一、重點
1、理解：向量、向量運算以及向量的線性組合與線性表出，極大線性無關組的概念，線性相關與線性無關的概念，向量組的秩的概念，矩陣的秩的概念及性質，基礎解系的概念。
2、掌握：向量的運算及運算規(guī)律，矩陣秩的計算，齊次、非齊次線性方程組解的結構。
3、運用：線性相關、線性無關的判定，線性方程組解的判斷，齊次、非齊次線性方程組的解法。
二、難點
線性相關、線性無關的判定。向量組的秩與矩陣的秩的關系。方程組與向量組線性表示及秩之間的聯(lián)系。
三、重點難點解析
1、 n維向量的概念與運算
1） 概念
2） 運算
若α＝（a1，a2，…，an）T，β＝（b1，b2，…，bn）T
①加法：α＋β＝（a1+b1 ，a2+b2 ，…，an+bn）T
②數(shù)乘：kα＝（ka1，ka2，…，kan）T
③內(nèi)積：（α。β）＝a1b1+a2b2+，…，+anbn＝αTβ＝βTα
2、線性組合與線性表出
3、線性相關與線性無關
1）概念
2）線性相關與線性無關的充要條件
①線性相關
α1，α2，…，αs線性相關
<==>齊次方程組（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T＝0有非零解
<==>向量組的秩r（α1，α2，…，αs）＜s （向量的個數(shù)）
<==>存在某αi（i=1，2，…，s）可由其余s-1個向量線性表出
特別的：n個n維向量線性相關<==>│α1α2…αn│＝0
n+1個n維向量一定線性相關
②線性無關
α1，α2，…，αs線性無關
<==>齊次方程組（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T＝0只有零解
<==>向量組的秩r（α1，α2，…，αs）＝s （向量的個數(shù)）
<==>每一個向量αi（i=1，2，…，s）都不能用其余s-1個向量線性表出
③重要結論
A、階梯形向量組一定線性無關
B、若α1，α2，…，αs線性無關，則它的任一個部分組αi1，αi2，…，αi t必線性無關，它的任一延伸組必線性無關。
C、兩兩正交，非零的向量組必線性無關。
4、向量組的秩與矩陣的秩
1）極大線性無關組的概念
2）向量組的秩
3）矩陣的秩
①r（A）＝r（AT）
②r（A+B）≤r（A）＋r（B）
③r（kA）＝r（A），k≠0
④r（AB）≤min（r（A），r（B））
⑤如A可逆，則r（AB）＝r（B）；如B可逆，則r（AB）＝r（A）
⑥A是m×n陣，B是n×p陣，如AB＝0，則r（A）＋r（B）≤n
4）向量組的秩與矩陣的秩的關系
①r（A）＝A的行秩（矩陣A的行向量組的秩）＝A的列秩（矩陣A的列向量組的秩）
②經(jīng)初等變換矩陣、向量組的秩均不變
③若向量組（Ⅰ）可由（Ⅱ）線性表出，則r（Ⅰ）≤r（Ⅱ）。特別的，等價的向量組有相同的秩，但秩相同的向量組不一定等價。
5、基礎解系的概念及求法
1）概念
2）求法
對A作初等行變換化為階梯形矩陣，稱每個非零行中第一個非零系數(shù)所代表的未知數(shù)是主元（共有r（A）個主元），那么剩于的其他未知數(shù)就是自由變量（共有n- r（A）個），對自由變量按階梯形賦值后，再帶入求解就可得基礎解系。
6、齊次方程組有非零解的判定
1）設A是m×n矩陣，Ax＝0有非零解的充要條件是r（A）＜n，亦即A的列向量線性相關。
2）若A為n階矩陣，Ax＝0有非零解的充要條件是│A│＝0
3）Ax＝0有非零解的充分條件是m＜n，即方程個數(shù)＜未知數(shù)個數(shù)
7、非齊次線性方程組有解的判定
1）設A是m×n矩陣，Ax＝b有解的充要條件是系數(shù)矩陣A的秩等于增廣矩陣（A增）的秩，即r（A）＝r（A增）
2）設A是m×n矩陣，方程組Ax＝b
①有解<==> r（A）＝r（A增）＝n
②有無窮多解<==> r（A）＝r（A增） ③無解<==> r（A）+1=r（A增）
8、非齊次線性方程組解的結構
如n元線性方程組Ax＝b有解，設，η2，…，ηt是相應齊次方程組Ax＝0的基礎解系，ξ是Ax＝b的一個解，則k1η1+k2η2+…+ktηt+ξ是Ax＝b的通解。
1）若ξ1，ξ2是Ax＝b的解，則ξ1-ξ2是Ax＝0的解
2）若ξ是Ax＝b的解，η是Ax＝0的解，則ξ+kη仍是Ax＝b的解
3）若Ax＝b有解，則Ax＝0只有零解；反之，當Ax＝0只有零解時，Ax＝b沒有無窮多解（可能無解，也可能只有解）
四、題型及解題思路
1、有關n維向量概念與性質的命題
2、向量的加法與數(shù)乘運算
3、線性相關與線性無關的證明
1）定義法
設k1α1+k2α2+…+ksαs＝0，然后對上式做恒等變形（要向已知條件靠攏?。?BR> ①由B＝C可得AB＝AC，因此，可按已知條件的信息對上式乘上某個A
②展開整理上式，直接用已知條件轉化為齊次線性方程組，最后通過分析論證k1，k2，…，ks的取值，得出所需結論。
2）用秩（等于向量個數(shù)）
3）齊次方程組只有零解
4）反證法
4、求給定向量組的秩和極大線性無關組
多用初等變換法，將向量組化為矩陣，通過初等變換來求解。
5、求矩陣的秩
常用初等變換法。
