一. 選擇題：本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)。
*1. 設(shè)函數(shù) ， 是 的反函數(shù)，則（ ）
A. B.
C. D.
令
，反函數(shù)為 ，選B
*2. 若 是 的極值點(diǎn)，則（ ）
A. 必定存在，且
B. 必定存在，但 不一定等于零
C. 可能不存在
D. 必定不存在
應(yīng)選C。例： 在 處取得極小值，但該函數(shù)在 處不可導(dǎo)，而 不存在
*3. 設(shè)有直線 ，則該直線必定（ ）
A. 過原點(diǎn)且垂直于x軸
B. 過原點(diǎn)且平行于x軸
C. 不過原點(diǎn)，但垂直于x軸
D. 不過原點(diǎn)，且不平行于x軸
直線顯然過（0，0，0）點(diǎn)，方向向量為 ， 軸的正向方向向量為 ， ，故直線與x軸垂直，故應(yīng)選A。
*4. 冪級(jí)數(shù) 在點(diǎn) 處收斂，則級(jí)數(shù) （ ）
A. 絕對(duì)收斂 B. 條件收斂 C. 發(fā)散 D. 收斂性與 有關(guān)
在點(diǎn) 處收斂，推得對(duì) ， 絕對(duì)收斂，特別對(duì) 有 絕對(duì)收斂，故應(yīng)選A。
5. 對(duì)微分方程 ，利用待定系數(shù)法求其特解 時(shí)，下面特解設(shè)法正確的是（ ）
A. B. C. D.
二. 填空題：本大題共10個(gè)小題，10個(gè)空，每空4分，共40分，把答案填在題中橫線上。
*6. _________________.
7. 設(shè) ，則 _________________.
*8. 設(shè) ，則 _________________.
解：
*9. _________________.
解
10. 設(shè) ，則 _________________.
*11. 已知 ，則過點(diǎn) 且同時(shí)平行于向量 和 的平面的方程為_________________.
面的法向量為
平面的方程為 即
12. 微分方程 的通解是_________________.
*13. 冪級(jí)數(shù) 的收斂區(qū)間是_________________.
解：令 ，
由 解得， ，于是收斂區(qū)間是
14. 設(shè) ，則與 同方向的單位向量 _________________.
*15. 交換二次積分 的次序得 _________________.
解：積分區(qū)域如圖所示：D： ，于是
三. 解答題：本大題共13個(gè)小題，共90分，第16題～第25題每小題6分，第26題～第28題每小題10分，解答時(shí)應(yīng)寫出推理，演算步驟。
*16. 計(jì)算
解：
*17. 設(shè) ，求
解：
18. 判定函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間
19. 求由方程 所確定的隱函數(shù) 的微分
*20. 設(shè)函數(shù) ，求
解：設(shè) ，則 ，兩邊求定積分得
解得： ，于是
21. 判定級(jí)數(shù) 的收斂性，若其收斂，指出是絕對(duì)收斂，還是條件收斂？
22. 設(shè) ，求
23. 求微分方程 的通解
*24. 將函數(shù) 展開為麥克勞林級(jí)數(shù)
解：
（ ）
即
25. 設(shè) ，求
26. 求函數(shù) 在條件 之下的最值。
*27. 求曲線 的漸近線
解：（1）
曲線沒有水平漸近線
（2） ，曲線有鉛直漸近線
（3）
所以曲線有斜漸近線
*28. 設(shè)區(qū)域?yàn)镈： ，計(jì)算
解：積分區(qū)域如圖所示（陰影部分）
【試題答案】
一.
1. 令
，反函數(shù)為 ，選B
2. 應(yīng)選C。例： 在 處取得極小值，但該函數(shù)在 處不可導(dǎo)，而 不存在
3. 直線顯然過（0，0，0）點(diǎn)，方向向量為 ， 軸的正向方向向量為 ， ，故直線與x軸垂直，故應(yīng)選A。
4. 在點(diǎn) 處收斂，推得對(duì) ， 絕對(duì)收斂，特別對(duì) 有 絕對(duì)收斂，故應(yīng)選A。
5. 特征根為 ，由此可見 （ ）是特征根，于是可設(shè) ，應(yīng)選C。
二.
6.
7.
8. 解：
9. 解
10.
（ ）
11. 平面的法向量為
平面的方程為 即
12. 解：
通解為
13. 解：令 ，
由 解得， ，于是收斂區(qū)間是
14. ，
15. 解：積分區(qū)域如圖所示：D： ，于是
三.
16. 解：
17. 解：
18. 解：
當(dāng) 時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)增加；當(dāng) 或 時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)減少，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 ，單調(diào)遞增區(qū)間為
