數(shù)學是研究數(shù)量、結構、變化、空間以及信息等概念的一門學科，從某種角度看屬于形式科學的一種。數(shù)學家和哲學家對數(shù)學的確切范圍和定義有一系列的看法。下面是為您整理的初三上冊期末數(shù)學試題及答案，僅供大家參考。
一、選擇題（共12小題，每小題3分，滿分36分）
1．下列事件中，必然事件是()
A．擲一枚硬幣，正面朝上
B．任意三條線段可以組成一個三角形
C．投擲一枚質地均勻的骰子，擲得的點數(shù)是奇數(shù)
D．拋出的籃球會下落
【考點】隨機事件．
【分析】必然事件是指一定會發(fā)生的事件．
【解答】解：A、擲一枚硬幣，正面朝上，是隨機事件，故A錯誤；
B、在同一條直線上的三條線段不能組成三角形，故B錯誤；
C、投擲一枚質地均勻的骰子，擲得的點數(shù)是奇數(shù)，是隨機事件，故C錯誤；
D、拋出的籃球會下落是必然事件．
故選：D．
【點評】本題主要考查的是必然事件和隨機事件，掌握隨機事件和必然事件的概念是解題的關鍵．
2．方程（m﹣2）x|m|+3mx+1=0是關于x的一元二次方程，則()
A．m=±2B．m=2C．m=﹣2D．m≠±2
【考點】一元二次方程的定義．
【分析】由一元二次方程的定義可知|m|=2，且m﹣2≠0，從而可求得m的值．
【解答】解：∵方程（m﹣2）x|m|+3mx+1=0是關于x的一元二次方程，
∴|m|=2，且m﹣2≠0．
解得：m=﹣2．
故選：C．
【點評】本題主要考查的是一元二次方程的定義，掌握一元二次方程的定義是解題的關鍵．
3．把拋物線y=（x+1）2向下平移2個單位，再向右平移1個單位，所得到的拋物線是()
A．y=（x+2）2+2B．y=（x+2）2﹣2C．y=x2+2D．y=x2﹣2
【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換．
【分析】先寫出平移前的拋物線的頂點坐標，然后根據(jù)向下平移縱坐標減，向右平移橫坐標加求出平移后的拋物線的頂點坐標，再利用頂點式解析式寫出即可．
【解答】解：拋物線y=（x+1）2的頂點坐標為（﹣1，0），
∵向下平移2個單位，
∴縱坐標變?yōu)椹?，
∵向右平移1個單位，
∴橫坐標變?yōu)椹?+1=0，
∴平移后的拋物線頂點坐標為（0，﹣2），
∴所得到的拋物線是y=x2﹣2．
故選D．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，利用頂點的變化確定函數(shù)圖象的變化求解更加簡便，且容易理解．
4．如圖，在⊙O中，∠C=30°，AB=2，則弧AB的長為()
A．πB．C．D．
【考點】弧長的計算；等邊三角形的判定與性質；圓周角定理．
【分析】根據(jù)圓周角定理求出圓心角∠AOB，然后根據(jù)弧長公式求解即可．
【解答】解：∵∠C=30°，
根據(jù)圓周角定理可知：∠AOB=60°，
∴△AOB是等邊三角形，
∴OA=OB=AB=2，
∴l(xiāng)==π，
∴劣弧AB的長為π．
故選D．
【點評】本題主要考查弧長的計算，掌握弧長的計算公式l=（弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為r）是解題關鍵，難度一般．
5．如圖，PA和PB是⊙O的切線，點A和點B是切點，AC是⊙O的直徑，已知∠P=40°，則∠ACB的大小是()
A．40°B．60°C．70°D．80°
【考點】切線的性質．
【分析】由PA、PB是⊙O的切線，可得∠OAP=∠OBP=90°，根據(jù)四邊形內角和，求出∠AOB，再根據(jù)圓周角定理即可求∠ACB的度數(shù)．
【解答】解：連接OB，
∵AC是直徑，
∴∠ABC=90°，
∵PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=180°﹣∠P=140°，
由圓周角定理知，∠ACB=∠AOB=70°，
故選C．
【點評】本題考查了切線的性質，圓周角定理，解決本題的關鍵是連接OB，利用直徑對的圓周角是直角來解答．
6．如圖，將三角尺ABC（其中∠ABC=60°，∠C=90°）繞B點按順時針方向旋轉一個角度到A1B1C1的位置，使得點A，B，C1在同一條直線上，那么這個角度等于()
A．30°B．60°C．90°D．120°
【考點】旋轉的性質．
【專題】計算題．
【分析】先利用鄰補角的定義可計算出∠CBC1=120°，然后根據(jù)性質的性質得到∠CBC1等于旋轉角．
【解答】解：∵∠ABC=60°，
∴∠CBC1=180°﹣∠ABC=120°，
∵三角尺ABC繞B點按順時針方向旋轉一個角度到A1B1C1的位置，
∴∠CBC1等于旋轉角，即旋轉角為120°．
故選D．
【點評】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．
7．下列命題中假命題的個數(shù)是()
①三點確定一個圓；
②三角形的內心到三邊的距離相等；
