3.1 解一元一次方程
1．(2012重慶，7，4分)已知關(guān)于x的方程2x+a一9=0的解是x=2，則a的值為( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】把x=2代入方程2x+a一9=0即可求出a.
【答案】D
【點(diǎn)評(píng)】能使方程兩邊相等的未知數(shù)的值是方程的解，根據(jù)此定義，如果告訴了方程的解，那么這個(gè)數(shù)代人方程中一定使方程兩邊相等，由此可求出待定系數(shù)，這是解決此類問題的常法。
2．（2012浙江省溫州市，9，4分）楠溪江某景點(diǎn)門票價(jià)格：成人票每張70元，兒童票每張35元。小明買20張門票共花了1225元，設(shè)其中有 張成人票， 張兒童票，根據(jù)題意，下列方程組正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【解析】本題的數(shù)量關(guān)系是：成人票的數(shù)量＋兒童票數(shù)量=20；成人票錢數(shù)＋兒童票錢數(shù)=1225．
【答案】B
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列方程組解應(yīng)用題。難度較?。?BR> 3.2 一元一次方程的應(yīng)用
1.（2011山東省濰坊市，題號(hào)12，分值3）12、下圖是某月的日歷表，在此日歷表上可以用一個(gè)矩形圈出 個(gè)位置的9個(gè)數(shù)（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）。若圈出的9個(gè)數(shù)中，數(shù)與最小數(shù)的積為192，則這9個(gè)數(shù)的和為（ ）
A． 32 B．126 C． 135 D．144
【解析】列方程解日歷中問題，日歷中數(shù)據(jù)規(guī)律.
【答案】不妨設(shè)圈出的9個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)為x, 的x+16
根據(jù)“數(shù)與最小數(shù)的積為192”得到
解得 （負(fù)值舍去）
這9個(gè)數(shù)的和：8+9+10+15+16+17+22+23+24=144，所以本題正確答案是D.
【點(diǎn)評(píng)】用字母表示出這9個(gè)數(shù)是解決本題的基礎(chǔ)。根據(jù)題目中的條件列出方程是解決本題的關(guān)鍵.
2．（2012湖南湘潭，15，3分）湖南省2011年赴臺(tái)旅游人數(shù)達(dá)7.6萬人.我市某九年級(jí)一學(xué)生家長(zhǎng)準(zhǔn)備中考后全家 人去臺(tái)灣旅游，計(jì)劃花費(fèi) 元.設(shè)每人向旅行社繳納 元費(fèi)用 后，共剩 元用于購物和品嘗臺(tái)灣美食.根據(jù)題意，列出方程為 .
【解析】找出等量關(guān)系：每人向旅行社繳納 元費(fèi)用，加上用于購物和品嘗臺(tái)灣美食的 元，等于花費(fèi)的 元. 列出方程為3X+5000=20000。
【答案】3X+5000=20000。
【點(diǎn)評(píng)】此題考查列方程解應(yīng)用題的思想方法，要會(huì)審題，找出等量關(guān)系。
3. （2012貴州銅仁，4，4分）銅仁市對(duì)城區(qū)主干道進(jìn)行綠化，計(jì)劃把某一段公路的一側(cè)全部栽上桂花樹，要求路的兩端各栽一棵，并且每?jī)煽脴涞拈g隔相等．如果每隔5米栽1棵，則樹苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，則樹苗正好用完．設(shè)原有樹苗x棵，則根據(jù)題意列出方程正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【解析】?jī)煽脴溆幸粋€(gè)間隔，三棵樹有兩個(gè)間隔，四棵樹有三個(gè)間隔，以此類推X棵樹應(yīng)有(x-1)個(gè)間隔，間隔的個(gè)數(shù)比樹的棵樹少1，因此設(shè)原有樹苗x棵，則根據(jù)題意列出方程
【答案】A
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程的關(guān)鍵是找出等量關(guān)系，此題的等量關(guān)系是公路長(zhǎng)度相等?！氨硎就粋€(gè)量的不同式子相等”是列方程的一個(gè)基本方法。
4. (2012山東省聊城，21，8分）兒童節(jié)期間，文具商店搞促銷活動(dòng)，同時(shí)購買一個(gè)書包和一個(gè)文具盒可以打8折優(yōu)惠，能比標(biāo)價(jià)省13.2元.已知書包標(biāo)價(jià)比文具盒標(biāo)價(jià)的3倍少6元，那么書包和文具盒的標(biāo)價(jià)各是多少元？
【解析】經(jīng)過審題，可以直接設(shè)文具盒標(biāo)價(jià)為x元/個(gè)，用一元一次方程可以解決此問題.
