第一章 數(shù)字推理
命題分析及題型綜述
近年來中央、國(guó)家公務(wù)員考試《行政職業(yè)能力測(cè)驗(yàn)》的數(shù)字推理題呈現(xiàn)出以下幾個(gè)特征：
1.題量穩(wěn)定，難度漸增。數(shù)字推理題每年的題量均是5道，但考查的規(guī)律日趨復(fù)雜化。以前還會(huì)有簡(jiǎn)單的等差數(shù)列、等比數(shù)列、質(zhì)數(shù)數(shù)列出現(xiàn)，但現(xiàn)在就不會(huì)再有這樣考查單一規(guī)律的題目了，多種規(guī)律糅合在同一道數(shù)字推理題中的情況會(huì)越來越多，試題的難度逐年增大。
2.基本題型考查頻繁。從歷年考試試題來看，二級(jí)(三級(jí))等差數(shù)列、等比數(shù)列、遞推數(shù)列、平方數(shù)列及冪次數(shù)列(或其變式)占所考查題目的80%以上，如：2009年考查了1道二級(jí)等差數(shù)列(以分?jǐn)?shù)數(shù)列的形式)，2道三級(jí)等差數(shù)列，1道二級(jí)等差數(shù)列與冪次數(shù)列的疊加數(shù)列(即綜合型數(shù)列);2010年考查了4道遞推數(shù)列(包括1道分?jǐn)?shù)數(shù)列)，1道平方數(shù)列的修正數(shù)列。
3.數(shù)列形式是數(shù)字推理的主要考查形式。近五年中，國(guó)考只考查數(shù)列形式的數(shù)字推理，只有2008年考查了1道圖形數(shù)字推理題。部分省市公務(wù)員考試曾考查過圖形數(shù)字推理，但仍以數(shù)列形式的考查為主。所以備考國(guó)考的考生仍然要把數(shù)列形式的數(shù)字推理題作為重點(diǎn)復(fù)習(xí)對(duì)象，同時(shí)兼顧圖形數(shù)字推理題。
數(shù)字推理解題技巧
數(shù)字推理題一直以來困惑著眾多考生，很多人看到一連串的數(shù)字會(huì)毫無(wú)頭緒，下面推薦給考生一些打開思路的常用技巧。
(一)整數(shù)形式數(shù)列
如果數(shù)列以一連串的整數(shù)呈現(xiàn)，根據(jù)數(shù)列中數(shù)字的個(gè)數(shù)多少來考慮做法。
技巧1.數(shù)列中數(shù)字的個(gè)數(shù)(包括未知項(xiàng))在8個(gè)或8個(gè)以上，或者數(shù)列中含有兩個(gè)括號(hào)，可以首先考慮該數(shù)列為分組數(shù)列。
技巧2. 數(shù)列中數(shù)字的個(gè)數(shù)在8個(gè)以下，數(shù)字與常見平方(或立方)數(shù)之間有關(guān)系，考慮其為平方(冪次)數(shù)列的修正數(shù)列。
技巧3.數(shù)列中數(shù)字的個(gè)數(shù)在8個(gè)以下，數(shù)字的變化趨勢(shì)不大，此時(shí)考慮兩兩做差或兩兩做和，有可能為多級(jí)數(shù)列(或與其他簡(jiǎn)單規(guī)律的疊加)。
技巧4. 數(shù)列中數(shù)字的個(gè)數(shù)在8個(gè)以下，考慮前兩個(gè)(或前三個(gè))數(shù)字間的數(shù)學(xué)運(yùn)算關(guān)系，如果可以找到關(guān)系，再驗(yàn)證這一關(guān)系是否適合其他數(shù)字。
(二)分?jǐn)?shù)形式數(shù)列
如果數(shù)列中有分?jǐn)?shù)出現(xiàn)，根據(jù)分?jǐn)?shù)出現(xiàn)的個(gè)數(shù)來判斷采用哪種做法。
技巧5.數(shù)列中含有的分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)少于三分之一，通常把分?jǐn)?shù)化為負(fù)冪次形式，考慮底數(shù)數(shù)列的規(guī)律與指數(shù)數(shù)列的規(guī)律，或者考慮做積商多級(jí)數(shù)列，遞推積商數(shù)列。
技巧6.數(shù)列中含有的分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)多于三分之二，常常采用“整劃分”的方法將數(shù)列形式統(tǒng)一，然后分別尋找分子、分母的規(guī)律。
(三)小數(shù)形式數(shù)列
技巧7.小數(shù)形式的數(shù)列通常把整數(shù)部分與小數(shù)部分分為兩個(gè)數(shù)列來尋找規(guī)律，整數(shù)部分?jǐn)?shù)列可以參照整數(shù)形式數(shù)列的技巧來解決，小數(shù)部分?jǐn)?shù)列可以不考慮小數(shù)點(diǎn)，這樣就可以看作整數(shù)數(shù)列，或者把小數(shù)數(shù)列轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)數(shù)列解決。
(四)根式形式數(shù)列
技巧8.根式形式的數(shù)列中每個(gè)數(shù)字只含有一個(gè)根號(hào)，并且開的次方各不相同，則可以分別考慮次方數(shù)字的內(nèi)在規(guī)律與根號(hào)下數(shù)字的內(nèi)在規(guī)律。
