課時(shí)訓(xùn)練9 函數(shù)的單調(diào)性
【說明】本試卷滿分100分，考試時(shí)間90分鐘.
一、選擇題（每小題6分，共42分）
1.下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，2）上為增函數(shù)的是（ ）
A.y=-x+1 B.y=
C.y=x2-4x+5 D.y=
答案：B
解析：A、C、D函數(shù)在（0，2）均為減函數(shù).
2.設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上是減函數(shù)，則下列不等式正確的是（ ）
A.f(2a) C.f(a2+a) 答案：D
解析：∵a2+1-a=(a- )2+ >0，∴a2+1>a.又f(x)在R上遞減，故f(a2+1) 或者令a=0,排除A、B、C,選D.
3.函數(shù)y=(2k+1)x+b在(-∞，+∞)上是減函數(shù)，則（ ）
A.k> B.k< C.k>- D.k<-
答案：D
解析：2k+1<0 k<- .
4.函數(shù)f(x)= 在區(qū)間（-2，+∞）上為增函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A.0
C.a> D.a>-2
答案：C
解析：∵f(x)=a+ 在(-2,+∞)遞增，∴1-2a<0,即a> .
5.(2010四川成都一模，4)已知f(x)是R上的增函數(shù)，若令F（x）=f(1-x)-f(1+x)，則F（x）是R上的（ ）
A.增函數(shù) B.減函數(shù)
C.先減后增的函數(shù) D.先增后減的函數(shù)
答案：B
解析：取f(x)=x,則F(x)=(1-x)-(1+x)=-2x為減函數(shù)，選B.
6.已知f(x)是定義在(-∞,+∞)上的奇函數(shù)，且f(x)在［0，+∞）上是減函數(shù)，則下列關(guān)系式中正確的是（ ）
A.f(5)>f(-5) B.f(4)>f(3) C.f(-2)>f(2) D.f(-8) 答案：C
解析：∵f(x)為奇函數(shù),∴f(0)=0,∴f(2)0,即f(-2)>f(2).
7.(2010全國大聯(lián)考，5)下列函數(shù)：（1）y=x2;(2)y= ;(3)y=2x;(4)y=log2x.其中不是偶函數(shù)且在區(qū)間（0，+∞）上也不是減函數(shù)的有（ ）
A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)
答案：D
解析：（1）是偶函數(shù)，（2）（3）（4）都不是偶函數(shù)且在（0，+∞）上遞增，故滿足條件.
二、填空題（每小題5分，共15分）
8.函數(shù)y= 的遞減區(qū)間是__________________.
答案：［2，+∞］
解析：y=( )t單調(diào)遞減，t=x2-4x+5在［2，+∞)上遞增，∴遞減區(qū)間為［2，+∞).
9.若函數(shù)f(x)是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，則不等式f(x)>f(8x-16)的解集為_______________.
答案：（2， ）
解析：
10.已知函數(shù)f(x)滿足：對任意實(shí)數(shù)x1,x2,當(dāng)x1f(x2),且f(x1+x2)=f(x1)f(x2),則f(x)=_____________(請寫出一個(gè)滿足這些條件的函數(shù)即可).
答案：ax(0解析：f(x)在R上遞減，f(x1+x2)=f(x1)•f(x2)的函數(shù)模型為f(x)=ax.
三、解答題（11—13題每小題10分，14題13分，共43分）
11.設(shè)函數(shù)f(x)=x+ (a>0).
(1)求函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)區(qū)間，并證明之；
（2）若函數(shù)f(x)在［a-2,+∞］上遞增，求a的取值范圍.
解析：（1）f(x)在(0,+∞)上的增區(qū)間為［ ,+∞］，減區(qū)間為（0， ）.
證明：∵f′(x)=1- ,當(dāng)x∈［ ,+∞］時(shí)，
∴f′(x)>0,當(dāng)x∈（0， ）時(shí)，f′(x)<0.
即f(x)在［ +∞］上單調(diào)遞增，在（0， ）上單調(diào)遞減.（或者用定義證）
（2）［a-2,+∞］為［ ，+∞］的子區(qū)間，所以a-2≥ a- -2≥0 ( +1)( -2)≥0 -2≥0 a≥4.
12.(2010湖北黃岡中學(xué)模擬，19)已知定義域?yàn)椋?，1］的函數(shù)f(x)同時(shí)滿足：
①對于任意的x∈［0，1］，總有f(x)≥0;
②f(1)=1;
③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,
則有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).
(1)求f(0)的值；
（2）求f(x)的大值.
解析：(1)對于條件③，令x1=x2=0得f(0)≤0，又由條件①知f(0)≥0，故f(0)=0.
