泰勒級(jí)數(shù)的定義：
若函數(shù)f（x）在點(diǎn)的某一臨域內(nèi)具有直到（n+1）階導(dǎo)數(shù)，則在該鄰域內(nèi)f（x）的n階泰勒公式為：
f(x)=f(x0)+f`( x0)(x- x0)+f``( x0)(x-x0)²/2!+f```( x0)(x- x0)³/3!+...fn(x0)(x- x0)n/n!+....
其中：fn(x0)(x- x0)n/n!，稱(chēng)為拉格朗日余項(xiàng)。
以上函數(shù)展開(kāi)式稱(chēng)為泰勒級(jí)數(shù)。
泰勒級(jí)數(shù)在冪級(jí)數(shù)展開(kāi)中的作用：
在泰勒公式中，取，得：
這個(gè)級(jí)數(shù)稱(chēng)為麥克勞林級(jí)數(shù)。函數(shù)f（x）的麥克勞林級(jí)數(shù)是x的冪級(jí)數(shù)，那么這種展開(kāi)是的，且必然與f（x）的麥克勞林級(jí)數(shù)一致。
注意：如果f（x）的麥克勞林級(jí)數(shù)在點(diǎn)的某一臨域內(nèi)收斂，它不一定收斂于f（x）。因此，如果f（x）在處有各階導(dǎo)數(shù)，則f（x）的麥克勞林級(jí)數(shù)雖然能做出來(lái)，但這個(gè)級(jí)數(shù)能否在某個(gè)區(qū)域內(nèi)收斂，以及是否收斂于f（x）都需要進(jìn)一步驗(yàn)證。
泰勒級(jí)數(shù)的重要性體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：首先，冪級(jí)數(shù)的求導(dǎo)和積分可以逐項(xiàng)進(jìn)行，因此求和函數(shù)相對(duì)比較容易。第二，一個(gè)解析函數(shù)可被延伸為一個(gè)定義在復(fù)平面上的一個(gè)開(kāi)片上的解析函數(shù)，并使得復(fù)分析這種手法可行。第三，泰勒級(jí)數(shù)可以用來(lái)近似計(jì)算函數(shù)的值。
對(duì)于一些無(wú)窮可微函數(shù)f(x) 雖然它們的展開(kāi)式收斂，但是并不等于f(x)。例如，分段函數(shù)f(x) = exp(?1/x²) 當(dāng) x ≠ 0 且 f(0) = 0 ，則當(dāng)x = 0所有的導(dǎo)數(shù)都為零，所以這個(gè)f(x)的泰勒級(jí)數(shù)為零，且其收斂半徑為無(wú)窮大，雖然這個(gè)函數(shù) f 僅在 x = 0 處為零。而這個(gè)問(wèn)題在復(fù)變函數(shù)內(nèi)并不成立，因?yàn)楫?dāng) z 沿虛軸趨于零時(shí) exp(?1/z²) 并不趨于零。
一些函數(shù)無(wú)法被展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)因?yàn)槟抢锎嬖谝恍┢纥c(diǎn)。但是如果變量x是負(fù)指數(shù)冪的話(huà)，我們?nèi)匀豢梢詫⑵湔归_(kāi)為一個(gè)級(jí)數(shù)。例如，f(x) = exp(?1/x²) 就可以被展開(kāi)為一個(gè)洛朗級(jí)數(shù)。
基本原理：多項(xiàng)式的k重不可約因式是其微商的k-1重不可約因式；
進(jìn)而得出多項(xiàng)式函數(shù)的泰勒展開(kāi)，然后再由Peano，通過(guò)
Peano定理推廣至任意函數(shù)的泰勒展開(kāi)
基本思想：通過(guò)系數(shù)為微商的多項(xiàng)式來(lái)研究任意函數(shù)的性質(zhì)（本科主要是收斂性)
冪級(jí)數(shù)
c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)
c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)
它們的各項(xiàng)都是正整數(shù)冪的冪函數(shù), 其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常數(shù), 這種級(jí)數(shù)稱(chēng)為冪級(jí)數(shù).
泰勒展開(kāi)式(冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法):
f(x)=f(a)+f’(a)/1!*(x-a)+f’’(a)/2!*(x-a)2+...f(n)(a)/n!*(x-a)n+...
實(shí)用冪級(jí)數(shù)：
ex = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+xn/n!+...
ln(1+x)= x-x^2/2+x^3/3-...(-1)k-1*x^k/k+... (|x|<1)
sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-...(-1)k-1*x^(2k-1)/(2k-1)!+... (-∞ cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-...(-1)k*x^(2k)/(2k)!+... (-∞ arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ... (|x|<1)
arccos x = π - ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ... ) (|x|<1)
arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 - ... (x≤1)
sinh x = x+x^3/3!+x^5/5!+...(-1)k-1*x^(2k-1)/(2k-1)!+... (-∞ cosh x = 1+x^2/2!+x^4/4!+...(-1)k*x^(2k)/(2k)!+... (-∞ arcsinh x = x - 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 - ... (|x|<1)
arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ... (|x|<1)
若函數(shù)f（x）在點(diǎn)的某一臨域內(nèi)具有直到（n+1）階導(dǎo)數(shù)，則在該鄰域內(nèi)f（x）的n階泰勒公式為：
f(x)=f(x0)+f`( x0)(x- x0)+f``( x0)(x-x0)²/2!+f```( x0)(x- x0)³/3!+...fn(x0)(x- x0)n/n!+....
