2004年第xx屆華杯賽決賽第二試第6題：正方形跑道ABCD，甲、乙、丙三人同時從A點出發(fā)同向跑步，速度分別為每秒5米、4米、3米。若干時間后，甲首次看到乙、丙都在自己前方，也即都在正方形的一條邊上，從此刻起21秒以后，三人都在跑道同一位置，并且這是出發(fā)后三人首次在一個點上。請計算正方形的周長是多少？
解答：
假設(shè)正方形的邊長為a，則周長為4a。另外，我們稱甲首次看到乙、丙在自己前方為時刻1，三人首次在一個點上為時刻2。
甲第一次最上乙要花去的時間為4a/(5-4)=4a，乙第一次追上丙的時間為4a/(4-3)也等于4a，因此，時刻2=4a。又因為時刻2=時刻1+21，所以4a大于21，也就是說正方形的周長大于21；注意到甲每秒追上乙1米，時刻1=時刻2-21，所以在時刻1時，甲正好落后乙21米，當然此時，乙也正好落后丙21米，由于此時三人在一條邊上，所以正方形邊長a大于42。
我們來分析一下時刻1，這個時候是甲第一次同時看到乙、丙，所以此時甲應(yīng)該位于某個頂點上，否則在時刻1的0.0001秒以前，甲也應(yīng)該能同時看到乙、丙，與時刻1是甲首次看到乙、丙矛盾。
注意到時刻1=4a-21，此時甲走了5(4a-21)米，現(xiàn)在要求這一點在某個頂點上，因此5(4a-21)/a要是整數(shù)，也就是說105/a要是整數(shù)，由于我們已經(jīng)知道a大于42，所以只能有105/a=1或2，對應(yīng)的a=105或52.5，因此正方形的周長為420米或210米。
解答：
假設(shè)正方形的邊長為a，則周長為4a。另外，我們稱甲首次看到乙、丙在自己前方為時刻1，三人首次在一個點上為時刻2。
甲第一次最上乙要花去的時間為4a/(5-4)=4a，乙第一次追上丙的時間為4a/(4-3)也等于4a，因此，時刻2=4a。又因為時刻2=時刻1+21，所以4a大于21，也就是說正方形的周長大于21；注意到甲每秒追上乙1米，時刻1=時刻2-21，所以在時刻1時，甲正好落后乙21米，當然此時，乙也正好落后丙21米，由于此時三人在一條邊上，所以正方形邊長a大于42。
我們來分析一下時刻1，這個時候是甲第一次同時看到乙、丙，所以此時甲應(yīng)該位于某個頂點上，否則在時刻1的0.0001秒以前，甲也應(yīng)該能同時看到乙、丙，與時刻1是甲首次看到乙、丙矛盾。
注意到時刻1=4a-21，此時甲走了5(4a-21)米，現(xiàn)在要求這一點在某個頂點上，因此5(4a-21)/a要是整數(shù)，也就是說105/a要是整數(shù)，由于我們已經(jīng)知道a大于42，所以只能有105/a=1或2，對應(yīng)的a=105或52.5，因此正方形的周長為420米或210米。