③相等的圓周角所對的弧相等；
④平分弦的直徑垂直于弦；
⑤垂直于半徑的直線是圓的切線．
A．4B．3C．2D．1
【考點】命題與定理．
【分析】分析是否為假命題，可以舉出反例；也可以分別分析各題設是否能推出結論，從而利用排除法得出答案．
【解答】解：①錯誤，不在同一條直線上的三點確定一個圓；
②正確，三角形的內心到三邊的距離相等；
③錯誤，在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等；
④錯誤，如果平分的弦是直徑，那么平分弦的直徑不垂直于弦；
⑤錯誤，過半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線．
故選A．
【點評】主要考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理．
8．如圖，隨機閉合開關S1、S2、S3中的兩個，則能讓燈泡⊗發(fā)光的概率是()
A．B．C．D．
【考點】列表法與樹狀圖法．
【專題】圖表型．
【分析】采用列表法列出所有情況，再根據(jù)能讓燈泡發(fā)光的情況利用概率公式進行計算即可求解．
【解答】解：列表如下：
共有6種情況，必須閉合開關S3燈泡才亮，
即能讓燈泡發(fā)光的概率是=．
故選C．
【點評】本題考查了列表法與畫樹狀圖求概率，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
9．△ABC的三邊長分別為6、8、10，則其內切圓和外接圓的半徑分別是()
A．2，5B．1，5C．4，5D．4，10
【考點】三角形的內切圓與內心；勾股定理的逆定理；三角形的外接圓與外心．
【專題】計算題．
【分析】先利用勾股定理的逆定理得到△ABC為直角三角形，然后利用直角邊為a、b，斜邊為c的三角形的內切圓半徑為計算△ABC的內切圓的半徑，利用斜邊為外接圓的直徑計算△ABC的外接圓的半徑．
【解答】解：∵62+82=102，
∴△ABC為直角三角形，
∴△ABC的內切圓的半徑==2，
△ABC的外接圓的半徑==5．
故選A．
【點評】本題考查了三角形的內切圓與內心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內切圓，三角形的內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內心就是三角形三個內角角平分線的交點．也考查了勾股定理的逆定理．記住直角邊為a、b，斜邊為c的三角形的內切圓半徑為．
10．已知二次函數(shù)y=x2+x+m，當x取任意實數(shù)時，都有y＞0，則m的取值范圍是()
A．m≥B．m＞C．m≤D．m＜
【考點】拋物線與x軸的交點．
【分析】由題意二次函數(shù)y=x2+x+m知，函數(shù)圖象開口向上，當x取任意實數(shù)時，都有y＞0，可以推出△＜0，從而解出m的范圍．
【解答】解：已知二次函數(shù)的解析式為：y=x2+x+m，
∴函數(shù)的圖象開口向上，
又∵當x取任意實數(shù)時，都有y＞0，
∴有△＜0，
∴△=1﹣4m＜0，
∴m＞，
故選B．
【點評】此題主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的關系，當函數(shù)圖象與x軸無交點時，說明方程無根則△＜0，若有交點，說明有根則△≥0，這一類題目比較常見且難度適中．
11．如圖，將半徑為3的圓形紙片，按下列順序折疊，若和都經(jīng)過圓心O，則陰影部分的面積是()
A．πB．2πC．3πD．4π
【考點】扇形面積的計算；翻折變換（折疊問題）．
【分析】作OD⊥AB于點D，連接AO，BO，CO，求出∠OAD=30°，得到∠AOB=2∠AOD=120°，進而求得∠AOC=120°，再利用陰影部分的面積=S扇形AOC求解．
【解答】解；如圖，作OD⊥AB于點D，連接AO，BO，CO，
∵OD=AO，
∴∠OAD=30°，
∴∠AOB=2∠AOD=120°，
同理∠BOC=120°，
∴∠AOC=120°，
∴陰影部分的面積=S扇形AOC==3π．
故選C．
【點評】本題考查的是扇形面積的計算，熟記扇形的面積公式是解答此題的關鍵．
12．如圖，AB為⊙O的直徑，作弦CD⊥AB，∠OCD的平分線交⊙O于點P，當點C在下半圓上移動時，（不與點A、B重合），下列關于點P描述正確的是()
A．到CD的距離保持不變B．到D點距離保持不變
C．等分D．位置不變
【考點】圓周角定理；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關系．
【分析】首先連接OP，由∠OCD的平分線交⊙O于點P，易證得CD∥OP，又由弦CD⊥AB，可得OP⊥AB，即可證得點P為的中點不變．
【解答】解：不發(fā)生變化．
連接OP，
∵OP=OC，
∴∠P=∠OCP，
∵∠OCP=∠DCP，
∴∠P=∠DCP，
