泰勒級數(shù)的定義：
若函數(shù)f（x）在點的某一臨域內(nèi)具有直到（n+1）階導數(shù)，則在該鄰域內(nèi)f（x）的n階泰勒公式為：
f(x)=f(x0)+f`( x0)(x- x0)+f``( x0)(x-x0)²/2!+f```( x0)(x- x0)³/3!+...fn(x0)(x- x0)n/n!+....
其中：fn(x0)(x- x0)n/n!，稱為拉格朗日余項。
以上函數(shù)展開式稱為泰勒級數(shù)。
泰勒級數(shù)在冪級數(shù)展開中的作用：
在泰勒公式中，取，得：
這個級數(shù)稱為麥克勞林級數(shù)。函數(shù)f（x）的麥克勞林級數(shù)是x的冪級數(shù)，那么這種展開是的，且必然與f（x）的麥克勞林級數(shù)一致。
注意：如果f（x）的麥克勞林級數(shù)在點的某一臨域內(nèi)收斂，它不一定收斂于f（x）。因此，如果f（x）在處有各階導數(shù)，則f（x）的麥克勞林級數(shù)雖然能做出來，但這個級數(shù)能否在某個區(qū)域內(nèi)收斂，以及是否收斂于f（x）都需要進一步驗證。
泰勒級數(shù)的重要性體現(xiàn)在以下三個方面：首先，冪級數(shù)的求導和積分可以逐項進行，因此求和函數(shù)相對比較容易。第二，一個解析函數(shù)可被延伸為一個定義在復平面上的一個開片上的解析函數(shù)，并使得復分析這種手法可行。第三，泰勒級數(shù)可以用來近似計算函數(shù)的值。
對于一些無窮可微函數(shù)f(x) 雖然它們的展開式收斂，但是并不等于f(x)。例如，分段函數(shù)f(x) = exp(?1/x²) 當 x ≠ 0 且 f(0) = 0 ，則當x = 0所有的導數(shù)都為零，所以這個f(x)的泰勒級數(shù)為零，且其收斂半徑為無窮大，雖然這個函數(shù) f 僅在 x = 0 處為零。而這個問題在復變函數(shù)內(nèi)并不成立，因為當 z 沿虛軸趨于零時 exp(?1/z²) 并不趨于零。
一些函數(shù)無法被展開為泰勒級數(shù)因為那里存在一些奇點。但是如果變量x是負指數(shù)冪的話，我們?nèi)匀豢梢詫⑵湔归_為一個級數(shù)。例如，f(x) = exp(?1/x²) 就可以被展開為一個洛朗級數(shù)。
基本原理：多項式的k重不可約因式是其微商的k-1重不可約因式；
進而得出多項式函數(shù)的泰勒展開，然后再由Peano，通過
Peano定理推廣至任意函數(shù)的泰勒展開
基本思想：通過系數(shù)為微商的多項式來研究任意函數(shù)的性質(zhì)（本科主要是收斂性)
冪級數(shù)
c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)
c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)
它們的各項都是正整數(shù)冪的冪函數(shù), 其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常數(shù), 這種級數(shù)稱為冪級數(shù).
泰勒展開式(冪級數(shù)展開法):
f(x)=f(a)+f’(a)/1!*(x-a)+f’’(a)/2!*(x-a)2+...f(n)(a)/n!*(x-a)n+...
實用冪級數(shù)：
ex = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+xn/n!+...
ln(1+x)= x-x^2/2+x^3/3-...(-1)k-1*x^k/k+... (|x|<1)
sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-...(-1)k-1*x^(2k-1)/(2k-1)!+... (-∞ cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-...(-1)k*x^(2k)/(2k)!+... (-∞ arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ... (|x|<1)
arccos x = π - ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ... ) (|x|<1)
arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 - ... (x≤1)
sinh x = x+x^3/3!+x^5/5!+...(-1)k-1*x^(2k-1)/(2k-1)!+... (-∞ cosh x = 1+x^2/2!+x^4/4!+...(-1)k*x^(2k)/(2k)!+... (-∞ arcsinh x = x - 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 - ... (|x|<1)
arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ... (|x|<1)
若函數(shù)f（x）在點的某一臨域內(nèi)具有直到（n+1）階導數(shù)，則在該鄰域內(nèi)f（x）的n階泰勒公式為：
f(x)=f(x0)+f`( x0)(x- x0)+f``( x0)(x-x0)²/2!+f```( x0)(x- x0)³/3!+...fn(x0)(x- x0)n/n!+....