【答案】設(shè)一個(gè)文具盒標(biāo)價(jià)為x元，則一個(gè)書包標(biāo)價(jià)為（3x-6）元，依題意，得
（1-80%）（x+3x-6）=13.2
解此方程，得 x=18，3x-6=48.
答：書包和文具盒的標(biāo)價(jià)分別是48元/個(gè)，18元/個(gè).
【點(diǎn)評(píng)】列一元一次方程解應(yīng)用題得注意一般步驟：審、設(shè)元、列方程、解方程、檢驗(yàn)是否符合實(shí)際、寫答案.本題目還可以構(gòu)建二元一次方程組來解決.
5．（2012，湖北孝感，16，3分）把如圖所示的長(zhǎng)方體材料切割成一個(gè)體積的圓柱，則這個(gè)圓柱的體積是___________(結(jié)果不做近似計(jì)算)．
【解析】根據(jù)題意，圓柱底面圓的直徑為20cm，由圓柱的體積計(jì)算公式得π×102×30=3000π
【答案】3000πcm3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓柱的體積計(jì)算，解題的關(guān)鍵是正確的理解圓柱底面圓的直徑等于長(zhǎng)方體底面正方形的邊長(zhǎng)．
6．（2012湖北黃岡，24，12）某科技開發(fā)公司研制出一種新型產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為2400 元，銷售單價(jià)定為3000元．在該產(chǎn)品的試銷期間，為了促銷，鼓勵(lì)商家購買該新型產(chǎn)品，公司決定商家一次購買這種新型產(chǎn)品不超過10件時(shí)，每件按3000元銷售；若一次購買該種產(chǎn)品超過10 件時(shí)，每多購買一件，所購買的全部產(chǎn)品的銷售單價(jià)均降低10元，但銷售單價(jià)均不低于2600元．
(1)商家一次購買這種產(chǎn)品多少件時(shí)，銷售單價(jià)恰好為2600元?
(2)設(shè)商家一次購買這種產(chǎn)品x 件，開發(fā)公司所獲的利潤為y 元，求y(元)與x(件)之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．
(3)該公司的銷售人員發(fā)現(xiàn)：當(dāng)商家一次購買產(chǎn)品的件數(shù)超過某一數(shù)量時(shí)，會(huì)出現(xiàn)隨著一次購買的數(shù)量的增多，公司所獲的利潤反而減少這一情況.為使商家一次購買的數(shù)量越多，公司所獲的利潤越大，公司應(yīng)將最低銷售單價(jià)調(diào)整為多少元?(其它銷售條件不變)
【解析】（1）根據(jù)題意列一元一次方程即可解決問題的；（2）針對(duì)一次購買的數(shù)量x取值范圍，應(yīng)分三段來確定y與x的函數(shù)關(guān)系式，即結(jié)果是分段函數(shù).（3）根據(jù)（2）中求出的三段函數(shù)在保證“y應(yīng)隨x的增大而增大”的情況下，確定購買數(shù)量越大而利潤越大但價(jià)格越低的“x取值范圍”，最后解決問題.
【答案】解：（1）設(shè)商家一次購買該產(chǎn)品x件時(shí)，銷售單價(jià)恰好為2600元，得 3000-10（x-10）=2600，
解得 x=50 答：商家一次購買該種商品50件時(shí)，銷售單價(jià)恰好為2600元.
（2）當(dāng)0≤x≤10時(shí)，y=（3000-2400）x=600x；
當(dāng)10＜x≤50時(shí)，y=x=-10x2+700x；
當(dāng)x＞50時(shí)，y=（2600-2400）x=200x；
∴y=
（3）因?yàn)橐獫M足一次購買的數(shù)量越多，所獲的利潤越大，所以y應(yīng)隨x的增大而增大.
而y=600x和y=200x均隨著x的增大而增大；y=-10x2+700x=-10（x-35）2+12250，
當(dāng) 時(shí)，y應(yīng)隨x的增大而增大，當(dāng) 時(shí)，y應(yīng)隨x的增大而減小.