19. 解：方程兩邊對(duì) 求導(dǎo)（注意 是 的函數(shù)）：
解得
20. 解：設(shè) ，則 ，兩邊求定積分得
解得： ，于是
21. 解：（1）先判別級(jí)數(shù) 的收斂性
令
發(fā)散
發(fā)散
（2）由于所給級(jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)且
<1>
<2>
由萊布尼茲判別法知，原級(jí)數(shù)收斂，且是條件收斂。
22. 解：
23. 先求方程 的通解：
特征方程為 ，特征根為 ， ，于是齊次方程通解為
……（1）
方程中的 ，其中 不是特征根，可令
則 ，
代入原方程并整理得
，
……（2）
所求通解為
24. 解：
（ ）
即
25. 解：因 由 得
，從而
26. 解：把條件極值問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值
當(dāng) 時(shí)，函數(shù)取到值
當(dāng) 時(shí)，函數(shù)取到最小值0
27. 解：（1）
曲線沒有水平漸近線
（2） ，曲線有鉛直漸近線
（3）
所以曲線有斜漸近線
28. 解：積分區(qū)域如圖所示（陰影部分）
*1. 設(shè)函數(shù) ， 是 的反函數(shù)，則（ ）
A. B.
C. D.
令
，反函數(shù)為 ，選B
*2. 若 是 的極值點(diǎn)，則（ ）
A. 必定存在，且
B. 必定存在，但 不一定等于零
C. 可能不存在
D. 必定不存在
應(yīng)選C。例： 在 處取得極小值，但該函數(shù)在 處不可導(dǎo)，而 不存在
*3. 設(shè)有直線 ，則該直線必定（ ）
A. 過原點(diǎn)且垂直于x軸
B. 過原點(diǎn)且平行于x軸
C. 不過原點(diǎn)，但垂直于x軸
D. 不過原點(diǎn)，且不平行于x軸
直線顯然過（0，0，0）點(diǎn)，方向向量為 ， 軸的正向方向向量為 ， ，故直線與x軸垂直，故應(yīng)選A。
*4. 冪級(jí)數(shù) 在點(diǎn) 處收斂，則級(jí)數(shù) （ ）
A. 絕對(duì)收斂 B. 條件收斂 C. 發(fā)散 D. 收斂性與 有關(guān)
在點(diǎn) 處收斂，推得對(duì) ， 絕對(duì)收斂，特別對(duì) 有 絕對(duì)收斂，故應(yīng)選A。
5. 對(duì)微分方程 ，利用待定系數(shù)法求其特解 時(shí)，下面特解設(shè)法正確的是（ ）
A. B. C. D.
二. 填空題：本大題共10個(gè)小題，10個(gè)空，每空4分，共40分，把答案填在題中橫線上。
*6. _________________.
7. 設(shè) ，則 _________________.
*8. 設(shè) ，則 _________________.
解：
*9. _________________.
解
10. 設(shè) ，則 _________________.
*11. 已知 ，則過點(diǎn) 且同時(shí)平行于向量 和 的平面的方程為_________________.
面的法向量為
平面的方程為 即
12. 微分方程 的通解是_________________.
*13. 冪級(jí)數(shù) 的收斂區(qū)間是_________________.
解：令 ，
由 解得， ，于是收斂區(qū)間是
14. 設(shè) ，則與 同方向的單位向量 _________________.
*15. 交換二次積分 的次序得 _________________.
解：積分區(qū)域如圖所示：D： ，于是
三. 解答題：本大題共13個(gè)小題，共90分，第16題～第25題每小題6分，第26題～第28題每小題10分，解答時(shí)應(yīng)寫出推理，演算步驟。
*16. 計(jì)算
解：
*17. 設(shè) ，求
解：
18. 判定函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間
19. 求由方程 所確定的隱函數(shù) 的微分
*20. 設(shè)函數(shù) ，求
解：設(shè) ，則 ，兩邊求定積分得
解得： ，于是
21. 判定級(jí)數(shù) 的收斂性，若其收斂，指出是絕對(duì)收斂，還是條件收斂？
22. 設(shè) ，求
23. 求微分方程 的通解
*24. 將函數(shù) 展開為麥克勞林級(jí)數(shù)
解：
（ ）
即
25. 設(shè) ，求
26. 求函數(shù) 在條件 之下的最值。
*27. 求曲線 的漸近線
解：（1）
曲線沒有水平漸近線
（2） ，曲線有鉛直漸近線
（3）
所以曲線有斜漸近線
*28. 設(shè)區(qū)域?yàn)镈： ，計(jì)算
解：積分區(qū)域如圖所示（陰影部分）
【試題答案】
一.
1. 令
，反函數(shù)為 ，選B
2. 應(yīng)選C。例： 在 處取得極小值，但該函數(shù)在 處不可導(dǎo)，而 不存在
3. 直線顯然過（0，0，0）點(diǎn)，方向向量為 ， 軸的正向方向向量為 ， ，故直線與x軸垂直，故應(yīng)選A。
4. 在點(diǎn) 處收斂，推得對(duì) ， 絕對(duì)收斂，特別對(duì) 有 絕對(duì)收斂，故應(yīng)選A。
5. 特征根為 ，由此可見 （ ）是特征根，于是可設(shè) ，應(yīng)選C。
二.
6.
7.
8. 解：
9. 解
10.
（ ）
11. 平面的法向量為
平面的方程為 即
12. 解：
通解為
13. 解：令 ，
由 解得， ，于是收斂區(qū)間是
14. ，
15. 解：積分區(qū)域如圖所示：D： ，于是
三.
16. 解：
17. 解：
18. 解：
當(dāng) 時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)增加；當(dāng) 或 時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)減少，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 ，單調(diào)遞增區(qū)間為
19. 解：方程兩邊對(duì) 求導(dǎo)（注意 是 的函數(shù)）：
解得
20. 解：設(shè) ，則 ，兩邊求定積分得
解得： ，于是
21. 解：（1）先判別級(jí)數(shù) 的收斂性
令
發(fā)散
發(fā)散
（2）由于所給級(jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)且
<1>
<2>
由萊布尼茲判別法知，原級(jí)數(shù)收斂，且是條件收斂。
22. 解：
23. 先求方程 的通解：
特征方程為 ，特征根為 ， ，于是齊次方程通解為
……（1）
方程中的 ，其中 不是特征根，可令
則 ，
代入原方程并整理得
，
……（2）
所求通解為
24. 解：
（ ）
即
25. 解：因 由 得
，從而
26. 解：把條件極值問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值
當(dāng) 時(shí)，函數(shù)取到值
當(dāng) 時(shí)，函數(shù)取到最小值0
27. 解：（1）
曲線沒有水平漸近線
（2） ，曲線有鉛直漸近線
（3）
所以曲線有斜漸近線
28. 解：積分區(qū)域如圖所示（陰影部分）