考研數(shù)學(xué)強(qiáng)化階段重要題型之高等數(shù)學(xué)（八）

現(xiàn)在已經(jīng)進(jìn)入了8月份，考研復(fù)習(xí)也進(jìn)入了暑期強(qiáng)化階段。這一時(shí)期的復(fù)習(xí)也尤為重要，為了幫助廣大2012年的考生們能夠更好地復(fù)習(xí)，萬(wàn)學(xué)海文數(shù)學(xué)考研輔導(dǎo)專家們?cè)诖藶榭忌鷤兲峁┮幌盗械闹匾嵝压ぷ髦笇?dǎo)。這次我們主要講解不等式的證明和方程根的個(gè)數(shù)。
    一、不等式的證明
    證明：，這個(gè)問(wèn)題等價(jià)于.
    不等式的證明經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)在大題中，主要方法如下
    1.單調(diào)性；
    2.大小值；
    3.拉格朗日中值定理；
    4.泰勒定理.
    【例1】設(shè)常數(shù),證明當(dāng)時(shí),
    (1)選題依據(jù)：導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的形態(tài) .
    (2)講解過(guò)程：
    1)分析：證明不等式,一般可以用單調(diào)性來(lái)證明..
    2)書(shū)寫(xiě)：
    證明：由知,,
    ,令,得.
    當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)單調(diào)遞增,因此,
    當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)單調(diào)遞減,因此,
    當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)單調(diào)遞增,因此.
    綜上,函數(shù).
    【例2】求證:
    證：只要證
    令
    單調(diào)增，且單調(diào)增且
    即.
    二、方程根的個(gè)數(shù)
    利用導(dǎo)數(shù)討論方程根的個(gè)數(shù)，這類型的題目經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)在客觀題和主觀題中間。所用到的方法如下：
    1.存在性：
    (1) 零點(diǎn)定理；
    (2) 羅爾定理.
    2.根的個(gè)數(shù)的討論：?jiǎn)握{(diào)性＋零點(diǎn)定理．
    【例1】試討論方程的實(shí)根個(gè)數(shù).
    解 令
    ，令 得 .
    當(dāng)時(shí)，，單調(diào)增.
    當(dāng)時(shí)，，單調(diào)減.
    又
    ，
    則在和內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，故原方程有兩個(gè)實(shí)根。
    【例2】試確定方程實(shí)根個(gè)數(shù).
    解 將原方程變形得
    令
    令 ，得.
    當(dāng)時(shí)，，單調(diào)增.
    當(dāng)時(shí)，，單調(diào)減.
    ，
    則
    1) 當(dāng)時(shí)，原方程有兩個(gè)實(shí)根.
    2) 當(dāng)時(shí)，原方程有實(shí)根.
    3) 當(dāng)時(shí)，原方程無(wú)實(shí)根.