數(shù)學(xué)運(yùn)算之剩余定理專題
【例1】一個(gè)數(shù)被3除余1，被4除余2，被5除余4，這個(gè)數(shù)最小是幾?
【解析】題中3、4、5三個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。
則〔4，5〕=20;〔3，5〕=15;〔3，4〕=12;〔3，4，5〕=60。
為了使20被3除余1，用20×2=40;
使15被4除余1，用15×3=45;
使12被5除余1，用12×3=36。
然后，40×1+45×2+36×4=274，
因?yàn)椋?74>60，所以，274-60×4=34，就是所求的數(shù)。
【例2】一個(gè)數(shù)被3除余2，被7除余4，被8除余5，這個(gè)數(shù)最小是幾?在1000內(nèi)符合這樣條件的數(shù)有幾個(gè).?
【解析】題中3、7、8三個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。
則〔7，8〕=56;〔3，8〕=24;〔3，7〕=21;〔3，7，8〕=168。
為了使56被3除余1，用56×2=112;
使24被7除余1，用24×5=120。
使21被8除余1，用21×5=105;
然后，112×2+120×4+105×5=1229，
因?yàn)椋?229>168，所以，1229-168×7=53，就是所求的數(shù)。
再用(1000-53)/168得5, 所以在1000內(nèi)符合條件的數(shù)有6個(gè).
【例3】一個(gè)數(shù)除以5余4，除以8余3，除以11余2，求滿足條件的最小的自然數(shù)。
【解析】題中5、8、11三個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。
則〔8，11〕=88;〔5，11〕=55;〔5，8〕=40;〔5，8，11〕=440。
為了使88被5除余1，用88×2=176;
使55被8除余1，用55×7=385;
使40被11除余1，用40×8=320。
然后，176×4+385×3+320×2=2499，
因?yàn)椋?499>440，所以，2499-440×5=299，就是所求的數(shù)。
【例4】有一個(gè)年級(jí)的同學(xué)，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，問這個(gè)年級(jí)至少有多少人 ?
【解析】題中9、7、5三個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。
則〔7，5〕=35;〔9，5〕=45;〔9，7〕=63;〔9，7，5〕=315。
為了使35被9除余1，用35×8=280;
使45被7除余1，用45×5=225;
使63被5除余1，用63×2=126。
然后，280×5+225×1+126×2=1877，
因?yàn)椋?877>315，所以，1877-315×5=302，就是所求的數(shù)。