方差分析的概念
方差分析（ANOVA）又稱變異數(shù)分析或F檢驗(yàn)，其目的是推斷兩組或多組資料的總體均數(shù)是否相同，檢驗(yàn)兩個(gè)或多個(gè)樣本均數(shù)的差異是否有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。我們要學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容包括單因素方差分析即完全隨機(jī)設(shè)計(jì)或成組設(shè)計(jì)的方差分析和兩因素方差分析即配伍組設(shè)計(jì)的方差分析。
方差分析的基本思想
下面我們用一個(gè)簡單的例子來說明方差分析的基本思想：
如某克山病區(qū)測得11例克山病患者和13名健康人的血磷值（mmol/L）如下，
患者：0.84 1.05 1.20 1.20 1.39 1.53 1.67 1.80 1.87 2.07 2.11
健康人：0.54 0.64 0.64 0.75 0.76 0.81 1.16 1.20 1.34 1.35 1.48 1.56 1.87
問該地克山病患者與健康人的血磷值是否不同？
從以上資料可以看出，24個(gè)患者與健康人的血磷值各不相同，如果用離均差平方和（SS）描述其圍繞總均數(shù)的變異情況，則總變異有以下兩個(gè)來源：
（1）組內(nèi)變異，即由于隨機(jī)誤差的原因使得各組內(nèi)部的血磷值各不相等；
（2）組間變異，即由于克山病的影響使得患者與健康人組的血磷值均數(shù)大小不等。
而且：SS總=SS組間+SS組內(nèi) v總=v組間+v組內(nèi)
如果用均方（即自由度v去除離均差平方和的商）代替離均差平方和以消除各組樣本數(shù)不同的影響，則方差分析就是用組內(nèi)均方去除組間均方的商（即F值）與1相比較，若F值接近1，則說明各組均數(shù)間的差異沒有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，若F值遠(yuǎn)大于1，則說明各組均數(shù)間的差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。實(shí)際應(yīng)用中檢驗(yàn)假設(shè)成立條件下F值大于特定值的概率可通過查閱F界值表（方差分析用）獲得。
方差分析的應(yīng)用條件
應(yīng)用方差分析對資料進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷之前應(yīng)注意其使用條件，包括：
（1）可比性，若資料中各組均數(shù)本身不具可比性則不適用方差分析。
（2）正態(tài)性，即偏態(tài)分布資料不適用方差分析。對偏態(tài)分布的資料應(yīng)考慮用對數(shù)變換、平方根變換、倒數(shù)變換、平方根反正弦變換等變量變換方法變?yōu)檎龖B(tài)或接近正態(tài)后再進(jìn)行方差分析。
（3）方差齊性，即若組間方差不齊則不適用方差分析。多個(gè)方差的齊性檢驗(yàn)可用Bartlett法，它用卡方值作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，結(jié)果判斷需查閱卡方界值表。
方差分析的主要內(nèi)容
根據(jù)資料設(shè)計(jì)類型的不同，有以下兩種方差分析的方法：
1. 對成組設(shè)計(jì)的多個(gè)樣本均數(shù)比較，應(yīng)采用完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的方差分析，即單因素方差分析。
2. 對隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的多個(gè)樣本均數(shù)比較，應(yīng)采用配伍組設(shè)計(jì)的方差分析，即兩因素方差分析。
兩類方差分析的基本步驟相同，只是變異的分解方式不同，對成組設(shè)計(jì)的資料，總變異分解為組內(nèi)變異和組間變異（隨機(jī)誤差），即：SS總=SS組間+SS組內(nèi)，而對配伍組設(shè)計(jì)的資料，總變異除了分解為處理組變異和隨機(jī)誤差外還包括配伍組變異，即：SS總=SS處理+SS配伍+SS誤差。整個(gè)方差分析的基本步驟如下：
（1） 建立檢驗(yàn)假設(shè)；
H0：多個(gè)樣本總體均數(shù)相等。
H1：多個(gè)樣本總體均數(shù)不相等或不全等。
檢驗(yàn)水準(zhǔn)為0.05。
（2） 計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F值；
（3） 確定P值并作出推斷結(jié)果。
多個(gè)樣本均數(shù)的兩兩比較
經(jīng)過方差分析若拒絕了檢驗(yàn)假設(shè)，只能說明多個(gè)樣本總體均數(shù)不相等或不全相等。若要得到各組均數(shù)間更詳細(xì)的信息，應(yīng)在方差分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行多個(gè)樣本均數(shù)的兩兩比較。
1. 多個(gè)樣本均數(shù)間兩兩比較
多個(gè)樣本均數(shù)間兩兩比較常用q檢驗(yàn)的方法，即 Newman-kueuls法，其基本步驟為：建立檢驗(yàn)假設(shè)-->樣本均數(shù)排序-->計(jì)算q值-->查q界值表判斷結(jié)果。
2. 多個(gè)實(shí)驗(yàn)組與一個(gè)對照組均數(shù)間兩兩比較
多個(gè)實(shí)驗(yàn)組與一個(gè)對照組均數(shù)間兩兩比較，若目的是減小第II類錯(cuò)誤，選用最小顯著差法（LSD法）；若目的是減小第I類錯(cuò)誤，選用新復(fù)極差法，前者查t界值表，后者查q’界值表。