技巧9. 根式形式的數(shù)列中每個(gè)數(shù)字只含有一個(gè)根號(hào)，并且開的次方相同，首先觀察有無(wú)恒定的倍數(shù)關(guān)系(倍數(shù)有可能為無(wú)理數(shù))，若有，則為等比數(shù)列;若無(wú)，則把根號(hào)外面的數(shù)字全部轉(zhuǎn)化到根號(hào)內(nèi)，再觀察根號(hào)下數(shù)字的規(guī)律(按整數(shù)數(shù)列的規(guī)律考慮)。
技巧10. 根式形式的數(shù)列中每個(gè)數(shù)字含有兩個(gè)根號(hào)并以分?jǐn)?shù)形式出現(xiàn)，開平方，此時(shí)考慮分子(或分母)有理化，然后分別觀察分子列的規(guī)律與分母列的規(guī)律。
第一節(jié) 數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)
一、基本數(shù)列
我們先列出幾種基本數(shù)列：常數(shù)數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列、質(zhì)數(shù)數(shù)列、合數(shù)數(shù)列、周期數(shù)列(也叫循環(huán)數(shù)列)、簡(jiǎn)單遞推數(shù)列，數(shù)字推理的數(shù)列基本上是這幾種數(shù)列的組合或變形。
(1)常數(shù)數(shù)列：整個(gè)數(shù)列由一個(gè)常數(shù)構(gòu)成。如：9，9，9，9，9，9，…
(2)等差數(shù)列：數(shù)列的任意相鄰兩項(xiàng)之差(后一項(xiàng)減去前一項(xiàng))恒等于某一常數(shù)(此常數(shù)為公差)。如：1，4,7,10，13，16，…，此數(shù)列的公差為3。
(3)等比數(shù)列：數(shù)列的任意相鄰兩項(xiàng)之比(后一項(xiàng)除以前一項(xiàng))恒等于某一常數(shù)(此常數(shù)為公比)。如：11，22,44,88，176，352，…，此數(shù)列的公比為2。
(4)質(zhì)數(shù)數(shù)列：數(shù)列由連續(xù)的質(zhì)數(shù)構(gòu)成。注意：只要是連續(xù)的質(zhì)數(shù)組成的就可以，不一定要從2開始。
如：2,3,5,7,11,13，…
如：5,7,11,13,17,19，…
(5)合數(shù)數(shù)列：數(shù)列由連續(xù)的合數(shù)構(gòu)成。注意：只要是連續(xù)的合數(shù)組成的就可以，不一定要從4開始。
如：4,6，8,9,10，…
如：9,10,12,14,15,16，…
(6)周期數(shù)列：數(shù)列從某一項(xiàng)開始循環(huán)出現(xiàn)與前面相同的項(xiàng)。
如：1，2，3，1，2，3，1，2，3，1，2，3，…，這個(gè)數(shù)列的循環(huán)周期為3。
(7)簡(jiǎn)單遞推數(shù)列：數(shù)列中后一項(xiàng)等于前兩項(xiàng)的和、差、積或商。
如：3,2,5,7,12,19，…
如：80,90,10，-80，-90，…
如：1,2,2,4，8，32，…
如：1,2,2,1，，…
二、常用質(zhì)數(shù)表及相關(guān)知識(shí)
質(zhì)數(shù)數(shù)列也是國(guó)家公務(wù)員考試《行政職業(yè)能力測(cè)驗(yàn)》數(shù)量關(guān)系的常考考點(diǎn)，下面列出了200以內(nèi)質(zhì)數(shù)表及記憶技巧。
200以內(nèi)質(zhì)數(shù)表
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41
43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97
101、103、107、109、113、127、131、137、139、149
151、157、163、167、173、179、181、191、193、197、199
質(zhì)數(shù)的相關(guān)知識(shí)
(1)“2、3、5、7、11、13、17、19”這幾個(gè)質(zhì)數(shù)是質(zhì)數(shù)數(shù)列的“標(biāo)識(shí)”，數(shù)字推理題型對(duì)質(zhì)數(shù)數(shù)列的考查往往集中在這幾個(gè)數(shù)字上。
(2)83、89、97是100以內(nèi)大的三個(gè)質(zhì)數(shù)，即80以上、100以下的其他自然數(shù)均是合數(shù)，特別注意：91是一個(gè)合數(shù)(91=7×13)。
【注】 像91這樣較大的合數(shù)，看起來像是“質(zhì)數(shù)”，但實(shí)際上是合數(shù)。這也是公務(wù)員考試中經(jīng)常會(huì)設(shè)置的陷阱，牢記200以內(nèi)一些特殊數(shù)字的分解在解題時(shí)會(huì)起到意想不到的效果。
第二節(jié) 多級(jí)數(shù)列
