隨機(jī)變量及其分布
1 隨機(jī)變量
表示隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果的變量稱為隨機(jī)變量。常用大寫字母X, Y, Z等表示隨機(jī)變量，它們的取值用小寫字母 等表示。
常見的有兩種隨機(jī)變量。
離散型隨機(jī)變量：僅取數(shù)軸上的有限個(gè)點(diǎn)或可列個(gè)點(diǎn)。比如，一批產(chǎn)品中的次品數(shù)X是離散型隨機(jī)變量，它的可能取值是0，1，2，……
連續(xù)型隨機(jī)變量：可能取值充滿數(shù)軸上的一個(gè)區(qū)間。一臺(tái)電視機(jī)的壽命 (單位：小時(shí))是連續(xù)型隨機(jī)變量，在 上取值。“ ”表示事件“壽命不超過10000小時(shí)?！?BR> 2 隨機(jī)變量的分布
(1) 離散型隨機(jī)變量的分布
離散型隨機(jī)變量的分布可用分布烈表示。假設(shè)離散型隨機(jī)變量 可能取的值為 。取這些值的概率為， 。這些可以用一個(gè)表清楚地表示出來
… …
概率 … …
作為一個(gè)分布， 滿足一下條件： ， 。這樣的分布稱作離散分布， 稱作分布的概率函數(shù)。
例 3 設(shè)袋中裝有6個(gè)球，編號(hào)為{-1，2，2，2，3，3}，從袋中任取一球，求取到的球的號(hào) 的分布律。
解 因?yàn)?可取的值為-1，2，3，而且 ， ， ，所以 的概率分布為
-123
例 4 某廠生產(chǎn)的三極管，每100支裝一盒，記X為一盒中不合格品數(shù)，廠方多次抽查，根據(jù)近千次的抽查紀(jì)錄，從未發(fā)現(xiàn)一盒中有6支或6支以上的不合格三極管，用統(tǒng)計(jì)方法整理歷史數(shù)據(jù)可得如下分布：
0 1 2 3 4 5
0.284 0.2000 0.0900 0.080 0.004
從表中可以看出，最可能發(fā)生的不合格品數(shù)在0到2之間，它的概率為：
而超過3個(gè)不合格品的概率很小：
3 連續(xù)型隨機(jī)變量的分布
連續(xù)型隨機(jī)變量 的分布用概率密度函數(shù) 表示。下面以產(chǎn)品的某個(gè)質(zhì)量特性值 來說明 的由來。
假如我們一個(gè)接一個(gè)地測(cè)量產(chǎn)品的質(zhì)量特性 ，把測(cè)量得來的x值一個(gè)接一個(gè)地描在數(shù)軸上，當(dāng)累積到很多x時(shí)，就形成了一個(gè)圖形，把縱軸改為單位長度上的頻率，由于頻率的穩(wěn)定性，隨著被測(cè)質(zhì)量特性x的增多，圖形就越穩(wěn)定，其外形顯現(xiàn)出一條曲線，這條曲線就是概率密度曲線，相應(yīng)的表達(dá)式稱為概率密度曲線。由于頻率穩(wěn)定于概率，因此可以用概率代替頻率，從而縱軸成為“單位長度上的概率”，這就是概率密度的概念，故最后形成的曲線稱為概率密度曲線，它一定位于x軸的上方，即 ，并且與x軸所夾面積恰為1。而X在區(qū)間 (a,b)上取值的概率為 區(qū)間上的面積。
4 隨機(jī)變量分布的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差
隨機(jī)變量的分布有幾個(gè)重要的特征數(shù)，用來表示分布的中心位置和散布大小。
均值用來表示分布的中心位置，用 表示。
(1) 均值的計(jì)算方法：
(2) 方差的計(jì)算方法
方差表示分布的散布大小，用 表示。方差越大，分布越分散;方差越小，分布越集中。
(3) 標(biāo)準(zhǔn)差
方差的平方根即為標(biāo)準(zhǔn)差，記為 ，即 。
