用一把圓規(guī)和一根直尺(沒有刻度)，經(jīng)有限步驟，把任一個(gè)已知角分為三等分
重慶時(shí)報(bào)訊(記者 蔣林)用沒有刻度的尺子和圓規(guī)作為幾何作圖的工具，作圖步驟要有限次地進(jìn)行，這是一道古希臘延續(xù)了2000多年來一直沒有解開的謎題……昨日，今年已77歲的陳敏道老人宣稱，他用了56年時(shí)間解出了這道被稱為古希臘三大作圖難題之一的題目。
56年來用過幾十種方法
1953年，陳老在合肥一中讀高二時(shí)，教育局為考驗(yàn)重點(diǎn)班的數(shù)學(xué)水平出了一道題：把任一已知角分為三等分?？墒菙?shù)學(xué)教研組的老師和全校數(shù)學(xué)老師都解不出來，當(dāng)時(shí)全校師生聯(lián)名要求現(xiàn)在已故的一名數(shù)學(xué)家解答，這名數(shù)學(xué)家稱這個(gè)題目是世界上有名的難題。陳老從小就喜歡數(shù)學(xué)，立志要把這道題解出來。
陳老在2003年左右曾經(jīng)解出了這道題，并把解法向《數(shù)理天地》雜志社投稿，對方通過論證來函告之解法錯(cuò)誤，之后還寄來此題的說明，那個(gè)時(shí)候陳老才知道此題是古希臘三大作圖難題之一。陳老大學(xué)畢業(yè)后在重慶綦江齒輪廠做工程師。“我經(jīng)常在天快亮的時(shí)段醒過來，那時(shí)人的腦子特別清醒，我就思考題的解法?！标惱险f，他前后使用了漸開線展成法、函數(shù)等數(shù)十種方法，解題資料堆了一尺多高，每次搬家那些資料都是最先帶走的寶貝。
希望本報(bào)幫忙找人驗(yàn)證
“我運(yùn)用的是平面幾何的原理，具有高中數(shù)學(xué)知識的人都能看懂?！标惱险f，他近日找了合肥市中國科技大學(xué)的一名數(shù)學(xué)教授驗(yàn)證，目前結(jié)果還沒有出來，他也希望有數(shù)學(xué)愛好者能夠幫他驗(yàn)證。
已退休在家的上海老人陳福楊幫陳老解題已有5年，“通過電腦上驗(yàn)證，這樣的解法是正確的?！标惛钫f，這道題的解法在實(shí)際生活中未必會運(yùn)用到，但是難題的研究，會促進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展，也有利于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展。
專家：此前有定論稱此題無解
中國人民解放軍電子工程學(xué)院原數(shù)學(xué)系主任解宏杰表示，今年9月看了陳老的初稿，初稿中直接將角三等分，再通過證明三個(gè)三角形全等得出三個(gè)角相等。那種解法還處于試驗(yàn)性質(zhì)，在理論上不能證實(shí)，因此是不準(zhǔn)確的。但是這次將角四等分轉(zhuǎn)化為三等分的做法，由于還沒有看到具體解題步驟，因此還需要進(jìn)一步證實(shí)。
重慶大學(xué)數(shù)理學(xué)院數(shù)學(xué)系李主任稱，他的印象中這道難題已經(jīng)有定論，是不可能解決的，就算解出來了錯(cuò)誤的可能性也非常大。但究竟正確與否，由于沒看到解題步驟，他表示需要進(jìn)一步論證后才能得知。(時(shí)報(bào)通66099999感謝陳先生提供新聞線索)
解題步驟：
一、1.已知任一角∠A1OB1，見圖，以O(shè)為圓心，取OA為半徑作圓弧交OB1于B點(diǎn)。
2.用平面幾何方法將∠A1OB1分成四等分，交AB弧線于C、D、E點(diǎn)，則AC=CD=DE=EB，并令其=a(為求證時(shí)便于運(yùn)算)。
3.過C點(diǎn)作AC延長線CF(=AC)，又過C點(diǎn)作直線CP，并在CP上取適當(dāng)長CL=LM=MK，連接KF。
4.過M、L點(diǎn)作平行KF直線分別交CF線于R、S點(diǎn)，不論CF(=AC)是有理數(shù)或無理數(shù)，都可將CF三等分。
5.以C為圓心，CS(=1/3AC=1/3a)為半徑作圓弧交AB弧于I點(diǎn)。
6.以I為圓心，AI(=a+1/3a)為半徑作圓弧交AB弧于J點(diǎn)，連接JB。
二、證：AI+IJ= 4/3a+4/3a=8/3a
AC+CD+DE+EB=4a
JB=4a-8/3a=4/3a=AI=IJ,連接CO，JO
則△AOI≌△IOJ≌△JOB
三、驗(yàn)證：1.過B點(diǎn)作BN線垂直BO。2.以B為圓心取JB為半徑作圓弧交BN于J1。3.以J1為圓心，IJ為半徑作圓弧BN于I1點(diǎn)。4.以I1為圓心，AI為半徑作圓弧交BN于N1點(diǎn)，由電腦檢證：
