一、重點(diǎn)
1、理解：矩陣的定義、性質(zhì)，幾種特殊的矩陣（零矩陣，上（下）三角矩陣，對稱矩陣，對角矩陣，逆矩陣，正交矩陣，伴隨矩陣，分塊矩陣）
2、掌握：
1）矩陣的各種運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)律
2）矩陣可逆的判定及求逆矩陣的各種方法
3）矩陣的初等變換方法
二、難點(diǎn)
1、矩陣的求逆矩陣的初等變換
2、初等變換與初等矩陣的關(guān)系
三、重要公式及難點(diǎn)解析
1、線性運(yùn)算
1）交換律一般不成立，即AB≠BA
2）一些代數(shù)恒等式不能直接套用，如設(shè)A，B，C均為n階矩陣
（A+B）2=A2+AB+BA+B2≠A2+2AB+B2
（AB）2=（AB）（AB）≠A2B2
（AB）k≠AkBk
（A+B）（A-B）≠A2-B2
以上各式當(dāng)且僅當(dāng)A與B可交換，即AB=BA時(shí)才成立。
3）由AB=0不能得出A=0或B=0
4）由AB=AC不能得出B=C
5）由A2=A不能得出A=I或A=0
6）由A2=0不能得出A=0
7）數(shù)乘矩陣與數(shù)乘行列式的區(qū)別
2、逆矩陣
1）（A–1）–1＝A
2）（kA） –1=（1/k）A–1，（k≠0）
3）（AB）–1=B–1A–1
4）（A–1）T=（AT）–1
5）│A–1│=│A│–1
3、矩陣轉(zhuǎn)置
1）（AT）T＝A
2）（kA） T=kAT，（k為任意實(shí)數(shù)）
3）（AB）T=BTAT
4）（A+B）T=AT+BT
4、伴隨矩陣
1）A*A＝A A*=│A│I （AB）*=B*A*
2）（A*）*=│A│n-2 │A*│=│A│n-1 ，（n≥2）
3）（kA）*=kn-1A* （A*）T=（AT）*
4）若r（A）=n，則r （A*）=n
若r（A）=n-1，則r （A*）=1
若r（A） 5）若A可逆，則（A*）-1=（1/│A│）A，（A*）-1＝（A-1）*，A*＝│A│A-1
5、初等變換（三種）
1）對調(diào)二行（列）
2）用k（k≠0）乘以某行（列）中所有元素
3）把某行（列）的元素的k倍加至另一行（列）的對應(yīng)元素
注意：用初等變換①求秩，行、列變換可混用
②求逆陣，只能用行或列變換
③求線性方程組的解，只能用行變換
6、初等矩陣
1）由單位陣經(jīng)過一次初等變換所得的矩陣
2）初等陣P左（右）乘A，所得PA（AP）就是A作了一次與P同樣的行（列）變換
3）初等陣均可逆，且其逆為同類型的初等陣
E-1ij=Eij，E（-1）i（k）=Ei（1/k），E（-1）ij（k）=Eij（-k）
7、矩陣方程
1）含有未知矩陣的等式
2）矩陣方程有解的充要條件
AX=B有解<==>B的每列可由A的列向量線性表示
<==>r（A）=r（A┆B）
四、題型及解題思路
1、有關(guān)矩陣的概念及性質(zhì)的命題
2、矩陣的運(yùn)算（加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置）
3、矩陣可逆的判定
n階方陣A可逆<==>存在n階方陣B，有AB=BA=I
<==>│A│≠0
<==>r（A）=n
<==>A的列（行）向量組線性無關(guān)
<==>Ax=0只有零解
<==>任意b，使得Ax=b總有解
<==>A的特征值全不為零
4、矩陣求逆
1）定義法：找出B使AB=I或BA=I
2）伴隨陣法：A-1=（1/│A│）A*
注意：用該方法求逆時(shí)，行的代數(shù)余子式應(yīng)豎著寫在A*中，計(jì)算Aij時(shí)不要遺漏（-1）i+j，當(dāng)n>3時(shí)，通常用初等變換法。
3）初等變換法：對（A┆I）只用行變換化為（I┆A-1）
4）分塊矩陣法
5、解矩陣方程AX=B
1）若A可逆，則X=A-1B，可先求出A-1，再作乘法A-1B求出X
2）若A可逆，可用初等變換法直接求出X
（A┆B）初等行變換（I┆X）
3）若A不可逆，則可設(shè)未知數(shù)列方程用高斯消元法化為階梯型方程組，然后對每列常數(shù)項(xiàng)分別求解。
