一共有8個五角星，第③個圖形一共有18個五角星，…，則第⑥個圖形中五角星的個數(shù)為( )
解析：仔細(xì)觀察圖形的特點(diǎn)，它們都是軸對稱圖形，每一排的個數(shù)都是偶數(shù)，分別是2，4，6，…6,4,2,故第六個圖形五角星個數(shù)可列式為：2+4+6+8+10+12+10+8+6+4+2=72.
答案：D
點(diǎn)評：觀察圖形，尋找規(guī)律，是解決此類問題的關(guān)鍵，本題也可觀察每一列的特點(diǎn)，求出答案。
14.（2012山東省荷澤市，14，3）一個自然數(shù)的立方，可以分裂成若干個連續(xù)奇數(shù)的和，例如：23，33，和43分別可以按如圖所示的方式“分裂”成2個、3個和4個連續(xù)奇數(shù)的和，即23=3+5;33=7+9+11;43=13+15+17+19;……;若63也按照此規(guī)律來進(jìn)行“分裂”，則63“分裂”出的奇數(shù)中，的那個奇數(shù)是_____.
【解析】根據(jù)題意，得53=21+23+25+27+29，63=31+33+35+37+39+41，所填41.
【答案】41
【點(diǎn)評】根據(jù)題目所提供的規(guī)律，繼續(xù)出探索出符合題意的一些特征，最終得出符合條件的數(shù)據(jù).
16.（2012廣州市，16， 3分）如圖5，在標(biāo)有刻度的直線L上，從點(diǎn)A開始，以AB=1為直徑畫半圓，記為第1個半圓；以AB=1為直徑畫半圓，記為第1個半圓；以BC=2為直徑畫半圓，記為第2個半圓；以CD=4為直徑畫半圓，記為第3個半圓；以DE=8為直徑畫半圓，記為第4個半圓；……，按此規(guī)律，繼續(xù)畫半圓，則第4個半圓的面積是第3個半圓面積的 倍，第n個半圓的面積為 。（結(jié)果保留π）
【解析】根據(jù)規(guī)律找出每個半圓的半徑，第n個半圓的直徑為2n－1。
【答案】第4個半圓的面積:第3個半圓面積= π（ ×8）2： π（ ×8）2=4.
第n個半圓的面積為 π（ ×2n－1）2=π22n－5。
【點(diǎn)評】本題主要根據(jù)每個半圓的直徑與第n個半圓的關(guān)系求出直徑的規(guī)律。
專項(xiàng)二 規(guī)律探索型問題
8.（2012江蘇鹽城，8，3分）已知整數(shù)a1,，a2，a3，a4，…滿足下列條件：a1=0，a2=- ,a3=- ,a4=- ,…依次類推，則a2012的值為
A．-1005 B．-1006 C．-1007 D． -2012
【解析】本題考查了有理數(shù)的計(jì)算規(guī)律.掌握探索規(guī)律的方法是關(guān)鍵.先由已知條件分別計(jì)算出a1,，a2，a3，a4…的值，再尋找規(guī)律
【答案】由于a1=0，a2=- =-1，a3=- =-1，a4=- =-2，a5=-2,a6=-3,a7=-3,a8=-4,a9=-4,a10=-5,a11=-5,a12=-6, ……,所以a2012=- =-1006,故選B．
【點(diǎn)評】題考查探索、歸納和猜想的能力．探索應(yīng)從簡單到復(fù)雜、從特殊到一般、從具體到抽象進(jìn)行歸納與猜想．
10. （2012浙江省紹興，10，3分）如圖，直角三角形紙片ABC中，AB=3，AC=4D為斜邊BC中點(diǎn)，第1次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，折痕與AD交于點(diǎn)P1；設(shè)P1D的中點(diǎn)為D1，第2次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D1重合，折痕與AD交于P2；設(shè)P2D1的中點(diǎn)為D2，第3次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D2重合，折痕與AD交于點(diǎn)P3；…；設(shè)Pn-1Dn-2的中點(diǎn)為Dn-1，第n次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)Dn-1重合，折痕與AD交于點(diǎn)Pn（n＞2），則AP6的長為（ ）