因此滿足x的取值范圍應(yīng)為 .即一次購買的數(shù)量為35件時(shí)的銷售單價(jià)恰好為最低單價(jià).
【點(diǎn)評(píng)】這是一道以商品買賣為情境的方程和函數(shù)建模數(shù)學(xué)問題.（1）、（2）較為基礎(chǔ)，第（3）個(gè)問題的解決較思維上為綜合，要函數(shù)的增減性、函數(shù)的極值等多方面去考慮.難度較大.
7. （2012云南省，17 ，6分）某企業(yè)為嚴(yán)重缺水的甲、乙兩所學(xué)校捐贈(zèng)礦泉水共2000件.已知捐給甲校的礦泉水件數(shù)比捐給乙校件數(shù)的2倍少400件.求該企業(yè)分別捐給甲、乙兩所學(xué)校的礦泉水各多少件？
【解析】設(shè)該企業(yè)分別捐給乙所學(xué)校的礦泉水 件，則甲所學(xué)校的礦泉水是 ；根據(jù)捐給甲校的礦泉水件數(shù)比捐給乙校件數(shù)的2倍少400件得到 解得x =800則甲所學(xué)校的礦泉水是
【答案】解：設(shè)該企業(yè)分別捐給乙所學(xué)校的礦泉水 件，則甲所學(xué)校的礦泉水是 ；根據(jù)題意得：
解得x =800
則甲所學(xué)校的礦泉水是
答：該企業(yè)分別捐給甲、乙兩所學(xué)校的礦泉水各1200件、800件。
【點(diǎn)評(píng)】本題考查理解題意的能力，關(guān)鍵是設(shè)乙所學(xué)校的礦泉水 件，利用相等關(guān)系列方程；列方程解應(yīng)用題是中考必考查的內(nèi)容。首先要認(rèn)真審題，讀懂題意，找出相等的數(shù)量關(guān)系，弄清楚題目中的關(guān)鍵字、關(guān)鍵詞。然后列出符合要求的方程，本題中要求是一元一次方程；難度中等。
1．(2012重慶，7，4分)已知關(guān)于x的方程2x+a一9=0的解是x=2，則a的值為( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】把x=2代入方程2x+a一9=0即可求出a.
【答案】D
【點(diǎn)評(píng)】能使方程兩邊相等的未知數(shù)的值是方程的解，根據(jù)此定義，如果告訴了方程的解，那么這個(gè)數(shù)代人方程中一定使方程兩邊相等，由此可求出待定系數(shù)，這是解決此類問題的常法。
2．（2012浙江省溫州市，9，4分）楠溪江某景點(diǎn)門票價(jià)格：成人票每張70元，兒童票每張35元。小明買20張門票共花了1225元，設(shè)其中有 張成人票， 張兒童票，根據(jù)題意，下列方程組正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【解析】本題的數(shù)量關(guān)系是：成人票的數(shù)量＋兒童票數(shù)量=20；成人票錢數(shù)＋兒童票錢數(shù)=1225．
【答案】B
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列方程組解應(yīng)用題。難度較?。?BR> 3.2 一元一次方程的應(yīng)用
1.（2011山東省濰坊市，題號(hào)12，分值3）12、下圖是某月的日歷表，在此日歷表上可以用一個(gè)矩形圈出 個(gè)位置的9個(gè)數(shù)（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）。若圈出的9個(gè)數(shù)中，數(shù)與最小數(shù)的積為192，則這9個(gè)數(shù)的和為（ ）
A． 32 B．126 C． 135 D．144
【解析】列方程解日歷中問題，日歷中數(shù)據(jù)規(guī)律.
【答案】不妨設(shè)圈出的9個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)為x, 的x+16
根據(jù)“數(shù)與最小數(shù)的積為192”得到
解得 （負(fù)值舍去）
這9個(gè)數(shù)的和：8+9+10+15+16+17+22+23+24=144，所以本題正確答案是D.
【點(diǎn)評(píng)】用字母表示出這9個(gè)數(shù)是解決本題的基礎(chǔ)。根據(jù)題目中的條件列出方程是解決本題的關(guān)鍵.