∴CD∥OP，
∵CD⊥AB，
∴OP⊥AB，
∴=，
∴點P為的中點不變．
故選D．
【點評】此題考查了圓周角定理以及垂徑定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．
二、填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分）
13．二次函數(shù)y=x2+2x的頂點坐標為（﹣1，﹣1），對稱軸是直線x=﹣1．
【考點】二次函數(shù)的性質．
【分析】先把該二次函數(shù)化為頂點式的形式，再根據(jù)其頂點式進行解答即可．
【解答】解：∵y=x2+2x=（x+1）2﹣1，
∴二次函數(shù)y=x2+4x的頂點坐標是：（﹣1，﹣1），對稱軸是直線x=﹣1．
故答案為：（﹣1，﹣1），x=﹣1．
【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的性質和求拋物線的頂點坐標、對稱軸的方法，熟練配方是解題關鍵．
14．已知正六邊形的半徑為2cm，那么這個正六邊形的邊心距為cm．
【考點】正多邊形和圓．
【分析】根據(jù)正六邊形的特點，通過中心作邊的垂線，連接半徑，結合解直角三角形的有關知識解決．
【解答】解：如圖，連接OA、OB；過點O作OG⊥AB于點G．
在Rt△AOG中，
∵OA=2cm，∠AOG=30°，
∴OG=OA•cos30°=2×=（cm）．
故答案為：．
【點評】本題考查的是正多邊形和圓，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結合求解是解答此題的關鍵．
15．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠B=60°，⊙O的半徑為4，則AC的長等于4．
【考點】圓周角定理；垂徑定理．
【分析】連接OA，OC，過點O作OD⊥AC于點D，由圓周角定理求出∠AOC的度數(shù)，再由垂徑定理得出AD=AC，∠AOD=∠AOC，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出AD的長，進而可得出結論．
【解答】解：連接OA，OC，過點O作OD⊥AC于點D，
∵∠B=60°，
∴∠AOC=120°．
∵OD⊥AC，OA=4，
∴AD=AC，∠AOD=∠AOC=60°，
∴AD=OA•sin60°=4×=2，
∴AC=2AD=4．
故答案為：4．
【點評】本題考查的是圓周角定理，根據(jù)題意作出輔助線，利用垂徑定理及直角三角形的性質求解是解答此題的關鍵．
16．如圖所示的扇形是一個圓錐的側面展開圖，若∠AOB=120°，弧AB的長為12πcm，則該圓錐的側面積為108πcm2．
【考點】圓錐的計算．
【分析】首先求得扇形的母線長，然后求得扇形的面積即可．
【解答】解：設AO=B0=R，
∵∠AOB=120°，弧AB的長為12πcm，
∴=12π，
解得：R=18，
∴圓錐的側面積為lR=×12π×18=108π，
故答案為：108π．
【點評】本題考查了圓錐的計算，解題的關鍵是牢記圓錐的有關計算公式，難度不大．
17．如圖，Rt△OAB的頂點A（﹣2，4）在拋物線y=ax2上，將Rt△OAB繞點O順時針旋轉90°，得到△OCD，邊CD與該拋物線交于點P，則點P的坐標為（，2）．
【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；坐標與圖形變化-旋轉．
【分析】先根據(jù)待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，然后根據(jù)題意求得D（0，2），且DC∥x軸，從而求得P的縱坐標為2，代入求得的解析式即可求得P的坐標．
【解答】解：∵Rt△OAB的頂點A（﹣2，4）在拋物線y=ax2上，
∴4=4a，解得a=1，
∴拋物線為y=x2，
∵點A（﹣2，4），
∴B（﹣2，0），
∴OB=2，
∵將Rt△OAB繞點O順時針旋轉90°，得到△OCD，
∴D點在y軸上，且OD=OB=2，
∴D（0，2），
∵DC⊥OD，
∴DC∥x軸，
∴P點的縱坐標為2，
代入y=x2，得2=x2，
解得x=±，
∴P（，2）．
故答案為（，2）．
【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，根據(jù)題意求得P的縱坐標是解題的關鍵．
18．如圖，P是拋物線y=x2+x+2在第一象限上的點，過點P分別向x軸和y軸引垂線，垂足分別為A，B，則四邊形OAPB周長的大值為6．
【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標特征．
【分析】設P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），根據(jù)矩形的周長公式得到C=﹣2（x﹣1）2+6．根據(jù)二次函數(shù)的性質來求值即可．
