定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)
剛體上各點(diǎn)都在以某一定點(diǎn)為球心的球面上運(yùn)動(dòng)。
在運(yùn)動(dòng)過程中有一點(diǎn)永遠(yuǎn)保持不動(dòng)。我們可取這個(gè)固定點(diǎn)為上述兩個(gè)坐標(biāo)系的公共原點(diǎn)，坐標(biāo)軸之間的夾角則可以任一改變?？梢宰C明，在這種情況下，剛體從一個(gè)初位置運(yùn)動(dòng)到任意一個(gè)新位置時(shí)，恒可通過三個(gè)獨(dú)立的角坐標(biāo)來表示。設(shè)t=0時(shí)，坐標(biāo)系oxyz和ox.y.z.重合，如圖4.4（a）；在時(shí)刻t，坐標(biāo)系oxyz運(yùn)動(dòng)到一個(gè)新位置，如圖4.4（d）。這個(gè)運(yùn)動(dòng)可以看作三個(gè)獨(dú)立的轉(zhuǎn)動(dòng)合成。首先，令oxyz平面繞oz.軸轉(zhuǎn)過一個(gè)角度φ，使ox軸達(dá)到圖4.4（d）中oxy平面和ox.y.平面的交線on的位置，變?yōu)閛x'y'z'如圖4.4（b）。交線on稱為節(jié)線。其次，使oy'z'平面繞節(jié)線on轉(zhuǎn)過角度θ，使坐標(biāo)軸達(dá)到新位置ox“y”z“，使oz”軸和圖4.4（d）中oz軸位置重合。最后，令ox“y”平面繞oz“軸轉(zhuǎn)過角度φ，使坐標(biāo)軸達(dá)到圖4.4（d）中的最終位置。
上述φθ三個(gè)角坐標(biāo)稱為歐拉角，φ稱為進(jìn)動(dòng)角，θ稱為章動(dòng)角，？稱為自轉(zhuǎn)角，這三個(gè)角度的變化范圍為：
0≤φ≤2π，0≤θ≤π，0≤ψ≤2π。
從上面的討論可知，作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體在空間的任一位置可有三個(gè)歐拉角確定，所以三個(gè)歐拉角就是剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的廣義坐標(biāo)。 但是這種描述方法不是的。例如我們也可以把剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)看成是轉(zhuǎn)動(dòng)軸oz方向可以任意變化的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。要確定oz軸的方向，可用球坐標(biāo)的余緯角θ和經(jīng)度角φ來表示，在加上繞軸oz的轉(zhuǎn)角ψ，它們同樣可以的確定剛體在空間的位置，也是廣義坐標(biāo)，這三個(gè)角坐標(biāo)和三個(gè)歐拉角并不完全一樣，其中θ和ψ是一樣的。但兩者的φ并不一樣。
一般運(yùn)動(dòng)
平面運(yùn)動(dòng)與一般轉(zhuǎn)動(dòng)的結(jié)合。
剛體作一般運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒可以分解為平動(dòng)和定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)兩部分。平動(dòng)部分可用c點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)x.y.z.描述，定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)部分可以用三個(gè)歐拉角φθψ描述。這6個(gè)坐標(biāo)就是剛體作一般運(yùn)動(dòng)時(shí)的廣義坐標(biāo)。
剛體上各點(diǎn)都在以某一定點(diǎn)為球心的球面上運(yùn)動(dòng)。
在運(yùn)動(dòng)過程中有一點(diǎn)永遠(yuǎn)保持不動(dòng)。我們可取這個(gè)固定點(diǎn)為上述兩個(gè)坐標(biāo)系的公共原點(diǎn)，坐標(biāo)軸之間的夾角則可以任一改變?？梢宰C明，在這種情況下，剛體從一個(gè)初位置運(yùn)動(dòng)到任意一個(gè)新位置時(shí)，恒可通過三個(gè)獨(dú)立的角坐標(biāo)來表示。設(shè)t=0時(shí)，坐標(biāo)系oxyz和ox.y.z.重合，如圖4.4（a）；在時(shí)刻t，坐標(biāo)系oxyz運(yùn)動(dòng)到一個(gè)新位置，如圖4.4（d）。這個(gè)運(yùn)動(dòng)可以看作三個(gè)獨(dú)立的轉(zhuǎn)動(dòng)合成。首先，令oxyz平面繞oz.軸轉(zhuǎn)過一個(gè)角度φ，使ox軸達(dá)到圖4.4（d）中oxy平面和ox.y.平面的交線on的位置，變?yōu)閛x'y'z'如圖4.4（b）。交線on稱為節(jié)線。其次，使oy'z'平面繞節(jié)線on轉(zhuǎn)過角度θ，使坐標(biāo)軸達(dá)到新位置ox“y”z“，使oz”軸和圖4.4（d）中oz軸位置重合。最后，令ox“y”平面繞oz“軸轉(zhuǎn)過角度φ，使坐標(biāo)軸達(dá)到圖4.4（d）中的最終位置。
上述φθ三個(gè)角坐標(biāo)稱為歐拉角，φ稱為進(jìn)動(dòng)角，θ稱為章動(dòng)角，？稱為自轉(zhuǎn)角，這三個(gè)角度的變化范圍為：
0≤φ≤2π，0≤θ≤π，0≤ψ≤2π。
從上面的討論可知，作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體在空間的任一位置可有三個(gè)歐拉角確定，所以三個(gè)歐拉角就是剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的廣義坐標(biāo)。 但是這種描述方法不是的。例如我們也可以把剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)看成是轉(zhuǎn)動(dòng)軸oz方向可以任意變化的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。要確定oz軸的方向，可用球坐標(biāo)的余緯角θ和經(jīng)度角φ來表示，在加上繞軸oz的轉(zhuǎn)角ψ，它們同樣可以的確定剛體在空間的位置，也是廣義坐標(biāo)，這三個(gè)角坐標(biāo)和三個(gè)歐拉角并不完全一樣，其中θ和ψ是一樣的。但兩者的φ并不一樣。
一般運(yùn)動(dòng)
平面運(yùn)動(dòng)與一般轉(zhuǎn)動(dòng)的結(jié)合。
剛體作一般運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒可以分解為平動(dòng)和定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)兩部分。平動(dòng)部分可用c點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)x.y.z.描述，定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)部分可以用三個(gè)歐拉角φθψ描述。這6個(gè)坐標(biāo)就是剛體作一般運(yùn)動(dòng)時(shí)的廣義坐標(biāo)。