(2)設(shè)0≤x1 ∴f(x2)-f(x1)=f［(x2-x1)+x1］-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)≥0.
即f(x2)≥f(x1),故f(x)在［0，1］上是單調(diào)遞增，從而f(x)的大值是f(1)=1.
13.定義在R上的奇函數(shù)f(x)在［-a,-b］(a>b>0)上是減函數(shù)且f(-b)>0,判斷F（x）=［f(x)］2在［b,a］上的單調(diào)性并證明你的結(jié)論.
解析：設(shè)b≤x1 -b≥-x1>-x2≥-a.
∵f(x)在［-a,-b］上是減函數(shù),∴0 則f(x2) ∴F(x)在［b,a］上為增函數(shù).
14.已知函數(shù)f(x)=( -1)2+( -1)2的定義域?yàn)椋踡,n)且1≤m (1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；
（2）證明：對任意x1、x2∈［m,n］,不等式|f(x1)-f(x2)|<1恒成立.
（1）解析：解法一：∵f(x)=( -1)2+( -1)2= +2,
∴f′(x)= •(x4-m2n2-mx3+m2nx)= (x2-mx+mn)(x+ )
(x- ).
∵1≤m≤x0,x2-mx+mn=x(x-m)+mn>0,x+ >0.
令f′(x)=0,得x= ，
①當(dāng)x∈［m, ］時(shí)，f′(x)<0;
②當(dāng)x∈［ ，n］時(shí)，f′(x)>0.
∴f(x)在［m, ］內(nèi)為減函數(shù)，在［ ，n）為內(nèi)增函數(shù).
解法二：由題設(shè)可得
f(x)=（ -1）2- +1.
令t= .
∵1≤m ∴t= ≥2, >2.
令t′= =0,得x= .
當(dāng)x∈［m, ］,t′<0;當(dāng)x∈( ,n)時(shí)，t′>0.∴t= 在［m, ］內(nèi)是減函數(shù)，在［ ，n］內(nèi)是增函數(shù).∵函數(shù)y=(t-1)2- +1在［1，+∞］上是增函數(shù)，∴函數(shù)f(x)在［m, ］內(nèi)是減函數(shù)，在［ ，n］內(nèi)是增函數(shù).
（2）證明：由（1）可知，f(x)在［m,n］上的小值為f( )=2( -1)2,大值為f(m)=( -1)2.
對任意x1、x2∈［m,n］,|f(x1)-f(x2)|≤( -1)2-2( -1)2=( )2-4• +4 -1.令u= ,h(u)=u4-4u2+4u-1.
∵1≤m0,
∴h(u)在(1, )上是增函數(shù).∴h(u)≤h( )=4-8+4 -1=4 -5<1.
∴不等式|f(x1)-f(x2)|<1恒成立.
【說明】本試卷滿分100分，考試時(shí)間90分鐘.
一、選擇題（每小題6分，共42分）
1.下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，2）上為增函數(shù)的是（ ）
A.y=-x+1 B.y=
C.y=x2-4x+5 D.y=
答案：B
解析：A、C、D函數(shù)在（0，2）均為減函數(shù).
2.設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上是減函數(shù)，則下列不等式正確的是（ ）
A.f(2a)
解析：∵a2+1-a=(a- )2+ >0，∴a2+1>a.又f(x)在R上遞減，故f(a2+1)
3.函數(shù)y=(2k+1)x+b在(-∞，+∞)上是減函數(shù)，則（ ）
A.k> B.k< C.k>- D.k<-
答案：D
解析：2k+1<0 k<- .
4.函數(shù)f(x)= 在區(qū)間（-2，+∞）上為增函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A.0
C.a> D.a>-2
答案：C
解析：∵f(x)=a+ 在(-2,+∞)遞增，∴1-2a<0,即a> .
5.(2010四川成都一模，4)已知f(x)是R上的增函數(shù)，若令F（x）=f(1-x)-f(1+x)，則F（x）是R上的（ ）
A.增函數(shù) B.減函數(shù)
C.先減后增的函數(shù) D.先增后減的函數(shù)
答案：B
解析：取f(x)=x,則F(x)=(1-x)-(1+x)=-2x為減函數(shù)，選B.
6.已知f(x)是定義在(-∞,+∞)上的奇函數(shù)，且f(x)在［0，+∞）上是減函數(shù)，則下列關(guān)系式中正確的是（ ）
A.f(5)>f(-5) B.f(4)>f(3) C.f(-2)>f(2) D.f(-8)
解析：∵f(x)為奇函數(shù),∴f(0)=0,∴f(2)
7.(2010全國大聯(lián)考，5)下列函數(shù)：（1）y=x2;(2)y= ;(3)y=2x;(4)y=log2x.其中不是偶函數(shù)且在區(qū)間（0，+∞）上也不是減函數(shù)的有（ ）
A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)
答案：D
解析：（1）是偶函數(shù)，（2）（3）（4）都不是偶函數(shù)且在（0，+∞）上遞增，故滿足條件.