AI = I J=JB=62.74
有人認(rèn)為題目“簡單”
3分鐘就能解
記者在網(wǎng)上各大論壇發(fā)現(xiàn)不少網(wǎng)友認(rèn)為三大難題過于“簡單”，3分鐘就能解出來，還有人提出了解決三大難題的方法。
解法一：將此已知的任意角取兩邊相等，再連接第三邊組成等邊三角形，將第三邊三等分后，把等分點(diǎn)與頂點(diǎn)連接便得到三個(gè)相等的角。
網(wǎng)友點(diǎn)評：原題要求用沒有刻度的尺子，因此不能量出邊的長度，違背了題目假設(shè)條件，因此是錯(cuò)誤的。
解法二：任意作一個(gè)角,以端點(diǎn)為圓心,任意長為半徑，作一個(gè)扇形。接著，將此扇形剪下來，拼一個(gè)圓錐。將圓錐立在紙上，描出底圓，找出它的圓心。以圓的半徑為長，在圓上描出六個(gè)六等分點(diǎn)，取其中的相隔三個(gè)。將圓錐粘在一起的地方立在其中一個(gè)上，描出另兩個(gè)，然后把圓錐還原成扇形紙，則這兩點(diǎn)是扇形(也就是圓弧)的三等分點(diǎn)。
網(wǎng)友點(diǎn)評：不通過計(jì)算的情況下，如何找出圓上的六個(gè)六等分點(diǎn)？而且還用了剪刀等其他工具。
相關(guān)鏈接》
世界數(shù)學(xué)難題
“哥德巴赫猜想”
公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)寫信給當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家歐拉(Euler)，提出了以下的猜想:
(a) 任何一個(gè)>=6之偶數(shù)，都可以表示成兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。
(b) 任何一個(gè)>=9之奇數(shù)，都可以表示成三個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。
目前結(jié)果是中國數(shù)學(xué)家陳景潤于1966年證明的，稱為陳氏定理(Chens Theorem) 。
“四色猜想”
1852年，畢業(yè)于倫敦大學(xué)的弗南西斯·格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家著上不同的顏色?！?872年，英國當(dāng)時(shí)最的數(shù)學(xué)家凱利正式向倫敦?cái)?shù)學(xué)學(xué)會提出了這個(gè)問題。
1976年，美國數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學(xué)的兩臺不同的電子計(jì)算機(jī)上，終于完成了四色定理的證明。
“費(fèi)馬最后定理”
在360多年前的某一天，費(fèi)馬突然在書頁的空白處，寫下一個(gè)看起來很簡單的定理，這個(gè)定理的內(nèi)容是有關(guān)一個(gè)方程式xn +yn = zn的正整數(shù)解的問題，當(dāng)n=2時(shí)就是我們所熟知的畢氏定理(中國古代又稱勾股弦定理)。
費(fèi)馬聲稱當(dāng)n>2時(shí)，就找不到滿足
xn +yn = zn的整數(shù)解，例如：方程式x3 +y3 = z3就無法找到整數(shù)解。
這個(gè)數(shù)學(xué)難題由英國數(shù)學(xué)家威利斯(Andrew Wiles)所解決。
“幾何尺規(guī)作圖問題”
是指作圖限制只能用直尺、圓規(guī)，而這里的直尺是指沒有刻度只能畫直線的尺?！皫缀纬咭?guī)作圖問題”包括以下四個(gè)問題
1.化圓為方——求作一正方形使其面積等于一已知圓；
2.三等分任意角；
3.倍立方——求作一立方體使其體積是一已知立方體的二倍。
4.做正十七邊形。
以上四個(gè)問題一直困擾數(shù)學(xué)家2000多年，第四個(gè)問題是高斯用代數(shù)的方法解決的。
“蜂窩猜想”
4世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家佩波斯提出。他猜想人們所見到的、截面呈六邊形的蜂窩，是蜜蜂采用最少量的蜂蠟建造成的。他的這一猜想稱為蜂窩猜想。1943年，匈牙利數(shù)學(xué)家陶斯巧妙地證明，在所有首尾相連的正多邊形中，正多邊形的周長是最小的。但如果多邊形的邊是曲線呢？陶斯認(rèn)為，正六邊形與其他任何形狀的圖形相比，它的周長最小，但他不能證明這一點(diǎn)。這一猜想由美密執(zhí)安大學(xué)數(shù)學(xué)家黑爾證明出來。
