華圖教研中心公務(wù)員考試輔導(dǎo)專家 王永恒
捆綁法和插空法是解排列組合問(wèn)題的重要方法，主要用于解決“相鄰問(wèn)題”和“不鄰問(wèn)題”。總的解題方法是遵循“相鄰問(wèn)題捆綁法，不鄰問(wèn)題插空法”的規(guī)則。華圖教研中心公務(wù)員考試輔導(dǎo)專家王永恒老師在多年考試輔導(dǎo)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)學(xué)員經(jīng)常有這樣的困惑，同樣類型的題目，因?yàn)楸磉_(dá)形式有所變化，所以就不會(huì)用已學(xué)過(guò)的方法去解題，進(jìn)而影響了復(fù)習(xí)進(jìn)度和學(xué)習(xí)效率。針對(duì)此，王永恒老師特別選取了一些典型例題，為大家詳細(xì)講解有關(guān)捆綁法和插空法的運(yùn)用。
一、“相鄰問(wèn)題”捆綁法——先捆綁，再排列
“相鄰問(wèn)題”捆綁法，即在解決對(duì)于某幾個(gè)元素要求相鄰的問(wèn)題時(shí)，先將其“捆綁”后整體考慮，也就是將相鄰元素視作“一個(gè)”大元素進(jìn)行排序，然后再考慮大元素內(nèi)部各元素間排列順序的解題策略。
例1． 若有A、B、C、D、E五個(gè)人排隊(duì)，要求A和B兩個(gè)人必須站在相鄰位置，則有多少排隊(duì)方法？
【解析】 題目要求A和B兩個(gè)人必須排在一起，首先將A和B兩個(gè)人“捆綁”，視其為“一個(gè)人”，也即對(duì)“A，B”、C、D、E“四個(gè)人”進(jìn)行排列，有 種排法。又因?yàn)槔壴谝黄鸬腁、B兩人也要排序，有 種排法。根據(jù)分步乘法原理，總的排法有 種。
例2． 有8本不同的書(shū)，其中數(shù)學(xué)書(shū)3本，外語(yǔ)書(shū)2本，其它學(xué)科書(shū)3本。若將這些書(shū)排成一列放在書(shū)架上，讓數(shù)學(xué)書(shū)排在一起，外語(yǔ)書(shū)也恰好排在一起的排法共有多少種？
【解析】 把3本數(shù)學(xué)書(shū)“捆綁”在一起看成一本大書(shū)，2本外語(yǔ)書(shū)也“捆綁”在一起看成一本大書(shū)，與其它3本書(shū)一起看作5個(gè)元素，共有 種排法；又3本數(shù)學(xué)書(shū)有 種排法，2本外語(yǔ)書(shū)有 種排法；根據(jù)分步乘法原理共有排法 種。
【王永恒提示】 運(yùn)用捆綁法解決排列組合問(wèn)題時(shí)，一定要注意“捆綁”起來(lái)的大元素內(nèi)部的順序問(wèn)題。解題過(guò)程是“先捆綁，再排列”。
二、“不鄰問(wèn)題”插空法——先排列，再插空
“不鄰問(wèn)題”插空法，即在解決對(duì)于某幾個(gè)元素要求不相鄰問(wèn)題時(shí)，先將其它元素排好，再將指定的不相鄰的元素插入已排好元素的間隙或兩端位置，從而將問(wèn)題解決的策略。
例3．若有A、B、C、D、E五個(gè)人排隊(duì)，要求A和B兩個(gè)人必須不站在一起，則有多少排隊(duì)方法？
【解析】題目要求A和B兩個(gè)人必須隔開(kāi)。首先將C、D、E三個(gè)人排列，有 種排法；若排成D C E，則D、C、E“中間”和“兩端”共有四個(gè)空位置，也即是： ︺ D ︺ C ︺ E ︺ ，此時(shí)可將A、B兩人插到四個(gè)空位置中的任意兩個(gè)位置，有 種插法。由乘法原理，共有排隊(duì)方法： 。
例4．在一張節(jié)目單中原有6個(gè)節(jié)目，若保持這些節(jié)目相對(duì)順序不變，再添加進(jìn)去3個(gè)節(jié)目，則所有不同的添加方法共有多少種？
【解析】 直接解答較為麻煩，可利用插空法去解題，故可先用一個(gè)節(jié)目去插7個(gè)空位（原來(lái)的6個(gè)節(jié)目排好后，中間和兩端共有7個(gè)空位），有 種方法；再用另一個(gè)節(jié)目去插8個(gè)空位，有 種方法；用后一個(gè)節(jié)目去插9個(gè)空位，有 種方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法為 =504種。
例5．一條馬路上有編號(hào)為1、2、……、9的九盞路燈，為了節(jié)約用電，可以把其中的三盞關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，則所有不同的關(guān)燈方法有多少種？
【解析】 若直接解答須分類討論，情況較復(fù)雜。故可把六盞亮著的燈看作六個(gè)元素，然后用不亮的三盞燈去插7個(gè)空位，共有 種方法（請(qǐng)您想想為什么不是 ），因此所有不同的關(guān)燈方法有 種。
【王永恒提示】 運(yùn)用插空法解決排列組合問(wèn)題時(shí)，一定要注意插空位置包括先排好元素“中間空位”和“兩端空位”。解題過(guò)程是“先排列，再插空”。
下面請(qǐng)大家使用以上方法練習(xí)一道國(guó)考真題：
一張節(jié)目表上原有3個(gè)節(jié)目，如果保持這3個(gè)節(jié)目的相對(duì)順序不變，再添加進(jìn)去2個(gè)新節(jié)目，有多少種安排方法？（國(guó)考2008-57）
A．20 B．12 C．6 D．4