其中：fn(x0)(x- x0)n/n!，稱為拉格朗日余項。
以上函數(shù)展開式稱為泰勒級數(shù)。
泰勒級數(shù)在冪級數(shù)展開中的作用：
在泰勒公式中，取，得：
這個級數(shù)稱為麥克勞林級數(shù)。函數(shù)f（x）的麥克勞林級數(shù)是x的冪級數(shù)，那么這種展開是的，且必然與f（x）的麥克勞林級數(shù)一致。
注意：如果f（x）的麥克勞林級數(shù)在點的某一臨域內(nèi)收斂，它不一定收斂于f（x）。因此，如果f（x）在處有各階導數(shù)，則f（x）的麥克勞林級數(shù)雖然能做出來，但這個級數(shù)能否在某個區(qū)域內(nèi)收斂，以及是否收斂于f（x）都需要進一步驗證。
泰勒級數(shù)的重要性體現(xiàn)在以下三個方面：首先，冪級數(shù)的求導和積分可以逐項進行，因此求和函數(shù)相對比較容易。第二，一個解析函數(shù)可被延伸為一個定義在復平面上的一個開片上的解析函數(shù)，并使得復分析這種手法可行。第三，泰勒級數(shù)可以用來近似計算函數(shù)的值。
對于一些無窮可微函數(shù)f(x) 雖然它們的展開式收斂，但是并不等于f(x)。例如，分段函數(shù)f(x) = exp(?1/x²) 當 x ≠ 0 且 f(0) = 0 ，則當x = 0所有的導數(shù)都為零，所以這個f(x)的泰勒級數(shù)為零，且其收斂半徑為無窮大，雖然這個函數(shù) f 僅在 x = 0 處為零。而這個問題在復變函數(shù)內(nèi)并不成立，因為當 z 沿虛軸趨于零時 exp(?1/z²) 并不趨于零。
一些函數(shù)無法被展開為泰勒級數(shù)因為那里存在一些奇點。但是如果變量x是負指數(shù)冪的話，我們?nèi)匀豢梢詫⑵湔归_為一個級數(shù)。例如，f(x) = exp(?1/x²) 就可以被展開為一個洛朗級數(shù)。
基本原理：多項式的k重不可約因式是其微商的k-1重不可約因式；
進而得出多項式函數(shù)的泰勒展開，然后再由Peano，通過
Peano定理推廣至任意函數(shù)的泰勒展開
基本思想：通過系數(shù)為微商的多項式來研究任意函數(shù)的性質(zhì)（本科主要是收斂性)
冪級數(shù)
c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)
c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)
它們的各項都是正整數(shù)冪的冪函數(shù), 其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常數(shù), 這種級數(shù)稱為冪級數(shù).
泰勒展開式(冪級數(shù)展開法):
f(x)=f(a)+f’(a)/1!*(x-a)+f’’(a)/2!*(x-a)2+...f(n)(a)/n!*(x-a)n+...
實用冪級數(shù)：
ex = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+xn/n!+...
ln(1+x)= x-x^2/2+x^3/3-...(-1)k-1*x^k/k+... (|x|<1)
sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-...(-1)k-1*x^(2k-1)/(2k-1)!+... (-∞
arccos x = π - ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ... ) (|x|<1)
arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 - ... (x≤1)
sinh x = x+x^3/3!+x^5/5!+...(-1)k-1*x^(2k-1)/(2k-1)!+... (-∞
arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ... (|x|<1)