【解答】解：∵y=﹣x2+x+2，
∴當y=0時，﹣x2+x+2=0即﹣（x﹣2）（x+1）=0，
解得x=2或x=﹣1
故設P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），
∴C=2（x+y）=2（x﹣x2+x+2）=﹣2（x﹣1）2+6．
∴當x=1時，C大值=6，．
即四邊形OAPB周長的大值為6．
故答案是：6．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的值，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征．求二次函數(shù)的大（小）值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法．本題采用了配方法．
三、解答題（共6小題，滿分60分）
19．用適當方法解方程：
（1）x2﹣2x﹣3=0
（2）x2﹣6x+9=（5﹣2x）2．
【考點】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．
【分析】（1）分解因式，即可得出兩個一元方程，求出方程的解即可．
（2）整理成（x﹣3）2=（5﹣2x）2，然后用直接開平方法求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣3=0，
（x﹣3）（x+1）=0
∴x﹣3=0或x+1=0，
∴x1=3x2=﹣1；
（2）x2﹣6x+9=（5﹣2x）2．
（x﹣3）2=（5﹣2x）2
∴x﹣3=±（5﹣2x）
∴x1=2，x2=．
【點評】本題考查了解一元二次方程的應用，解此題的關鍵是能把一元二次方程轉化成一元方程．
20．關于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1=0的兩個實數(shù)根分別為x1，x2．
（1）求m的取值范圍；
（2）若2（x1+x2）+x1x2+10=0，求m的值．
【考點】根的判別式；根與系數(shù)的關系．
【分析】（1）因為方程有兩個實數(shù)根，所以△≥0，據(jù)此即可求出m的取值范圍；
（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系，將x1+x2=﹣3，x1x2=m﹣1代入2（x1+x2）+x1x2+10=0，解關于m的方程即可．
【解答】解：（1）∵方程有兩個實數(shù)根，
∴△≥0，
∴9﹣4×1×（m﹣1）≥0，
解得m≤；
（2）∵x1+x2=﹣3，x1x2=m﹣1，
又∵2（x1+x2）+x1x2+10=0，
∴2×（﹣3）+m﹣1+10=0，
∴m=﹣3．
【點評】本題考查了根的判別式、一元二次方程根與系數(shù)的關系，直接將兩根之和與兩根之積用m表示出來是解題的關鍵．
21．如圖，沿一條母線將圓錐側面剪開并展平，得到一個扇形，若圓錐的底面圓的半徑r=2cm，扇形的圓心角θ=120°，求該圓錐的高h的長．
【考點】圓錐的計算．
【分析】根據(jù)題意，運用弧長公式求出AB的長度，即可解決問題．
【解答】解：如圖，由題意得：
，而r=2，
∴AB=6，
∴由勾股定理得：
AO2=AB2﹣OB2，而AB=6，OB=2，
∴AO=4．
即該圓錐的高為4．
【點評】該題主要考查了圓錐的計算及其應用問題；解題的關鍵是靈活運用有關定理來分析、判斷、推理或解答．
22．為了落實國家的惠農政策，某地政府制定了農戶投資購買收割機的補貼辦法，其中購買Ⅰ、Ⅱ型收割機所投資的金額與政府補貼的額度存在下表所示的函數(shù)對應關系：
Ⅰ型收割機Ⅱ型收割機
投資金額x（萬元）x5x24
補貼金額x（萬元）y1=kx2y2=ax2+bx2.43.2
（1）分別求出y1和y2的函數(shù)解析式；
（2）旺叔準備投資10萬元購買Ⅰ、Ⅱ兩型收割機．請你設計一個能獲得大補貼金額的方案，并求出按此方案能獲得的補貼金額．
【考點】二次函數(shù)的應用；函數(shù)的應用．
【專題】壓軸題．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法直接就可以求出y1與y2的解析式．
（2）設總補貼金額為W萬元，購買Ⅰ型收割機a萬元，購買Ⅱ型收割機（10﹣a）萬元，建立等式就可以求出其值．
【解答】解：（1）設購買Ⅰ型收割機補貼的金額的解析式為：y1=kx，購買Ⅱ型收割機補貼的金額的解析式為y2=ax2+bx，由題意，得
2=5k，或，解得
k=，
，
∴y1的解析式為：y1=x，y2的函數(shù)解析式為：y2=﹣x2+1.6x．
（2）設總補貼金額為W萬元，購買Ⅰ型收割機a萬元，則購買Ⅱ型收割機（10﹣a）萬元，由題意，得
W=a+[﹣（10﹣a）2+1.6（10﹣a）]，
=﹣（a﹣7）2+．
∴當a=7時，W有大值萬元，