第10題圖
A. B. C. D.
【解析】解析：在Rt△ABC中，AC=4，AB=3，所以BC=5，又D是BC的中點(diǎn)，所以AD= ，因?yàn)辄c(diǎn)A、D是一組對稱點(diǎn)，所以AP1= × ，因?yàn)槭荄1是D P1的中點(diǎn)，所以A D1= × × ，即AP2= × × × ，同理AP3= × ×（ × ）2，…APn= × ×（ × ）n-1，所以AP6= × ×（ × ）5= ，故應(yīng)選A ．
【答案】A
【點(diǎn)評】找規(guī)律的問題，首先要從最基本的幾個圖形中先求出數(shù)值，并進(jìn)一步觀察具體的變化情況，從中找出一般規(guī)律．
10. （2012浙江麗水3分，10題）小明用棋子擺放圖形來研究數(shù)的規(guī)律.圖1中棋子圍成三角形，其顆數(shù)3，6，9，12，•••成為三角形數(shù)，類似地，圖2中的4，8，12，16，•••稱為正方形數(shù).下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是（ ）
A.2010 B.2012 C.2014 D.2016
【解析】：圖1中棋子顆數(shù)都是3的倍數(shù)，圖2中棋子顆數(shù)都是4的倍數(shù)，要使棋子顆數(shù)既是3的倍數(shù)又是4的倍數(shù)，也即棋子顆數(shù)是12的倍數(shù)，通過計(jì)算可知，只有2016=168×4能被4整除.
【答案】：D
【點(diǎn)評】：本題主要考查規(guī)律探索，做此類問題關(guān)鍵在細(xì)心觀察、認(rèn)真分析.找出既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的數(shù)是12的倍數(shù)是解題的突破口.
14．（2012江蘇泰州市，14,3分）根據(jù)排列規(guī)律，在橫線上填上合適的代數(shù)式：x，3x2，5x3， ，9x5，…．
【解析】看系數(shù)是1,3,5,7，…，第四項(xiàng)應(yīng)是7，看指數(shù)第第四項(xiàng)是x4第四項(xiàng)是7x4
【答案】7x4
【點(diǎn)評】本題主要考查規(guī)律探索，做此類問題關(guān)鍵在細(xì)心觀察、認(rèn)真分析，如果次數(shù)較少可按規(guī)律一次寫下去
10．（2012貴州銅仁，10，4分如圖，第①個圖形中一共有1個平行四邊形，第②個圖形中一共有5個平行四邊形，第③個圖形中一共有11個平行四邊形，……則第⑩個圖形中平行四邊形的個數(shù)是（ ）
A.54 B.110 C.19 D.109
【解析】仔細(xì)觀察圖形可得，圖形①中1=1×1+0，圖形②中5=2×2+1，圖形③中 11=3×3+2，……，依次類推，∴第⑩個圖形中平行四邊形的個數(shù)是10×10+9=109
【解答】D.
【點(diǎn)評】本題考查了圖形的變化規(guī)律，較難.探索規(guī)律的問題是近幾年數(shù)學(xué)中考的一個“熱門”題型.解決這類問題的基本思路是：通過觀察、分析若干特殊情形，歸納總結(jié)出一般性結(jié)論，然后驗(yàn)證其結(jié)論的正確性.
15．（2012湖北隨州，15,4分）平面內(nèi)不同的兩點(diǎn)確定一條直線，不同的三點(diǎn)最多確定三條直線。若平面內(nèi)的不同的n個點(diǎn)最多可確定15條直線，則n的值為______________。6
解析：設(shè)有n個點(diǎn)時， ，解得n=6或n=-5（舍去）．
答案：6
點(diǎn)評：本題是個規(guī)律性題目，關(guān)鍵知道當(dāng)不在同一平面上的n個點(diǎn)時，可確定 條直線，再代入15可求出解．
16．(2012山東德州中考,16,4,)如圖，在一單位為1的方格紙上，△ ，△ ，△ ，……，都是斜邊在x軸上、斜邊長分別為2，4，6，……的等腰直角三角形．若△ 的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 (2，0)， (1，-1)，
(0，0)，則依圖中所示規(guī)律， 的坐標(biāo)為 ．
16．【解析】畫出圖像可找到規(guī)律，下標(biāo)為4n(n為非負(fù)整數(shù))的A點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，縱坐標(biāo)為2n,則 的坐標(biāo)為（2，1006）．
【答案】（2，1006）
【點(diǎn)評】這類問題要善于總結(jié)，正確分析出題中所隱含的規(guī)律．
24．（2012四川內(nèi)江，24，6分）設(shè)ai≠0（i＝1，2，……2012），且滿足 ＋ ＋…＋ ＝1968，則直線y＝aix＋i（i＝1，2，…2012）的圖象經(jīng)過第一、二、四象限的概率為 .
