數學推理基本方法
一、等差數列 (第一切入角度)
第一切入角度:進行任何數字推理時,首先想到等差數列及其變式.
1.等差數列的特點是:數列各項依次遞增或遞減,各項數字之間的變化幅度不大
例:
12,17,22,( ),32.
2.二級等差數列:后一項減去前一項所得的新數列是一個等差數列
例:
2,6,12,20,30,( )
3.二級等差數列的變式:后一項減前一項所得的新的數列是一個呈現(xiàn)某種規(guī)律變化的數列,這個數列可能是自然數列、平方數列、立方數列,或者與加減某個常數(如1,2,3,4,5等)的形式有關
例:1,2,5,14,( )
解析:2-1=1,5-2=3,14-5=9,即:3^0,3^1,3^2.由此可以推知下一項為41.
例:
20,22,25,30,37,( )
解析:后一項減前一項所得的新數列為質數數列.
4.多級等差數列及其變式:一個數列經過兩次以上(包括兩次)的后項減前項的變化后,所得到的新數列是一個等差數列.其變式指一個數列經過兩次以上(包括兩次)的后項減前項變化后,得到一個新的數列,這個數列可能是自然數列、等比數列、平方數列、立方數列或加減某個常數(如1,2,3,4,5)的形式有關的數列
例:
0,4,16,40,80,( )
解析:3級等差.
例:
1,10,31,70,133,( )
解析:原數列后項減前項的值構成新數列,新數列后項減前項的值構成以6為公差的等差數列.
二、等比數列
等比數列的概念構建與等差數列的概念構建基本一致,所以要對比記憶與學習.
注意:等比數列不可能出現(xiàn)"0"這個常數,若數列中有"0"肯定不是等比數列.
當等比數列的公比為負數時,這個數列就會是正數與負數交替出現(xiàn).
1.等比數列
例:
3,9,( ),81,243
2.二級等比數列:數列后項除以前項所得的新數列為等比數列.
例:
1,2,8,( ),1024
3.二級等比數列變式:后一項與前一項所得之比形成的新的數列可能是自然數列、平方數列、立方數列或者加減某個常數(如 1,2,3,4,5等)的形式有關的數列.
例:
102,96,108,84,132,( )
解析:后項減前項的新數列是以-2為公比的等比數列.
三、和數列
1.典型和數列:典型和數列是指前兩項相加的和等于下一項.
例:
1,1,2,3,5,8,( )
2.典型和數列的變式:指前兩項相加的和經過變化之后得到下一項,這種變化可能是加、減、乘、除某一常數(如1,2,3,4,5等);或者每相鄰兩項相加之和與項數之間具有某種關系;或者每相鄰兩項相加得到某一等差數列、等比數列、平方數列、立方數列等形式.
例:
2,3,13,175,( )
解析:第三項為第二項的平方加上第一項的2倍.(13=3^2+2*2,175=13^2+3*2)
例:
1,4,3,5,2,6,4,7,( )
解析:偶數等于前后兩個奇數之和.
3.三項和數列及其變式:特點為"相鄰三項加之和等于下一項".三項和數列的變式是指前三項相加后,再加、減、乘、除某一常數得到下一項,或是數列前三項相加得到一個等差數列、等比數列、平方數列、立方數列等形式.
例:
0,1,1,2,4,7,13,( )
解析:典型的三項和數列.
四、積數列
1.典型積數列:指數列中前兩項相乘得到下一項.
例:
1,3,3,9,( ),243
2.積數列的變式:數列中每相鄰兩項相乘經過變化之后得到下一項,這種變化可能是加、減、乘、除某一常數,或者相鄰兩項相乘與項數之間具有某種關系,或是前兩項相乘得到等差數列,等比數列,平方數列,立方數列等形式.
例:
3,7,16,107,( )
解析:第三項等于前兩項的積減去5.(16=3*7-5,107=16*7-5)
例:
3,4,6,12,36,( )
解析:第三項等于前兩項的積再除以2.(6=3*4/2,12=4*6/2,36=12*6/2)
五、平方數列
1.典型平方數列(遞增或遞減):分為幾種基本數列(自然數列、奇數數列、質數數列、等差數列)的平方.
例:
16,9,4,1,0,1,( )
2.平方數列的變式:這一數列不是簡單的平方數列,而是在此基礎上進行"加減乘除某一常數"的變化.
例:
2,12,36,80,( )
解析:方法1:2=2*1^2,12=3*2^2,36=4*3^2,80=5*4^2
方法2:2=1^2+1^3,12=2^2+2^3,36=3^2+3^3,80=4^2+4^3
例:
1/6,2/3,3/2,8/3,( )
解析:先將數列變形為:1/6,4/6,9/6,16/6,即:1^2/6,2^2/6,3^2/6,4^2/6.
3.二級平方數列:把原數列還原為平方形式后,其底數之間的關系可能為等比數列,等差數列,和數列,減法數列等關系.
例:
1,4,16,49,121,( )
解析:原數列變形為:1^2,2^2,4^2,7^2,11^2,可看出1,2,4,7,11的差為1,2,3,4.
例:
1,2,3,7,46,( )
解析:第三項等于第二項的平方減去第一項(3=2^2-1,7=3^2-2)
例:
57,22,36,-12,51,( )
解析:數列前一項減后一項的差再加項數等于下一項.(57-22+1=36,22-36+2=-12)
一、等差數列 (第一切入角度)
第一切入角度:進行任何數字推理時,首先想到等差數列及其變式.