二、填空題（每小題5分，共15分）
8.函數(shù)y= 的遞減區(qū)間是__________________.
答案：［2，+∞］
解析：y=( )t單調(diào)遞減，t=x2-4x+5在［2，+∞)上遞增，∴遞減區(qū)間為［2，+∞).
9.若函數(shù)f(x)是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，則不等式f(x)>f(8x-16)的解集為_______________.
答案：（2， ）
解析：
10.已知函數(shù)f(x)滿足：對任意實(shí)數(shù)x1,x2,當(dāng)x1
答案：ax(0解析：f(x)在R上遞減，f(x1+x2)=f(x1)•f(x2)的函數(shù)模型為f(x)=ax.
三、解答題（11—13題每小題10分，14題13分，共43分）
11.設(shè)函數(shù)f(x)=x+ (a>0).
(1)求函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)區(qū)間，并證明之；
（2）若函數(shù)f(x)在［a-2,+∞］上遞增，求a的取值范圍.
解析：（1）f(x)在(0,+∞)上的增區(qū)間為［ ,+∞］，減區(qū)間為（0， ）.
證明：∵f′(x)=1- ,當(dāng)x∈［ ,+∞］時(shí)，
∴f′(x)>0,當(dāng)x∈（0， ）時(shí)，f′(x)<0.
即f(x)在［ +∞］上單調(diào)遞增，在（0， ）上單調(diào)遞減.（或者用定義證）
（2）［a-2,+∞］為［ ，+∞］的子區(qū)間，所以a-2≥ a- -2≥0 ( +1)( -2)≥0 -2≥0 a≥4.
12.(2010湖北黃岡中學(xué)模擬，19)已知定義域?yàn)椋?，1］的函數(shù)f(x)同時(shí)滿足：
①對于任意的x∈［0，1］，總有f(x)≥0;
②f(1)=1;
③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,
則有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).
(1)求f(0)的值；
（2）求f(x)的大值.
解析：(1)對于條件③，令x1=x2=0得f(0)≤0，又由條件①知f(0)≥0，故f(0)=0.
(2)設(shè)0≤x1
即f(x2)≥f(x1),故f(x)在［0，1］上是單調(diào)遞增，從而f(x)的大值是f(1)=1.
13.定義在R上的奇函數(shù)f(x)在［-a,-b］(a>b>0)上是減函數(shù)且f(-b)>0,判斷F（x）=［f(x)］2在［b,a］上的單調(diào)性并證明你的結(jié)論.
解析：設(shè)b≤x1
∵f(x)在［-a,-b］上是減函數(shù),∴0
14.已知函數(shù)f(x)=( -1)2+( -1)2的定義域?yàn)椋踡,n)且1≤m
（2）證明：對任意x1、x2∈［m,n］,不等式|f(x1)-f(x2)|<1恒成立.
（1）解析：解法一：∵f(x)=( -1)2+( -1)2= +2,
∴f′(x)= •(x4-m2n2-mx3+m2nx)= (x2-mx+mn)(x+ )
(x- ).
∵1≤m≤x
令f′(x)=0,得x= ，
①當(dāng)x∈［m, ］時(shí)，f′(x)<0;
②當(dāng)x∈［ ，n］時(shí)，f′(x)>0.
∴f(x)在［m, ］內(nèi)為減函數(shù)，在［ ，n）為內(nèi)增函數(shù).
解法二：由題設(shè)可得
f(x)=（ -1）2- +1.
令t= .
∵1≤m
令t′= =0,得x= .
當(dāng)x∈［m, ］,t′<0;當(dāng)x∈( ,n)時(shí)，t′>0.∴t= 在［m, ］內(nèi)是減函數(shù)，在［ ，n］內(nèi)是增函數(shù).∵函數(shù)y=(t-1)2- +1在［1，+∞］上是增函數(shù)，∴函數(shù)f(x)在［m, ］內(nèi)是減函數(shù)，在［ ，n］內(nèi)是增函數(shù).
（2）證明：由（1）可知，f(x)在［m,n］上的小值為f( )=2( -1)2,大值為f(m)=( -1)2.
對任意x1、x2∈［m,n］,|f(x1)-f(x2)|≤( -1)2-2( -1)2=( )2-4• +4 -1.令u= ,h(u)=u4-4u2+4u-1.
∵1≤m
∴h(u)在(1, )上是增函數(shù).∴h(u)≤h( )=4-8+4 -1=4 -5<1.
∴不等式|f(x1)-f(x2)|<1恒成立.