2．（2012湖南湘潭，15，3分）湖南省2011年赴臺(tái)旅游人數(shù)達(dá)7.6萬人.我市某九年級(jí)一學(xué)生家長(zhǎng)準(zhǔn)備中考后全家 人去臺(tái)灣旅游，計(jì)劃花費(fèi) 元.設(shè)每人向旅行社繳納 元費(fèi)用 后，共剩 元用于購物和品嘗臺(tái)灣美食.根據(jù)題意，列出方程為 .
【解析】找出等量關(guān)系：每人向旅行社繳納 元費(fèi)用，加上用于購物和品嘗臺(tái)灣美食的 元，等于花費(fèi)的 元. 列出方程為3X+5000=20000。
【答案】3X+5000=20000。
【點(diǎn)評(píng)】此題考查列方程解應(yīng)用題的思想方法，要會(huì)審題，找出等量關(guān)系。
3. （2012貴州銅仁，4，4分）銅仁市對(duì)城區(qū)主干道進(jìn)行綠化，計(jì)劃把某一段公路的一側(cè)全部栽上桂花樹，要求路的兩端各栽一棵，并且每?jī)煽脴涞拈g隔相等．如果每隔5米栽1棵，則樹苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，則樹苗正好用完．設(shè)原有樹苗x棵，則根據(jù)題意列出方程正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【解析】?jī)煽脴溆幸粋€(gè)間隔，三棵樹有兩個(gè)間隔，四棵樹有三個(gè)間隔，以此類推X棵樹應(yīng)有(x-1)個(gè)間隔，間隔的個(gè)數(shù)比樹的棵樹少1，因此設(shè)原有樹苗x棵，則根據(jù)題意列出方程
【答案】A
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程的關(guān)鍵是找出等量關(guān)系，此題的等量關(guān)系是公路長(zhǎng)度相等?！氨硎就粋€(gè)量的不同式子相等”是列方程的一個(gè)基本方法。
4. (2012山東省聊城，21，8分）兒童節(jié)期間，文具商店搞促銷活動(dòng)，同時(shí)購買一個(gè)書包和一個(gè)文具盒可以打8折優(yōu)惠，能比標(biāo)價(jià)省13.2元.已知書包標(biāo)價(jià)比文具盒標(biāo)價(jià)的3倍少6元，那么書包和文具盒的標(biāo)價(jià)各是多少元？
【解析】經(jīng)過審題，可以直接設(shè)文具盒標(biāo)價(jià)為x元/個(gè)，用一元一次方程可以解決此問題.
【答案】設(shè)一個(gè)文具盒標(biāo)價(jià)為x元，則一個(gè)書包標(biāo)價(jià)為（3x-6）元，依題意，得
（1-80%）（x+3x-6）=13.2
解此方程，得 x=18，3x-6=48.
答：書包和文具盒的標(biāo)價(jià)分別是48元/個(gè)，18元/個(gè).
【點(diǎn)評(píng)】列一元一次方程解應(yīng)用題得注意一般步驟：審、設(shè)元、列方程、解方程、檢驗(yàn)是否符合實(shí)際、寫答案.本題目還可以構(gòu)建二元一次方程組來解決.
5．（2012，湖北孝感，16，3分）把如圖所示的長(zhǎng)方體材料切割成一個(gè)體積的圓柱，則這個(gè)圓柱的體積是___________(結(jié)果不做近似計(jì)算)．
【解析】根據(jù)題意，圓柱底面圓的直徑為20cm，由圓柱的體積計(jì)算公式得π×102×30=3000π
【答案】3000πcm3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓柱的體積計(jì)算，解題的關(guān)鍵是正確的理解圓柱底面圓的直徑等于長(zhǎng)方體底面正方形的邊長(zhǎng)．
6．（2012湖北黃岡，24，12）某科技開發(fā)公司研制出一種新型產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為2400 元，銷售單價(jià)定為3000元．在該產(chǎn)品的試銷期間，為了促銷，鼓勵(lì)商家購買該新型產(chǎn)品，公司決定商家一次購買這種新型產(chǎn)品不超過10件時(shí)，每件按3000元銷售；若一次購買該種產(chǎn)品超過10 件時(shí)，每多購買一件，所購買的全部產(chǎn)品的銷售單價(jià)均降低10元，但銷售單價(jià)均不低于2600元．
(1)商家一次購買這種產(chǎn)品多少件時(shí)，銷售單價(jià)恰好為2600元?