重慶時(shí)報(bào)訊(記者 蔣林)用沒有刻度的尺子和圓規(guī)作為幾何作圖的工具，作圖步驟要有限次地進(jìn)行，這是一道古希臘延續(xù)了2000多年來一直沒有解開的謎題……昨日，今年已77歲的陳敏道老人宣稱，他用了56年時(shí)間解出了這道被稱為古希臘三大作圖難題之一的題目。
56年來用過幾十種方法
1953年，陳老在合肥一中讀高二時(shí)，教育局為考驗(yàn)重點(diǎn)班的數(shù)學(xué)水平出了一道題：把任一已知角分為三等分?？墒菙?shù)學(xué)教研組的老師和全校數(shù)學(xué)老師都解不出來，當(dāng)時(shí)全校師生聯(lián)名要求現(xiàn)在已故的一名數(shù)學(xué)家解答，這名數(shù)學(xué)家稱這個(gè)題目是世界上有名的難題。陳老從小就喜歡數(shù)學(xué)，立志要把這道題解出來。
陳老在2003年左右曾經(jīng)解出了這道題，并把解法向《數(shù)理天地》雜志社投稿，對方通過論證來函告之解法錯(cuò)誤，之后還寄來此題的說明，那個(gè)時(shí)候陳老才知道此題是古希臘三大作圖難題之一。陳老大學(xué)畢業(yè)后在重慶綦江齒輪廠做工程師。“我經(jīng)常在天快亮的時(shí)段醒過來，那時(shí)人的腦子特別清醒，我就思考題的解法?！标惱险f，他前后使用了漸開線展成法、函數(shù)等數(shù)十種方法，解題資料堆了一尺多高，每次搬家那些資料都是最先帶走的寶貝。
希望本報(bào)幫忙找人驗(yàn)證
“我運(yùn)用的是平面幾何的原理，具有高中數(shù)學(xué)知識的人都能看懂?！标惱险f，他近日找了合肥市中國科技大學(xué)的一名數(shù)學(xué)教授驗(yàn)證，目前結(jié)果還沒有出來，他也希望有數(shù)學(xué)愛好者能夠幫他驗(yàn)證。
已退休在家的上海老人陳福楊幫陳老解題已有5年，“通過電腦上驗(yàn)證，這樣的解法是正確的?！标惛钫f，這道題的解法在實(shí)際生活中未必會運(yùn)用到，但是難題的研究，會促進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展，也有利于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展。
專家：此前有定論稱此題無解
中國人民解放軍電子工程學(xué)院原數(shù)學(xué)系主任解宏杰表示，今年9月看了陳老的初稿，初稿中直接將角三等分，再通過證明三個(gè)三角形全等得出三個(gè)角相等。那種解法還處于試驗(yàn)性質(zhì)，在理論上不能證實(shí)，因此是不準(zhǔn)確的。但是這次將角四等分轉(zhuǎn)化為三等分的做法，由于還沒有看到具體解題步驟，因此還需要進(jìn)一步證實(shí)。
重慶大學(xué)數(shù)理學(xué)院數(shù)學(xué)系李主任稱，他的印象中這道難題已經(jīng)有定論，是不可能解決的，就算解出來了錯(cuò)誤的可能性也非常大。但究竟正確與否，由于沒看到解題步驟，他表示需要進(jìn)一步論證后才能得知。(時(shí)報(bào)通66099999感謝陳先生提供新聞線索)
解題步驟：
一、1.已知任一角∠A1OB1，見圖，以O(shè)為圓心，取OA為半徑作圓弧交OB1于B點(diǎn)。
2.用平面幾何方法將∠A1OB1分成四等分，交AB弧線于C、D、E點(diǎn)，則AC=CD=DE=EB，并令其=a(為求證時(shí)便于運(yùn)算)。
3.過C點(diǎn)作AC延長線CF(=AC)，又過C點(diǎn)作直線CP，并在CP上取適當(dāng)長CL=LM=MK，連接KF。
4.過M、L點(diǎn)作平行KF直線分別交CF線于R、S點(diǎn)，不論CF(=AC)是有理數(shù)或無理數(shù)，都可將CF三等分。
5.以C為圓心，CS(=1/3AC=1/3a)為半徑作圓弧交AB弧于I點(diǎn)。
6.以I為圓心，AI(=a+1/3a)為半徑作圓弧交AB弧于J點(diǎn)，連接JB。
二、證：AI+IJ= 4/3a+4/3a=8/3a
AC+CD+DE+EB=4a
JB=4a-8/3a=4/3a=AI=IJ,連接CO，JO
則△AOI≌△IOJ≌△JOB
三、驗(yàn)證：1.過B點(diǎn)作BN線垂直BO。2.以B為圓心取JB為半徑作圓弧交BN于J1。3.以J1為圓心，IJ為半徑作圓弧BN于I1點(diǎn)。4.以I1為圓心，AI為半徑作圓弧交BN于N1點(diǎn)，由電腦檢證：