核心知識(shí)
多級(jí)數(shù)列是指對(duì)數(shù)列相鄰兩項(xiàng)進(jìn)行某種四則運(yùn)算(通常是做差，偶爾涉及做商，近年來出現(xiàn)了做和)后生成的次級(jí)數(shù)列呈現(xiàn)某種規(guī)律的數(shù)列。需進(jìn)行運(yùn)算的數(shù)列稱為二級(jí)數(shù)列，需進(jìn)行兩次運(yùn)算的數(shù)列稱為三級(jí)數(shù)列，依此類推。
多級(jí)數(shù)列是數(shù)字推理部分中重要、基礎(chǔ)的一種。應(yīng)試者臨場(chǎng)時(shí)應(yīng)先觀察數(shù)列，若呈平穩(wěn)遞增趨勢(shì)，就可以嘗試著用“倒三角”法則尋找規(guī)律。有時(shí)做差與做商法交替使用，有時(shí)做差兩次或做商兩次，而得出的結(jié)果可能是等比數(shù)列或等差數(shù)列，也可能是質(zhì)數(shù)數(shù)列等其他數(shù)列?？傊舛嗉?jí)數(shù)列題時(shí)，應(yīng)試者不能拘泥于既得經(jīng)驗(yàn)，應(yīng)唯“規(guī)律”是求。
第三節(jié) 分組數(shù)列
核心知識(shí)
分組數(shù)列的一大特征是數(shù)列普遍比較長(zhǎng)(通常情況下為8項(xiàng)或8項(xiàng)以上)，有時(shí)數(shù)列中會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)括號(hào)。分組數(shù)列也有兩種：
奇偶分組數(shù)列，也稱跳躍數(shù)列或隔項(xiàng)數(shù)列。通常情況下，奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別呈一定規(guī)律。有些時(shí)候其中一組規(guī)律明顯，而另一組的規(guī)律不太明顯，規(guī)律不明顯的一組的規(guī)律依賴于規(guī)律較明顯的一組。
相鄰分組數(shù)列，通常情況下采用兩兩分組的方式(有些地方考題和模擬題中曾經(jīng)出現(xiàn)過三三分組的情況，但這種情況非常少見，故不是廣大應(yīng)試者復(fù)習(xí)的重點(diǎn))，一般分為四至五組，因此數(shù)列通常有八至十項(xiàng)，分組后進(jìn)行組內(nèi)的四則運(yùn)算。
經(jīng)典真題精講
【例1】(2009-安徽-1)7，14，10，11，14，9，( )，( )。
A. 19，8B. 18，9C. 17，8D. 16，7
【解析】 本題正確答案為A。
此數(shù)列為隔項(xiàng)分組數(shù)列，
【例3】(2010-黑龍江-40)0，3，2，5，4，7，( )。
A. 6B. 7C. 8D. 9
【解析】 本題正確答案為A。仔細(xì)觀察題目，可知該數(shù)列隔項(xiàng)分別是等差數(shù)列，即奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別為等差數(shù)列。故空缺項(xiàng)為6。
【例4】(2010-黑龍江-36)1，2，0，3，-1，4，( )。
A. -2B. 0C. 5D. 6
【解析】 本題正確答案為A。
方法一：題目可以看成一個(gè)間隔組合數(shù)列。奇數(shù)項(xiàng)1，0，-1，是公差為-1的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)2，3，4是連續(xù)自然數(shù)數(shù)列。故空缺的奇數(shù)項(xiàng)應(yīng)為-1+(-1)=-2。
方法二：題目可以看成是大小震蕩的多級(jí)做和數(shù)列。兩兩做和得到3、2、3、2、3，可以看出是個(gè)周期數(shù)列，故空缺項(xiàng)和前面一項(xiàng)4的和應(yīng)為2，從而空缺項(xiàng)應(yīng)為-2。
【例5】(2010-江西-39)4，5，7，9，13，15，( )。
A. 17B. 19C. 18D. 20
【解析】 本題正確答案為B。
兩兩做差后得到一個(gè)新分組數(shù)列(1，2)(2，4)(2，?)，知每一組數(shù)字的商都是2，故“?”應(yīng)為4，則空缺項(xiàng)為15+4=19。故選B。
【例6】(2010-江西-40)3，3，4，5，7，7，11，9，( )，( )。
A. 13，11B. 16，12C. 18，11D. 17，13
【解析】 本題正確答案為C。數(shù)列比較長(zhǎng)的時(shí)候可考慮分組數(shù)列。奇數(shù)項(xiàng)為遞推和數(shù)列，即3+4=7，4+7=11，7+11=18;偶數(shù)項(xiàng)是公差為2的等差數(shù)列，空缺項(xiàng)為9+2=11。選C。
【例7】(2009-廣東-4)4，5，8，10，16，19，32，( )。
A. 35B. 36C. 37D. 38
【解析】 本題正確答案為B。每相鄰兩個(gè)數(shù)為一組，二者之差依次是4-5=-1;8-10=-2;16-19=-3;32-(36)=-4。正確答案為B。