(2)設(shè)商家一次購買這種產(chǎn)品x 件，開發(fā)公司所獲的利潤為y 元，求y(元)與x(件)之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．
(3)該公司的銷售人員發(fā)現(xiàn)：當(dāng)商家一次購買產(chǎn)品的件數(shù)超過某一數(shù)量時(shí)，會(huì)出現(xiàn)隨著一次購買的數(shù)量的增多，公司所獲的利潤反而減少這一情況.為使商家一次購買的數(shù)量越多，公司所獲的利潤越大，公司應(yīng)將最低銷售單價(jià)調(diào)整為多少元?(其它銷售條件不變)
【解析】（1）根據(jù)題意列一元一次方程即可解決問題的；（2）針對(duì)一次購買的數(shù)量x取值范圍，應(yīng)分三段來確定y與x的函數(shù)關(guān)系式，即結(jié)果是分段函數(shù).（3）根據(jù)（2）中求出的三段函數(shù)在保證“y應(yīng)隨x的增大而增大”的情況下，確定購買數(shù)量越大而利潤越大但價(jià)格越低的“x取值范圍”，最后解決問題.
【答案】解：（1）設(shè)商家一次購買該產(chǎn)品x件時(shí)，銷售單價(jià)恰好為2600元，得 3000-10（x-10）=2600，
解得 x=50 答：商家一次購買該種商品50件時(shí)，銷售單價(jià)恰好為2600元.
（2）當(dāng)0≤x≤10時(shí)，y=（3000-2400）x=600x；
當(dāng)10＜x≤50時(shí)，y=x=-10x2+700x；
當(dāng)x＞50時(shí)，y=（2600-2400）x=200x；
∴y=
（3）因?yàn)橐獫M足一次購買的數(shù)量越多，所獲的利潤越大，所以y應(yīng)隨x的增大而增大.
而y=600x和y=200x均隨著x的增大而增大；y=-10x2+700x=-10（x-35）2+12250，
當(dāng) 時(shí)，y應(yīng)隨x的增大而增大，當(dāng) 時(shí)，y應(yīng)隨x的增大而減小.
因此滿足x的取值范圍應(yīng)為 .即一次購買的數(shù)量為35件時(shí)的銷售單價(jià)恰好為最低單價(jià).
【點(diǎn)評(píng)】這是一道以商品買賣為情境的方程和函數(shù)建模數(shù)學(xué)問題.（1）、（2）較為基礎(chǔ)，第（3）個(gè)問題的解決較思維上為綜合，要函數(shù)的增減性、函數(shù)的極值等多方面去考慮.難度較大.
7. （2012云南省，17 ，6分）某企業(yè)為嚴(yán)重缺水的甲、乙兩所學(xué)校捐贈(zèng)礦泉水共2000件.已知捐給甲校的礦泉水件數(shù)比捐給乙校件數(shù)的2倍少400件.求該企業(yè)分別捐給甲、乙兩所學(xué)校的礦泉水各多少件？
【解析】設(shè)該企業(yè)分別捐給乙所學(xué)校的礦泉水 件，則甲所學(xué)校的礦泉水是 ；根據(jù)捐給甲校的礦泉水件數(shù)比捐給乙校件數(shù)的2倍少400件得到 解得x =800則甲所學(xué)校的礦泉水是
【答案】解：設(shè)該企業(yè)分別捐給乙所學(xué)校的礦泉水 件，則甲所學(xué)校的礦泉水是 ；根據(jù)題意得：
解得x =800
則甲所學(xué)校的礦泉水是
答：該企業(yè)分別捐給甲、乙兩所學(xué)校的礦泉水各1200件、800件。
【點(diǎn)評(píng)】本題考查理解題意的能力，關(guān)鍵是設(shè)乙所學(xué)校的礦泉水 件，利用相等關(guān)系列方程；列方程解應(yīng)用題是中考必考查的內(nèi)容。首先要認(rèn)真審題，讀懂題意，找出相等的數(shù)量關(guān)系，弄清楚題目中的關(guān)鍵字、關(guān)鍵詞。然后列出符合要求的方程，本題中要求是一元一次方程；難度中等。