1.等差數列的特點是:數列各項依次遞增或遞減,各項數字之間的變化幅度不大
例:
12,17,22,( ),32.
2.二級等差數列:后一項減去前一項所得的新數列是一個等差數列
例:
2,6,12,20,30,( )
3.二級等差數列的變式:后一項減前一項所得的新的數列是一個呈現(xiàn)某種規(guī)律變化的數列,這個數列可能是自然數列、平方數列、立方數列,或者與加減某個常數(如1,2,3,4,5等)的形式有關
例:1,2,5,14,( )
解析:2-1=1,5-2=3,14-5=9,即:3^0,3^1,3^2.由此可以推知下一項為41.
例:
20,22,25,30,37,( )
解析:后一項減前一項所得的新數列為質數數列.
4.多級等差數列及其變式:一個數列經過兩次以上(包括兩次)的后項減前項的變化后,所得到的新數列是一個等差數列.其變式指一個數列經過兩次以上(包括兩次)的后項減前項變化后,得到一個新的數列,這個數列可能是自然數列、等比數列、平方數列、立方數列或加減某個常數(如1,2,3,4,5)的形式有關的數列
例:
0,4,16,40,80,( )
解析:3級等差.
例:
1,10,31,70,133,( )
解析:原數列后項減前項的值構成新數列,新數列后項減前項的值構成以6為公差的等差數列.
二、等比數列
等比數列的概念構建與等差數列的概念構建基本一致,所以要對比記憶與學習.
注意:等比數列不可能出現(xiàn)"0"這個常數,若數列中有"0"肯定不是等比數列.
當等比數列的公比為負數時,這個數列就會是正數與負數交替出現(xiàn).
1.等比數列
例:
3,9,( ),81,243
2.二級等比數列:數列后項除以前項所得的新數列為等比數列.
例:
1,2,8,( ),1024
3.二級等比數列變式:后一項與前一項所得之比形成的新的數列可能是自然數列、平方數列、立方數列或者加減某個常數(如 1,2,3,4,5等)的形式有關的數列.
例:
102,96,108,84,132,( )
解析:后項減前項的新數列是以-2為公比的等比數列.
三、和數列
1.典型和數列:典型和數列是指前兩項相加的和等于下一項.
例:
1,1,2,3,5,8,( )
2.典型和數列的變式:指前兩項相加的和經過變化之后得到下一項,這種變化可能是加、減、乘、除某一常數(如1,2,3,4,5等);或者每相鄰兩項相加之和與項數之間具有某種關系;或者每相鄰兩項相加得到某一等差數列、等比數列、平方數列、立方數列等形式.
例:
2,3,13,175,( )
解析:第三項為第二項的平方加上第一項的2倍.(13=3^2+2*2,175=13^2+3*2)
例:
1,4,3,5,2,6,4,7,( )
解析:偶數等于前后兩個奇數之和.
3.三項和數列及其變式:特點為"相鄰三項加之和等于下一項".三項和數列的變式是指前三項相加后,再加、減、乘、除某一常數得到下一項,或是數列前三項相加得到一個等差數列、等比數列、平方數列、立方數列等形式.
例:
0,1,1,2,4,7,13,( )
解析:典型的三項和數列.
四、積數列
1.典型積數列:指數列中前兩項相乘得到下一項.
例:
1,3,3,9,( ),243
2.積數列的變式:數列中每相鄰兩項相乘經過變化之后得到下一項,這種變化可能是加、減、乘、除某一常數,或者相鄰兩項相乘與項數之間具有某種關系,或是前兩項相乘得到等差數列,等比數列,平方數列,立方數列等形式.
例:
3,7,16,107,( )
解析:第三項等于前兩項的積減去5.(16=3*7-5,107=16*7-5)
例:
3,4,6,12,36,( )
解析:第三項等于前兩項的積再除以2.(6=3*4/2,12=4*6/2,36=12*6/2)
五、平方數列
1.典型平方數列(遞增或遞減):分為幾種基本數列(自然數列、奇數數列、質數數列、等差數列)的平方.
例:
16,9,4,1,0,1,( )
2.平方數列的變式:這一數列不是簡單的平方數列,而是在此基礎上進行"加減乘除某一常數"的變化.
例:
2,12,36,80,( )
解析:方法1:2=2*1^2,12=3*2^2,36=4*3^2,80=5*4^2
方法2:2=1^2+1^3,12=2^2+2^3,36=3^2+3^3,80=4^2+4^3
例:
1/6,2/3,3/2,8/3,( )
解析:先將數列變形為:1/6,4/6,9/6,16/6,即:1^2/6,2^2/6,3^2/6,4^2/6.
3.二級平方數列:把原數列還原為平方形式后,其底數之間的關系可能為等比數列,等差數列,和數列,減法數列等關系.
例:
1,4,16,49,121,( )
解析:原數列變形為:1^2,2^2,4^2,7^2,11^2,可看出1,2,4,7,11的差為1,2,3,4.
例:
1,2,3,7,46,( )
解析:第三項等于第二項的平方減去第一項(3=2^2-1,7=3^2-2)
例:
57,22,36,-12,51,( )
解析:數列前一項減后一項的差再加項數等于下一項.(57-22+1=36,22-36+2=-12)