一級(jí)結(jié)構(gòu)師基礎(chǔ)輔導(dǎo)：傅里葉級(jí)數(shù)

傅里葉級(jí)數(shù)
    Fourier series
    一種特殊的三角級(jí)數(shù)。法國(guó)數(shù)學(xué)家J.-B.-J.傅里葉在研究偏微分方程的邊值問(wèn)題時(shí)提出。從而極大地推動(dòng)了偏微分方程理論的發(fā)展。在中國(guó)，程民德最早系統(tǒng)研究多元三角級(jí)數(shù)與多元傅里葉級(jí)數(shù)。他首先證明多元三角級(jí)數(shù)球形和的性定理，并揭示了多元傅里葉級(jí)數(shù)的里斯 - 博赫納球形平均的許多特性。傅里葉級(jí)數(shù)曾極大地推動(dòng)了偏微分方程理論的發(fā)展。在數(shù)學(xué)物理以及工程中都具有重要的應(yīng)用。
    傅里葉級(jí)數(shù)的公式
    給定一個(gè)周期為T的函數(shù)x(t)，那么它可以表示為無(wú)窮級(jí)數(shù)：
    $x(t)=\backslash sum\; \_\{k=-\backslash infty\}^\{+\backslash infty\}a\_k\backslash cdot\; e^\{jk(\backslash frac\{2\backslash pi\}\{T\})t\}$（j為虛數(shù)單位）（1）
    其中，$a\_k$可以按下式計(jì)算：
    $a\_k=\backslash frac\{1\}\{T\}\backslash int\_\{T\}x(t)\backslash cdot\; e^\{-jk(\backslash frac\{2\backslash pi\}\{T\})t\}$（2）
    注意到$f\_k(t)=e^\{jk(\backslash frac\{2\backslash pi\}\{T\})t\}$是周期為T的函數(shù)，故k 取不同值時(shí)的周期信號(hào)具有諧波關(guān)系（即它們都具有一個(gè)共同周期T）。k=0時(shí)，（1）式中對(duì)應(yīng)的這一項(xiàng)稱為直流分量，$k=\backslash pm\; 1$時(shí)具有基波頻率$\backslash omega\_0=\backslash frac\{2\backslash pi\}\{T\}$，稱為一次諧波或基波，類似的有二次諧波，三次諧波等等。
    傅里葉級(jí)數(shù)的收斂性
    傅里葉級(jí)數(shù)的收斂性：滿足狄利赫里條件的周期函數(shù)表示成的傅里葉級(jí)數(shù)都收斂。狄利赫里條件如下：
    在任何周期內(nèi)，x(t)須絕對(duì)可積；
    在任一有限區(qū)間中，x(t)只能取有限個(gè)值或最小值；
    在任何有限區(qū)間上，x(t)只能有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)。
    吉布斯現(xiàn)象：在x(t)的不可導(dǎo)點(diǎn)上，如果我們只取(1)式右邊的無(wú)窮級(jí)數(shù)中的有限項(xiàng)作和X(t)，那么X(t)在這些點(diǎn)上會(huì)有起伏。一個(gè)簡(jiǎn)單的例子是方波信號(hào)。
    三角函數(shù)族的正交性
    所謂的兩個(gè)不同向量正交是指它們的內(nèi)積為0，這也就意味著這兩個(gè)向量之間沒(méi)有任何相關(guān)性,例如，在三維歐氏空間中，互相垂直的向量之間是正交的。事實(shí)上，正交是垂直在數(shù)學(xué)上的的一種抽象化和一般化。一組n個(gè)互相正交的向量必然是線形無(wú)關(guān)的，所以必然可以張成一個(gè)n維空間，也就是說(shuō)，空間中的任何一個(gè)向量可以用它們來(lái)線形表出。三角函數(shù)族的正交性用公式表示出來(lái)就是：
    $\backslash int\; \_\{0\}^\{2\backslash pi\}\backslash sin\; (nx)\backslash cos\; (mx)\; \backslash ,dx=0;$
    $\backslash int\; \_\{0\}^\{2\backslash pi\}\backslash sin\; (mx)\backslash sin\; (mx)\; \backslash ,dx=0;(m\backslash ne\; n)$
    $\backslash int\; \_\{0\}^\{2\backslash pi\}\backslash cos\; (mx)\backslash cos\; (mx)\; \backslash ,dx=0;(m\backslash ne\; n)$
    $\backslash int\; \_\{0\}^\{2\backslash pi\}\backslash sin\; (nx)\backslash sin\; (nx)\; \backslash ,dx=\backslash pi;$
    $\backslash int\; \_\{0\}^\{2\backslash pi\}\backslash cos\; (nx)\backslash cos\; (nx)\; \backslash ,dx=\backslash pi;$
    奇函數(shù)和偶函數(shù)
    奇函數(shù)$f\_o(x)$可以表示為正弦級(jí)數(shù)，而偶函數(shù)$f\_e(x)$則可以表示成余弦級(jí)數(shù)：
    $f\_o(x)\; =\; \backslash sum\; \_\{-\backslash infty\}^\{+\backslash infty\}b\_k\; \backslash sin(kx);$
    $f\_e(x)\; =\; \backslash frac\{a\_0\}\{2\}+\backslash sum\; \_\{-\backslash infty\}^\{+\backslash infty\}a\_k\backslash cos(kx);$ 只要注意到歐拉公式: $e^\{j\backslash theta\}=\; \backslash sin\; \backslash theta+j\backslash cos\; \backslash theta$，這些公式便可以很容易從上面傅里葉級(jí)數(shù)的公式中導(dǎo)出。
    廣義傅里葉級(jí)數(shù)
    任何正交函數(shù)系$\backslash \{\; \backslash phi(x)\backslash \}$，如果定義在[a,b]上的函數(shù)f(x)只具有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，那么如果f(x)滿足封閉性方程：
     (4)，
    那么級(jí)數(shù)$\backslash sum\; \_\{k=1\}^\{\backslash infty\}\; c\_k\backslash phi\; \_k(x)$ (5) 必然收斂于f(x)，其中:
     (6)。
    事實(shí)上，無(wú)論（5）時(shí)是否收斂，我們總有：
    成立，這稱作貝塞爾(Bessel)不等式。此外，式（6）是很容易由正交性推出的，因?yàn)閷?duì)于任意的單位正交基$\backslash \{e\_i\backslash \}^\{N\}\_\{i=1\}$，向量x在$e\_i$上的投影總為 。