AI = I J=JB=62.74
有人認(rèn)為題目“簡單”
3分鐘就能解
記者在網(wǎng)上各大論壇發(fā)現(xiàn)不少網(wǎng)友認(rèn)為三大難題過于“簡單”，3分鐘就能解出來，還有人提出了解決三大難題的方法。
解法一：將此已知的任意角取兩邊相等，再連接第三邊組成等邊三角形，將第三邊三等分后，把等分點(diǎn)與頂點(diǎn)連接便得到三個(gè)相等的角。
網(wǎng)友點(diǎn)評：原題要求用沒有刻度的尺子，因此不能量出邊的長度，違背了題目假設(shè)條件，因此是錯(cuò)誤的。
解法二：任意作一個(gè)角,以端點(diǎn)為圓心,任意長為半徑，作一個(gè)扇形。接著，將此扇形剪下來，拼一個(gè)圓錐。將圓錐立在紙上，描出底圓，找出它的圓心。以圓的半徑為長，在圓上描出六個(gè)六等分點(diǎn)，取其中的相隔三個(gè)。將圓錐粘在一起的地方立在其中一個(gè)上，描出另兩個(gè)，然后把圓錐還原成扇形紙，則這兩點(diǎn)是扇形(也就是圓弧)的三等分點(diǎn)。
網(wǎng)友點(diǎn)評：不通過計(jì)算的情況下，如何找出圓上的六個(gè)六等分點(diǎn)？而且還用了剪刀等其他工具。
相關(guān)鏈接》
世界數(shù)學(xué)難題
“哥德巴赫猜想”
公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)寫信給當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家歐拉(Euler)，提出了以下的猜想:
(a) 任何一個(gè)>=6之偶數(shù)，都可以表示成兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。
(b) 任何一個(gè)>=9之奇數(shù)，都可以表示成三個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。
目前結(jié)果是中國數(shù)學(xué)家陳景潤于1966年證明的，稱為陳氏定理(Chens Theorem) 。
“四色猜想”
1852年，畢業(yè)于倫敦大學(xué)的弗南西斯·格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家著上不同的顏色?！?872年，英國當(dāng)時(shí)最的數(shù)學(xué)家凱利正式向倫敦?cái)?shù)學(xué)學(xué)會提出了這個(gè)問題。
1976年，美國數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學(xué)的兩臺不同的電子計(jì)算機(jī)上，終于完成了四色定理的證明。
“費(fèi)馬最后定理”
在360多年前的某一天，費(fèi)馬突然在書頁的空白處，寫下一個(gè)看起來很簡單的定理，這個(gè)定理的內(nèi)容是有關(guān)一個(gè)方程式xn +yn = zn的正整數(shù)解的問題，當(dāng)n=2時(shí)就是我們所熟知的畢氏定理(中國古代又稱勾股弦定理)。
費(fèi)馬聲稱當(dāng)n>2時(shí)，就找不到滿足
xn +yn = zn的整數(shù)解，例如：方程式x3 +y3 = z3就無法找到整數(shù)解。
這個(gè)數(shù)學(xué)難題由英國數(shù)學(xué)家威利斯(Andrew Wiles)所解決。
“幾何尺規(guī)作圖問題”
是指作圖限制只能用直尺、圓規(guī)，而這里的直尺是指沒有刻度只能畫直線的尺?！皫缀纬咭?guī)作圖問題”包括以下四個(gè)問題
1.化圓為方——求作一正方形使其面積等于一已知圓；
2.三等分任意角；
3.倍立方——求作一立方體使其體積是一已知立方體的二倍。
4.做正十七邊形。
以上四個(gè)問題一直困擾數(shù)學(xué)家2000多年，第四個(gè)問題是高斯用代數(shù)的方法解決的。
“蜂窩猜想”
4世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家佩波斯提出。他猜想人們所見到的、截面呈六邊形的蜂窩，是蜜蜂采用最少量的蜂蠟建造成的。他的這一猜想稱為蜂窩猜想。1943年，匈牙利數(shù)學(xué)家陶斯巧妙地證明，在所有首尾相連的正多邊形中，正多邊形的周長是最小的。但如果多邊形的邊是曲線呢？陶斯認(rèn)為，正六邊形與其他任何形狀的圖形相比，它的周長最小，但他不能證明這一點(diǎn)。這一猜想由美密執(zhí)安大學(xué)數(shù)學(xué)家黑爾證明出來。