1．難度：★★★
(全國(guó)華羅庚杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽)如圖，將正方形紙片由下往上對(duì)折，再由左向右對(duì)折，稱為完成一次操作．按上述規(guī)則完成五次操作以后，剪去所得小正方形的左下角．問(wèn)：當(dāng)展開這張正方形紙片后，一共有多少個(gè)小洞孔？
【解析】一次操作后，層數(shù)由1變?yōu)?，若剪去所得小正方形左下角，展開后只有1個(gè)小洞孔，恰是大正方形的中心．連續(xù)兩次操作后，折紙層數(shù)為，剪去所得小正方形左下角，展開后在大正方形上留有(個(gè))小洞孔．連續(xù)三次操作后，折紙層數(shù)為，剪去所得小正方形左下角，展開后大正方形留有(個(gè))小洞孔．按上述規(guī)律不難斷定：連續(xù)五次操作后，折紙層數(shù)為，剪去所得小正方形左下角，展開后大正方形紙片上共留有(個(gè))小洞孔．
2．難度：★★★★
圓周上放有枚棋子，如圖所示，點(diǎn)的那枚棋子緊鄰點(diǎn)的棋子．小洪首先拿走點(diǎn)處的1枚棋子，然后沿順時(shí)針方向每隔1枚拿走2枚棋子，這樣連續(xù)轉(zhuǎn)了10周，9 次越過(guò)．當(dāng)將要第10次越過(guò)處棋子取走其他棋子時(shí)，小洪發(fā)現(xiàn)圓周上余下20多枚棋子．若是14的倍數(shù)，請(qǐng)精確算出圓周上現(xiàn)在還有多少枚棋子？
【解析】設(shè)圓周上余枚棋子，從第9次越過(guò)A處拿走2枚棋子到第10次將要越過(guò)A處棋子時(shí)，小洪拿了2a枚棋子，所以在第9次將要越過(guò)A處棋子時(shí)，圓周上有3a枚棋子．依次類推，在第8次將要越過(guò)A處棋子時(shí)，圓周上有枚棋子，…，在第1次將要越過(guò)A處棋子時(shí)，圓周上有枚棋子，在第1次將要越過(guò)A處棋子之間，小洪拿走了枚棋子，所以．是14的倍數(shù)，N是2和7的公倍數(shù)，所以a必須是奇數(shù)；又，所以4a-1必須是7的倍數(shù)．當(dāng)a=21，25，27，29時(shí)，4a-1不是7的倍數(shù)，當(dāng)a=23時(shí)，4a-1=91是7的倍數(shù)．所以，圓周上還有23枚棋子．