方差分析（ANOVA）又稱變異數(shù)分析或F檢驗(yàn)，其目的是推斷兩組或多組資料的總體均數(shù)是否相同，檢驗(yàn)兩個(gè)或多個(gè)樣本均數(shù)的差異是否有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。我們要學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容包括單因素方差分析即完全隨機(jī)設(shè)計(jì)或成組設(shè)計(jì)的方差分析和兩因素方差分析即配伍組設(shè)計(jì)的方差分析。
方差分析的基本思想
下面我們用一個(gè)簡單的例子來說明方差分析的基本思想：
如某克山病區(qū)測得11例克山病患者和13名健康人的血磷值（mmol/L）如下，
患者：0.84 1.05 1.20 1.20 1.39 1.53 1.67 1.80 1.87 2.07 2.11
健康人：0.54 0.64 0.64 0.75 0.76 0.81 1.16 1.20 1.34 1.35 1.48 1.56 1.87
問該地克山病患者與健康人的血磷值是否不同？
從以上資料可以看出，24個(gè)患者與健康人的血磷值各不相同，如果用離均差平方和（SS）描述其圍繞總均數(shù)的變異情況，則總變異有以下兩個(gè)來源：
（1）組內(nèi)變異，即由于隨機(jī)誤差的原因使得各組內(nèi)部的血磷值各不相等；
（2）組間變異，即由于克山病的影響使得患者與健康人組的血磷值均數(shù)大小不等。
而且：SS總=SS組間+SS組內(nèi) v總=v組間+v組內(nèi)
如果用均方（即自由度v去除離均差平方和的商）代替離均差平方和以消除各組樣本數(shù)不同的影響，則方差分析就是用組內(nèi)均方去除組間均方的商（即F值）與1相比較，若F值接近1，則說明各組均數(shù)間的差異沒有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，若F值遠(yuǎn)大于1，則說明各組均數(shù)間的差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。實(shí)際應(yīng)用中檢驗(yàn)假設(shè)成立條件下F值大于特定值的概率可通過查閱F界值表（方差分析用）獲得。
方差分析的應(yīng)用條件
應(yīng)用方差分析對資料進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷之前應(yīng)注意其使用條件，包括：
（1）可比性，若資料中各組均數(shù)本身不具可比性則不適用方差分析。
（2）正態(tài)性，即偏態(tài)分布資料不適用方差分析。對偏態(tài)分布的資料應(yīng)考慮用對數(shù)變換、平方根變換、倒數(shù)變換、平方根反正弦變換等變量變換方法變?yōu)檎龖B(tài)或接近正態(tài)后再進(jìn)行方差分析。
（3）方差齊性，即若組間方差不齊則不適用方差分析。多個(gè)方差的齊性檢驗(yàn)可用Bartlett法，它用卡方值作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，結(jié)果判斷需查閱卡方界值表。
方差分析的主要內(nèi)容
根據(jù)資料設(shè)計(jì)類型的不同，有以下兩種方差分析的方法：
1. 對成組設(shè)計(jì)的多個(gè)樣本均數(shù)比較，應(yīng)采用完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的方差分析，即單因素方差分析。
2. 對隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的多個(gè)樣本均數(shù)比較，應(yīng)采用配伍組設(shè)計(jì)的方差分析，即兩因素方差分析。
兩類方差分析的基本步驟相同，只是變異的分解方式不同，對成組設(shè)計(jì)的資料，總變異分解為組內(nèi)變異和組間變異（隨機(jī)誤差），即：SS總=SS組間+SS組內(nèi)，而對配伍組設(shè)計(jì)的資料，總變異除了分解為處理組變異和隨機(jī)誤差外還包括配伍組變異，即：SS總=SS處理+SS配伍+SS誤差。整個(gè)方差分析的基本步驟如下：
（1） 建立檢驗(yàn)假設(shè)；
H0：多個(gè)樣本總體均數(shù)相等。
H1：多個(gè)樣本總體均數(shù)不相等或不全等。
檢驗(yàn)水準(zhǔn)為0.05。
（2） 計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F值；
（3） 確定P值并作出推斷結(jié)果。
多個(gè)樣本均數(shù)的兩兩比較
經(jīng)過方差分析若拒絕了檢驗(yàn)假設(shè)，只能說明多個(gè)樣本總體均數(shù)不相等或不全相等。若要得到各組均數(shù)間更詳細(xì)的信息，應(yīng)在方差分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行多個(gè)樣本均數(shù)的兩兩比較。
1. 多個(gè)樣本均數(shù)間兩兩比較
多個(gè)樣本均數(shù)間兩兩比較常用q檢驗(yàn)的方法，即 Newman-kueuls法，其基本步驟為：建立檢驗(yàn)假設(shè)-->樣本均數(shù)排序-->計(jì)算q值-->查q界值表判斷結(jié)果。
2. 多個(gè)實(shí)驗(yàn)組與一個(gè)對照組均數(shù)間兩兩比較
多個(gè)實(shí)驗(yàn)組與一個(gè)對照組均數(shù)間兩兩比較，若目的是減小第II類錯(cuò)誤，選用最小顯著差法（LSD法）；若目的是減小第I類錯(cuò)誤，選用新復(fù)極差法，前者查t界值表，后者查q’界值表。