1 隨機(jī)變量
表示隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果的變量稱為隨機(jī)變量。常用大寫字母X, Y, Z等表示隨機(jī)變量，它們的取值用小寫字母 等表示。
常見的有兩種隨機(jī)變量。
離散型隨機(jī)變量：僅取數(shù)軸上的有限個(gè)點(diǎn)或可列個(gè)點(diǎn)。比如，一批產(chǎn)品中的次品數(shù)X是離散型隨機(jī)變量，它的可能取值是0，1，2，……
連續(xù)型隨機(jī)變量：可能取值充滿數(shù)軸上的一個(gè)區(qū)間。一臺(tái)電視機(jī)的壽命 (單位：小時(shí))是連續(xù)型隨機(jī)變量，在 上取值。“ ”表示事件“壽命不超過10000小時(shí)?！?BR> 2 隨機(jī)變量的分布
(1) 離散型隨機(jī)變量的分布
離散型隨機(jī)變量的分布可用分布烈表示。假設(shè)離散型隨機(jī)變量 可能取的值為 。取這些值的概率為， 。這些可以用一個(gè)表清楚地表示出來
… …
概率 … …
作為一個(gè)分布， 滿足一下條件： ， 。這樣的分布稱作離散分布， 稱作分布的概率函數(shù)。
例 3 設(shè)袋中裝有6個(gè)球，編號(hào)為{-1，2，2，2，3，3}，從袋中任取一球，求取到的球的號(hào) 的分布律。
解 因?yàn)?可取的值為-1，2，3，而且 ， ， ，所以 的概率分布為
-123
例 4 某廠生產(chǎn)的三極管，每100支裝一盒，記X為一盒中不合格品數(shù)，廠方多次抽查，根據(jù)近千次的抽查紀(jì)錄，從未發(fā)現(xiàn)一盒中有6支或6支以上的不合格三極管，用統(tǒng)計(jì)方法整理歷史數(shù)據(jù)可得如下分布：
0 1 2 3 4 5
0.284 0.2000 0.0900 0.080 0.004
從表中可以看出，最可能發(fā)生的不合格品數(shù)在0到2之間，它的概率為：
而超過3個(gè)不合格品的概率很小：
3 連續(xù)型隨機(jī)變量的分布
連續(xù)型隨機(jī)變量 的分布用概率密度函數(shù) 表示。下面以產(chǎn)品的某個(gè)質(zhì)量特性值 來說明 的由來。
假如我們一個(gè)接一個(gè)地測(cè)量產(chǎn)品的質(zhì)量特性 ，把測(cè)量得來的x值一個(gè)接一個(gè)地描在數(shù)軸上，當(dāng)累積到很多x時(shí)，就形成了一個(gè)圖形，把縱軸改為單位長度上的頻率，由于頻率的穩(wěn)定性，隨著被測(cè)質(zhì)量特性x的增多，圖形就越穩(wěn)定，其外形顯現(xiàn)出一條曲線，這條曲線就是概率密度曲線，相應(yīng)的表達(dá)式稱為概率密度曲線。由于頻率穩(wěn)定于概率，因此可以用概率代替頻率，從而縱軸成為“單位長度上的概率”，這就是概率密度的概念，故最后形成的曲線稱為概率密度曲線，它一定位于x軸的上方，即 ，并且與x軸所夾面積恰為1。而X在區(qū)間 (a,b)上取值的概率為 區(qū)間上的面積。
4 隨機(jī)變量分布的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差
隨機(jī)變量的分布有幾個(gè)重要的特征數(shù)，用來表示分布的中心位置和散布大小。
均值用來表示分布的中心位置，用 表示。
(1) 均值的計(jì)算方法：
(2) 方差的計(jì)算方法
方差表示分布的散布大小，用 表示。方差越大，分布越分散;方差越小，分布越集中。
(3) 標(biāo)準(zhǔn)差
方差的平方根即為標(biāo)準(zhǔn)差，記為 ，即 。