∴買Ⅰ型收割機7萬元、Ⅱ兩型收割機3萬元可以獲得大補貼萬元．
【點評】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式的運用，拋物線的頂點式的運用．在求解析式中，待定系數(shù)法時常用的方法．二次函數(shù)的一般式化頂點式是求值的常用方法．
23．如圖，AC是⊙O的直徑，PA切⊙O于點A，點B是⊙O上的一點，且∠BAC=30°，∠APB=60°．
（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為2，求弦AB及PA，PB的長．
【考點】切線的判定．
【專題】幾何綜合題．
【分析】（1）連接OB，證PB⊥OB．根據(jù)四邊形的內角和為360°，結合已知條件可得∠OBP=90°得證．
（2）連接OP，根據(jù)切線長定理得直角三角形，運用三角函數(shù)求解．
【解答】（1）證明：連接OB．
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠BAC=30°．
∴∠AOB=180°﹣30°﹣30°=120°．
∵PA切⊙O于點A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°．
∵四邊形的內角和為360°，
∴∠OBP=360°﹣90°﹣60°﹣120°=90°．
∴OB⊥PB．
又∵點B是⊙O上的一點，
∴PB是⊙O的切線．
（2）解：連接OP；
∵PA、PB是⊙O的切線，
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB=∠APB=30°．
在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠OPA=30°，
∴OP=2OA=2×2=4，
∴PA=．
∵PA=PB，∠APB=60°，
∴PA=PB=AB=2．
（此題解法多樣，請評卷老師按解題步驟給分）
【點評】此題考查了切線的判定、切線長定理、三角函數(shù)等知識點．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．
24．如圖，拋物線y=x2+bx﹣c與x軸交A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，直線l與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標為2．
（1）求拋物線及直線AC的函數(shù)表達式；
（2）點M是線段AC上的點（不與A，C重合），過M作MF∥y軸交拋物線于F，若點M的橫坐標為m，請用m的代數(shù)式表示MF的長；
（3）在（2）的條件下，連接FA、FC，是否存在m，使△AFC的面積大？若存在，求m的值；若不存在，說明理由．
【考點】二次函數(shù)綜合題．
【分析】（1）把點A和點B的坐標代入拋物線解析式求出b和c的值即可求出拋物線解析式；再把點C的橫坐標代入已求出的拋物線解析式可求出其縱坐標，進而可求出直線AC的表達式；
（2）已知點M的橫坐標為m，點M又在直線AB上，所以可求出其縱坐標，而點F在拋物線上，所以可求出其縱坐標，進而可用m的代數(shù)式表示MF的長；
（3）存在m，使△AFC的面積大，設直線MF與x軸交于點H，作CE⊥MF于E，由S△AFC=MF（AH+CE），可得關于m的二次函數(shù)關系式，根據(jù)函數(shù)的性質即可求出△AFC的大值．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）帶入y=x2+bx﹣c得，
解得：，
∴解析式為：y=x2﹣2x﹣3，
把x=2帶入y=x2﹣2x﹣3得y=﹣3，
∴C（2，﹣3），
設直線AC的解析式為y=kx+m，把A（﹣1，0）、C（2，﹣3）帶入得
解得：，
∴直線AC的解析式為y=﹣x﹣1；
（2）∵點M在直線AC上，
∴M的坐標為（m，﹣m﹣1）；
∵點F在拋物線y=x2﹣2x﹣3上，
∴F點的坐標為（m，m2﹣2m﹣3），
∴MF=（﹣m﹣1）﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+m+2；
（3）存在m，使△AFC的面積大，理由如下：
設直線MF與x軸交于點H，作CE⊥MF于E，
S△AFC=MF（AH+CE）=MF（2+1）=MF，
=（﹣m2+m+2），
=﹣（m﹣）2+≤
∴當m=時，△AFC的面積大為．
【點評】本題考查了和二次函數(shù)有關的綜合性題目，考查的知識點有：函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點坐標的求法、二次函數(shù)性質的應用以及圖形面積的解法．（3）的解法較多，也可通過圖形的面積差等方法來列函數(shù)關系式，可根據(jù)自己的習慣來選擇熟練的解法．