數(shù)學(xué)雖然屬于理科科目，但是仍然有許多重要的知識點需要記憶和運用。萬學(xué)海文數(shù)學(xué)鉆石卡考研輔導(dǎo)專家們在此特別為2012年的廣大考生歸納一下線性代數(shù)的部分知識點。下面介紹的是矩陣的相似、合同、等價。
1．等價：矩陣A經(jīng)有限次初等變換變成矩陣B，則稱A與B等價；
矩陣等價的充要條件：是同型矩陣且r(A)=r(B)
存在可逆矩陣P和Q，使PAQ=B
2．相似：設(shè)A,B是n階矩陣，如果存在可逆矩陣P，使，則稱A與B相似，記為：A ~ B
相似矩陣的性質(zhì)：如果A ~ B，從而A,B有相同的特征值
(A,B 有相同的跡)
注意：這些都是必要條件，可排除哪些矩陣不相似，亦可用來確定相似矩陣的一些參數(shù)．若其中有一個不成立，說明A與B不相似．
例１ 已知若A ~ B，則由跡相等知：4+b=2+(-1)，得b= -3 由行列式相等知：-12 - 2a = -2 得 a= -5 ．
并且，由于B是對角矩陣，2與-1就是B的特征值，則根據(jù)特征值相等知，2與-1也是A的特征值．
3．合同：兩個n階實對稱矩陣A和B，如存在可逆矩陣C，使得，則稱矩陣A和B合同．
兩個實對稱矩陣合同的充要條件：二次型與有相同的正、負慣性指數(shù)；
兩個實對稱矩陣合同的充分條件： A與B相似．
例2 設(shè)則有A和B合同．
證明 因為有可逆矩陣 ，
使 ，或者，由二次型與有相同的正慣性指數(shù) 及相同的負慣性指數(shù) ，所以合同．
注意：A和B不相似，因為相似的必要條件是特征值相同，顯然不滿足．
1．等價：矩陣A經(jīng)有限次初等變換變成矩陣B，則稱A與B等價；
矩陣等價的充要條件：是同型矩陣且r(A)=r(B)
存在可逆矩陣P和Q，使PAQ=B
2．相似：設(shè)A,B是n階矩陣，如果存在可逆矩陣P，使，則稱A與B相似，記為：A ~ B
相似矩陣的性質(zhì)：如果A ~ B，從而A,B有相同的特征值
(A,B 有相同的跡)
注意：這些都是必要條件，可排除哪些矩陣不相似，亦可用來確定相似矩陣的一些參數(shù)．若其中有一個不成立，說明A與B不相似．
例１ 已知若A ~ B，則由跡相等知：4+b=2+(-1)，得b= -3 由行列式相等知：-12 - 2a = -2 得 a= -5 ．
并且，由于B是對角矩陣，2與-1就是B的特征值，則根據(jù)特征值相等知，2與-1也是A的特征值．
3．合同：兩個n階實對稱矩陣A和B，如存在可逆矩陣C，使得，則稱矩陣A和B合同．
兩個實對稱矩陣合同的充要條件：二次型與有相同的正、負慣性指數(shù)；
兩個實對稱矩陣合同的充分條件： A與B相似．
例2 設(shè)則有A和B合同．
證明 因為有可逆矩陣 ，
使 ，或者，由二次型與有相同的正慣性指數(shù) 及相同的負慣性指數(shù) ，所以合同．
注意：A和B不相似，因為相似的必要條件是特征值相同，顯然不滿足．