6、求解齊次線性方程組與非齊次線性方程組
1、理解：向量、向量運算以及向量的線性組合與線性表出，極大線性無關組的概念，線性相關與線性無關的概念，向量組的秩的概念，矩陣的秩的概念及性質，基礎解系的概念。
2、掌握：向量的運算及運算規(guī)律，矩陣秩的計算，齊次、非齊次線性方程組解的結構。
3、運用：線性相關、線性無關的判定，線性方程組解的判斷，齊次、非齊次線性方程組的解法。
二、難點
線性相關、線性無關的判定。向量組的秩與矩陣的秩的關系。方程組與向量組線性表示及秩之間的聯(lián)系。
三、重點難點解析
1、 n維向量的概念與運算
1） 概念
2） 運算
若α＝（a1，a2，…，an）T，β＝（b1，b2，…，bn）T
①加法：α＋β＝（a1+b1 ，a2+b2 ，…，an+bn）T
②數(shù)乘：kα＝（ka1，ka2，…，kan）T
③內(nèi)積：（α。β）＝a1b1+a2b2+，…，+anbn＝αTβ＝βTα
2、線性組合與線性表出
3、線性相關與線性無關
1）概念
2）線性相關與線性無關的充要條件
①線性相關
α1，α2，…，αs線性相關
<==>齊次方程組（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T＝0有非零解
<==>向量組的秩r（α1，α2，…，αs）＜s （向量的個數(shù)）
<==>存在某αi（i=1，2，…，s）可由其余s-1個向量線性表出
特別的：n個n維向量線性相關<==>│α1α2…αn│＝0
n+1個n維向量一定線性相關
②線性無關
α1，α2，…，αs線性無關
<==>齊次方程組（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T＝0只有零解
<==>向量組的秩r（α1，α2，…，αs）＝s （向量的個數(shù)）
<==>每一個向量αi（i=1，2，…，s）都不能用其余s-1個向量線性表出
③重要結論
A、階梯形向量組一定線性無關
B、若α1，α2，…，αs線性無關，則它的任一個部分組αi1，αi2，…，αi t必線性無關，它的任一延伸組必線性無關。
C、兩兩正交，非零的向量組必線性無關。
4、向量組的秩與矩陣的秩
1）極大線性無關組的概念
2）向量組的秩
3）矩陣的秩
①r（A）＝r（AT）
②r（A+B）≤r（A）＋r（B）
③r（kA）＝r（A），k≠0
④r（AB）≤min（r（A），r（B））
⑤如A可逆，則r（AB）＝r（B）；如B可逆，則r（AB）＝r（A）
⑥A是m×n陣，B是n×p陣，如AB＝0，則r（A）＋r（B）≤n
4）向量組的秩與矩陣的秩的關系
①r（A）＝A的行秩（矩陣A的行向量組的秩）＝A的列秩（矩陣A的列向量組的秩）
②經(jīng)初等變換矩陣、向量組的秩均不變
③若向量組（Ⅰ）可由（Ⅱ）線性表出，則r（Ⅰ）≤r（Ⅱ）。特別的，等價的向量組有相同的秩，但秩相同的向量組不一定等價。
5、基礎解系的概念及求法
1）概念
2）求法
對A作初等行變換化為階梯形矩陣，稱每個非零行中第一個非零系數(shù)所代表的未知數(shù)是主元（共有r（A）個主元），那么剩于的其他未知數(shù)就是自由變量（共有n- r（A）個），對自由變量按階梯形賦值后，再帶入求解就可得基礎解系。
6、齊次方程組有非零解的判定
1）設A是m×n矩陣，Ax＝0有非零解的充要條件是r（A）＜n，亦即A的列向量線性相關。
2）若A為n階矩陣，Ax＝0有非零解的充要條件是│A│＝0
3）Ax＝0有非零解的充分條件是m＜n，即方程個數(shù)＜未知數(shù)個數(shù)
7、非齊次線性方程組有解的判定
1）設A是m×n矩陣，Ax＝b有解的充要條件是系數(shù)矩陣A的秩等于增廣矩陣（A增）的秩，即r（A）＝r（A增）
2）設A是m×n矩陣，方程組Ax＝b
①有解<==> r（A）＝r（A增）＝n
②有無窮多解<==> r（A）＝r（A增）
8、非齊次線性方程組解的結構
如n元線性方程組Ax＝b有解，設，η2，…，ηt是相應齊次方程組Ax＝0的基礎解系，ξ是Ax＝b的一個解，則k1η1+k2η2+…+ktηt+ξ是Ax＝b的通解。
1）若ξ1，ξ2是Ax＝b的解，則ξ1-ξ2是Ax＝0的解
2）若ξ是Ax＝b的解，η是Ax＝0的解，則ξ+kη仍是Ax＝b的解
3）若Ax＝b有解，則Ax＝0只有零解；反之，當Ax＝0只有零解時，Ax＝b沒有無窮多解（可能無解，也可能只有解）
四、題型及解題思路
1、有關n維向量概念與性質的命題
2、向量的加法與數(shù)乘運算
3、線性相關與線性無關的證明
1）定義法
設k1α1+k2α2+…+ksαs＝0，然后對上式做恒等變形（要向已知條件靠攏?。?BR> ①由B＝C可得AB＝AC，因此，可按已知條件的信息對上式乘上某個A
②展開整理上式，直接用已知條件轉化為齊次線性方程組，最后通過分析論證k1，k2，…，ks的取值，得出所需結論。
2）用秩（等于向量個數(shù)）
3）齊次方程組只有零解
4）反證法
4、求給定向量組的秩和極大線性無關組
多用初等變換法，將向量組化為矩陣，通過初等變換來求解。
5、求矩陣的秩
常用初等變換法。
6、求解齊次線性方程組與非齊次線性方程組