【解析】因?yàn)?可能等于1，也可能等于－1，類似的 ，…， 都具有這種現(xiàn)象，而 ＋ ＋…＋ ＝1968，從 到 又有2012個比值，2012－1968＝44，所以 ， ，…， 中一定有22個1和22個－1之間相加產(chǎn)生22個0，那么 ， ，…， 這些比值中會有22個－1，所以ai（i＝1，2，…2012）中會有22個負(fù)數(shù)，則直線y＝aix＋i（i＝1，2，…2012）的圖象經(jīng)過第一、二、四象限的概率為 ＝ ．
【答案】
【點(diǎn)評】直線y＝aix＋i（i＝1，2，…2012）經(jīng)過第一、二、四象限要求ai＜0，i＞0，只要判斷出ai（i＝1，2，…2012）中有多少個負(fù)數(shù)，然后利用簡易概率求法公式：P（A）＝ ，求解即可．另外，解答此題需要良好的邏輯推理能力，對學(xué)生的思維能力要求較高，啟示平時學(xué)習(xí)中要注意將數(shù)學(xué)思考變成習(xí)慣．
9(2012重慶，9，4分)下列圖形都是由同樣大小的五角星按一定的規(guī)律組成，其中第①個圖形一共有2個五角星，第②個圖形一共有8個五角星，第③個圖形一共有18個五角星，…，則第⑥個圖形中五角星的個數(shù)為( )
解析：仔細(xì)觀察圖形的特點(diǎn)，它們都是軸對稱圖形，每一排的個數(shù)都是偶數(shù)，分別是2，4，6，…6,4,2,故第六個圖形五角星個數(shù)可列式為：2+4+6+8+10+12+10+8+6+4+2=72.
答案：D
點(diǎn)評：觀察圖形，尋找規(guī)律，是解決此類問題的關(guān)鍵，本題也可觀察每一列的特點(diǎn)，求出答案。
23．（2012四川內(nèi)江，23，6分）如圖12，已知A1，A2，A3，…An，…是x軸上的點(diǎn)，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An-1An…＝1，分別過點(diǎn)A1，A2，A3，…An，…作x軸的垂線交反比例函數(shù)y＝ (x＞0)的圖象于點(diǎn)B1，B2，B3，…Bn，…，過點(diǎn)B2作B2P1⊥A1B1于點(diǎn)P1，過點(diǎn)B3作B3P2⊥A2B2于點(diǎn)P2……，記△B1P1B2的面積為S1，△B2P2B3的面積為S2……，△BnPnBn+1的面積為Sn，則S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝ .
【解析】由OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An-1An…＝1，可得P1B2＝P2B3＝P3B4＝…＝PnBn+1＝1，以及B1（1，1），B2（2， ），B3（3， ），…，Bn（n， ），Bn+1（n＋1， ），所以S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝ B1P1•P1B2＋ B2P2•P2B3＋… BnPn•PnBn+1＝ ( B1P1＋B2P2＋…BnPn)＝ ( 1－ ＋ － ＋…＋ － )＝ ( 1－ )＝ ．
【答案】
【點(diǎn)評】各地中考經(jīng)常將反比例函數(shù)與三角形、矩形的面積結(jié)合在一起考查，本題屬于這類問題中的較難問題．解答時需注意：1.耐心、認(rèn)真閱讀題意，抓住各三角形的水平直角邊都等于1這一特征，從而將面積和轉(zhuǎn)化為豎直直角邊和的一半；2.能用解析思想表達(dá)出B1，B2，B3，…，Bn的坐標(biāo)，進(jìn)而表達(dá)出所有直角三角形豎直直角邊的長；3.具有一定的數(shù)式規(guī)律探究能力．
14.（2012山東省荷澤市，14，3）一個自然數(shù)的立方，可以分裂成若干個連續(xù)奇數(shù)的和，例如：23，33，和43分別可以按如圖所示的方式“分裂”成2個、3個和4個連續(xù)奇數(shù)的和，即23=3+5;33=7+9+11;43=13+15+17+19;……;若63也按照此規(guī)律來進(jìn)行“分裂”，則63“分裂”出的奇數(shù)中，的那個奇數(shù)是_____.