其中：fn(x0)(x- x0)n/n!，稱(chēng)為拉格朗日余項(xiàng)。
以上函數(shù)展開(kāi)式稱(chēng)為泰勒級(jí)數(shù)。
泰勒級(jí)數(shù)在冪級(jí)數(shù)展開(kāi)中的作用：
在泰勒公式中，取，得：
這個(gè)級(jí)數(shù)稱(chēng)為麥克勞林級(jí)數(shù)。函數(shù)f（x）的麥克勞林級(jí)數(shù)是x的冪級(jí)數(shù)，那么這種展開(kāi)是的，且必然與f（x）的麥克勞林級(jí)數(shù)一致。
注意：如果f（x）的麥克勞林級(jí)數(shù)在點(diǎn)的某一臨域內(nèi)收斂，它不一定收斂于f（x）。因此，如果f（x）在處有各階導(dǎo)數(shù)，則f（x）的麥克勞林級(jí)數(shù)雖然能做出來(lái)，但這個(gè)級(jí)數(shù)能否在某個(gè)區(qū)域內(nèi)收斂，以及是否收斂于f（x）都需要進(jìn)一步驗(yàn)證。
泰勒級(jí)數(shù)的重要性體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：首先，冪級(jí)數(shù)的求導(dǎo)和積分可以逐項(xiàng)進(jìn)行，因此求和函數(shù)相對(duì)比較容易。第二，一個(gè)解析函數(shù)可被延伸為一個(gè)定義在復(fù)平面上的一個(gè)開(kāi)片上的解析函數(shù)，并使得復(fù)分析這種手法可行。第三，泰勒級(jí)數(shù)可以用來(lái)近似計(jì)算函數(shù)的值。
對(duì)于一些無(wú)窮可微函數(shù)f(x) 雖然它們的展開(kāi)式收斂，但是并不等于f(x)。例如，分段函數(shù)f(x) = exp(?1/x²) 當(dāng) x ≠ 0 且 f(0) = 0 ，則當(dāng)x = 0所有的導(dǎo)數(shù)都為零，所以這個(gè)f(x)的泰勒級(jí)數(shù)為零，且其收斂半徑為無(wú)窮大，雖然這個(gè)函數(shù) f 僅在 x = 0 處為零。而這個(gè)問(wèn)題在復(fù)變函數(shù)內(nèi)并不成立，因?yàn)楫?dāng) z 沿虛軸趨于零時(shí) exp(?1/z²) 并不趨于零。
一些函數(shù)無(wú)法被展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)因?yàn)槟抢锎嬖谝恍┢纥c(diǎn)。但是如果變量x是負(fù)指數(shù)冪的話(huà)，我們?nèi)匀豢梢詫⑵湔归_(kāi)為一個(gè)級(jí)數(shù)。例如，f(x) = exp(?1/x²) 就可以被展開(kāi)為一個(gè)洛朗級(jí)數(shù)。
基本原理：多項(xiàng)式的k重不可約因式是其微商的k-1重不可約因式；
進(jìn)而得出多項(xiàng)式函數(shù)的泰勒展開(kāi)，然后再由Peano，通過(guò)
Peano定理推廣至任意函數(shù)的泰勒展開(kāi)
基本思想：通過(guò)系數(shù)為微商的多項(xiàng)式來(lái)研究任意函數(shù)的性質(zhì)（本科主要是收斂性)
冪級(jí)數(shù)
c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)
c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)
它們的各項(xiàng)都是正整數(shù)冪的冪函數(shù), 其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常數(shù), 這種級(jí)數(shù)稱(chēng)為冪級(jí)數(shù).
泰勒展開(kāi)式(冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法):
f(x)=f(a)+f’(a)/1!*(x-a)+f’’(a)/2!*(x-a)2+...f(n)(a)/n!*(x-a)n+...
實(shí)用冪級(jí)數(shù)：
ex = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+xn/n!+...
ln(1+x)= x-x^2/2+x^3/3-...(-1)k-1*x^k/k+... (|x|<1)
sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-...(-1)k-1*x^(2k-1)/(2k-1)!+... (-∞
arccos x = π - ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ... ) (|x|<1)
arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 - ... (x≤1)
sinh x = x+x^3/3!+x^5/5!+...(-1)k-1*x^(2k-1)/(2k-1)!+... (-∞
arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ... (|x|<1)