（參考答案為A）
捆綁法和插空法是解排列組合問(wèn)題的重要方法，主要用于解決“相鄰問(wèn)題”和“不鄰問(wèn)題”。總的解題方法是遵循“相鄰問(wèn)題捆綁法，不鄰問(wèn)題插空法”的規(guī)則。華圖教研中心公務(wù)員考試輔導(dǎo)專家王永恒老師在多年考試輔導(dǎo)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)學(xué)員經(jīng)常有這樣的困惑，同樣類型的題目，因?yàn)楸磉_(dá)形式有所變化，所以就不會(huì)用已學(xué)過(guò)的方法去解題，進(jìn)而影響了復(fù)習(xí)進(jìn)度和學(xué)習(xí)效率。針對(duì)此，王永恒老師特別選取了一些典型例題，為大家詳細(xì)講解有關(guān)捆綁法和插空法的運(yùn)用。
一、“相鄰問(wèn)題”捆綁法——先捆綁，再排列
“相鄰問(wèn)題”捆綁法，即在解決對(duì)于某幾個(gè)元素要求相鄰的問(wèn)題時(shí)，先將其“捆綁”后整體考慮，也就是將相鄰元素視作“一個(gè)”大元素進(jìn)行排序，然后再考慮大元素內(nèi)部各元素間排列順序的解題策略。
例1． 若有A、B、C、D、E五個(gè)人排隊(duì)，要求A和B兩個(gè)人必須站在相鄰位置，則有多少排隊(duì)方法？
【解析】 題目要求A和B兩個(gè)人必須排在一起，首先將A和B兩個(gè)人“捆綁”，視其為“一個(gè)人”，也即對(duì)“A，B”、C、D、E“四個(gè)人”進(jìn)行排列，有 種排法。又因?yàn)槔壴谝黄鸬腁、B兩人也要排序，有 種排法。根據(jù)分步乘法原理，總的排法有 種。
例2． 有8本不同的書(shū)，其中數(shù)學(xué)書(shū)3本，外語(yǔ)書(shū)2本，其它學(xué)科書(shū)3本。若將這些書(shū)排成一列放在書(shū)架上，讓數(shù)學(xué)書(shū)排在一起，外語(yǔ)書(shū)也恰好排在一起的排法共有多少種？
【解析】 把3本數(shù)學(xué)書(shū)“捆綁”在一起看成一本大書(shū)，2本外語(yǔ)書(shū)也“捆綁”在一起看成一本大書(shū)，與其它3本書(shū)一起看作5個(gè)元素，共有 種排法；又3本數(shù)學(xué)書(shū)有 種排法，2本外語(yǔ)書(shū)有 種排法；根據(jù)分步乘法原理共有排法 種。
【王永恒提示】 運(yùn)用捆綁法解決排列組合問(wèn)題時(shí)，一定要注意“捆綁”起來(lái)的大元素內(nèi)部的順序問(wèn)題。解題過(guò)程是“先捆綁，再排列”。
二、“不鄰問(wèn)題”插空法——先排列，再插空
“不鄰問(wèn)題”插空法，即在解決對(duì)于某幾個(gè)元素要求不相鄰問(wèn)題時(shí)，先將其它元素排好，再將指定的不相鄰的元素插入已排好元素的間隙或兩端位置，從而將問(wèn)題解決的策略。
例3．若有A、B、C、D、E五個(gè)人排隊(duì)，要求A和B兩個(gè)人必須不站在一起，則有多少排隊(duì)方法？
【解析】題目要求A和B兩個(gè)人必須隔開(kāi)。首先將C、D、E三個(gè)人排列，有 種排法；若排成D C E，則D、C、E“中間”和“兩端”共有四個(gè)空位置，也即是： ︺ D ︺ C ︺ E ︺ ，此時(shí)可將A、B兩人插到四個(gè)空位置中的任意兩個(gè)位置，有 種插法。由乘法原理，共有排隊(duì)方法： 。
例4．在一張節(jié)目單中原有6個(gè)節(jié)目，若保持這些節(jié)目相對(duì)順序不變，再添加進(jìn)去3個(gè)節(jié)目，則所有不同的添加方法共有多少種？
【解析】 直接解答較為麻煩，可利用插空法去解題，故可先用一個(gè)節(jié)目去插7個(gè)空位（原來(lái)的6個(gè)節(jié)目排好后，中間和兩端共有7個(gè)空位），有 種方法；再用另一個(gè)節(jié)目去插8個(gè)空位，有 種方法；用后一個(gè)節(jié)目去插9個(gè)空位，有 種方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法為 =504種。
例5．一條馬路上有編號(hào)為1、2、……、9的九盞路燈，為了節(jié)約用電，可以把其中的三盞關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，則所有不同的關(guān)燈方法有多少種？
【解析】 若直接解答須分類討論，情況較復(fù)雜。故可把六盞亮著的燈看作六個(gè)元素，然后用不亮的三盞燈去插7個(gè)空位，共有 種方法（請(qǐng)您想想為什么不是 ），因此所有不同的關(guān)燈方法有 種。
【王永恒提示】 運(yùn)用插空法解決排列組合問(wèn)題時(shí)，一定要注意插空位置包括先排好元素“中間空位”和“兩端空位”。解題過(guò)程是“先排列，再插空”。
下面請(qǐng)大家使用以上方法練習(xí)一道國(guó)考真題：
一張節(jié)目表上原有3個(gè)節(jié)目，如果保持這3個(gè)節(jié)目的相對(duì)順序不變，再添加進(jìn)去2個(gè)新節(jié)目，有多少種安排方法？（國(guó)考2008-57）
A．20 B．12 C．6 D．4
（參考答案為A）