【解析】根據(jù)題意，得53=21+23+25+27+29，63=31+33+35+37+39+41，所填41.
【答案】41
【點(diǎn)評】根據(jù)題目所提供的規(guī)律，繼續(xù)出探索出符合題意的一些特征，最終得出符合條件的數(shù)據(jù).
16.（2012廣州市，16， 3分）如圖5，在標(biāo)有刻度的直線L上，從點(diǎn)A開始，以AB=1為直徑畫半圓，記為第1個半圓；以AB=1為直徑畫半圓，記為第1個半圓；以BC=2為直徑畫半圓，記為第2個半圓；以CD=4為直徑畫半圓，記為第3個半圓；以DE=8為直徑畫半圓，記為第4個半圓；……，按此規(guī)律，繼續(xù)畫半圓，則第4個半圓的面積是第3個半圓面積的 倍，第n個半圓的面積為 。（結(jié)果保留π）
【解析】根據(jù)規(guī)律找出每個半圓的半徑，第n個半圓的直徑為2n－1。
【答案】第4個半圓的面積:第3個半圓面積= π（ ×8）2： π（ ×8）2=4.
第n個半圓的面積為 π（ ×2n－1）2=π22n－5。
【點(diǎn)評】本題主要根據(jù)每個半圓的直徑與第n個半圓的關(guān)系求出直徑的規(guī)律。
20. ( 2012年浙江省寧波市,20,6)同樣大小的黑色棋子按如圖所示的規(guī)律擺放：
（1） 第5個圖形有多少顆黑色棋子？
（2） 第幾個圖形有2013顆棋子？說明理由。
【解析】（1）根據(jù)圖中所給的黑色棋子的顆數(shù)，找出其中的規(guī)律，即可得出答案；
（2）根據(jù)（1）所找出的規(guī)律，列出式子，即可求出答案．：（1）第一個圖需棋子6，
第二個圖需棋子9，
第三個圖需棋子12，
第四個圖需棋子15，
第五個圖需棋子18，
…
第n個圖需棋子3（n+1）枚．
答：第5個圖形有18顆黑色棋子．
（2）設(shè)第n個圖形有2013顆黑色棋子，
根據(jù)（1）得3（n+1）=2013
解得n=670，
所以第670個圖形有2013顆黑色棋子．
【答案】(1)18；(2)第670個圖形
【點(diǎn)評】此題考查了圖形的變化類，是一道關(guān)于數(shù)字猜想的問題，關(guān)鍵是通過歸納與總結(jié)，得到其中的規(guī)律．
19．（2012湖南益陽，19，10分）觀察圖形，解答問題：
（1）按下表已填寫的形 式填寫表中的空格：
圖① 圖② 圖③
三個角上三個數(shù)的積 1×(－1)×2=－2 (－3)×(－4)×(－5)=－60
三個角上三個數(shù)的和 1＋(－1)＋2=2 (－3)＋(－4)＋(－5)=－12
積與和的商 －2÷2=－1,
（2）請用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律求出圖④中的數(shù)y和圖⑤中的數(shù)x．
【解析】⑴模仿圖①中的第三格（三個角上三個數(shù)的積與三個角上三個數(shù)的和的商）圖②的第三格：(－60)÷(－12)=5圖③的第三格170÷10=17，模仿前面的得到圖③的第一格（三個角上三個數(shù)的積）(－2)×(―5)×17=170第二格（三個角上三個數(shù)的和）(－2)＋(―5)＋17=10；
（2）發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是：中間的數(shù) 所以圖④
圖⑤中： 解之得：
【答案】解: ⑴圖②：(－60)÷(－12)=5 ……………………………………………1分
圖③：(－2)×(―5)×17=170，………………………………………2分
(－2)＋(―5)＋17=10， ………………………………………3分
170÷10=17 . ………………………………………4分
⑵圖④：5×(―8)×(―9)=360………………………………… …………5分
5＋(―8)＋(―9)=－17……………………………………………6分
y=360÷(－12)=－30.…………………………………… ………7分
圖⑤： ， ……………………………………………9分
解得 ……………………………………………10分
【點(diǎn)評】本題主要考查考生對所給圖形的觀察、理解和模仿能力，同時也考查了有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算能力。難度中等。