1、理解：矩陣的定義、性質(zhì)，幾種特殊的矩陣（零矩陣，上（下）三角矩陣，對稱矩陣，對角矩陣，逆矩陣，正交矩陣，伴隨矩陣，分塊矩陣）
2、掌握：
1）矩陣的各種運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)律
2）矩陣可逆的判定及求逆矩陣的各種方法
3）矩陣的初等變換方法
二、難點(diǎn)
1、矩陣的求逆矩陣的初等變換
2、初等變換與初等矩陣的關(guān)系
三、重要公式及難點(diǎn)解析
1、線性運(yùn)算
1）交換律一般不成立，即AB≠BA
2）一些代數(shù)恒等式不能直接套用，如設(shè)A，B，C均為n階矩陣
（A+B）2=A2+AB+BA+B2≠A2+2AB+B2
（AB）2=（AB）（AB）≠A2B2
（AB）k≠AkBk
（A+B）（A-B）≠A2-B2
以上各式當(dāng)且僅當(dāng)A與B可交換，即AB=BA時(shí)才成立。
3）由AB=0不能得出A=0或B=0
4）由AB=AC不能得出B=C
5）由A2=A不能得出A=I或A=0
6）由A2=0不能得出A=0
7）數(shù)乘矩陣與數(shù)乘行列式的區(qū)別
2、逆矩陣
1）（A–1）–1＝A
2）（kA） –1=（1/k）A–1，（k≠0）
3）（AB）–1=B–1A–1
4）（A–1）T=（AT）–1
5）│A–1│=│A│–1
3、矩陣轉(zhuǎn)置
1）（AT）T＝A
2）（kA） T=kAT，（k為任意實(shí)數(shù)）
3）（AB）T=BTAT
4）（A+B）T=AT+BT
4、伴隨矩陣
1）A*A＝A A*=│A│I （AB）*=B*A*
2）（A*）*=│A│n-2 │A*│=│A│n-1 ，（n≥2）
3）（kA）*=kn-1A* （A*）T=（AT）*
4）若r（A）=n，則r （A*）=n
若r（A）=n-1，則r （A*）=1
若r（A）
5、初等變換（三種）
1）對調(diào)二行（列）
2）用k（k≠0）乘以某行（列）中所有元素
3）把某行（列）的元素的k倍加至另一行（列）的對應(yīng)元素
注意：用初等變換①求秩，行、列變換可混用
②求逆陣，只能用行或列變換
③求線性方程組的解，只能用行變換
6、初等矩陣
1）由單位陣經(jīng)過一次初等變換所得的矩陣
2）初等陣P左（右）乘A，所得PA（AP）就是A作了一次與P同樣的行（列）變換
3）初等陣均可逆，且其逆為同類型的初等陣
E-1ij=Eij，E（-1）i（k）=Ei（1/k），E（-1）ij（k）=Eij（-k）
7、矩陣方程
1）含有未知矩陣的等式
2）矩陣方程有解的充要條件
AX=B有解<==>B的每列可由A的列向量線性表示
<==>r（A）=r（A┆B）
四、題型及解題思路
1、有關(guān)矩陣的概念及性質(zhì)的命題
2、矩陣的運(yùn)算（加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置）
3、矩陣可逆的判定
n階方陣A可逆<==>存在n階方陣B，有AB=BA=I
<==>│A│≠0
<==>r（A）=n
<==>A的列（行）向量組線性無關(guān)
<==>Ax=0只有零解
<==>任意b，使得Ax=b總有解
<==>A的特征值全不為零
4、矩陣求逆
1）定義法：找出B使AB=I或BA=I
2）伴隨陣法：A-1=（1/│A│）A*
注意：用該方法求逆時(shí)，行的代數(shù)余子式應(yīng)豎著寫在A*中，計(jì)算Aij時(shí)不要遺漏（-1）i+j，當(dāng)n>3時(shí)，通常用初等變換法。
3）初等變換法：對（A┆I）只用行變換化為（I┆A-1）
4）分塊矩陣法
5、解矩陣方程AX=B
1）若A可逆，則X=A-1B，可先求出A-1，再作乘法A-1B求出X
2）若A可逆，可用初等變換法直接求出X
（A┆B）初等行變換（I┆X）
3）若A不可逆，則可設(shè)未知數(shù)列方程用高斯消元法化為階梯型方程組，然后對每列常數(shù)項(xiàng)分別求解。